在20世紀60年代早期，氣象學家愛德華·洛倫茲發現某些系統本質上是不可預測的。他的理論引發了一場名為「混沌理論」的科學革命。有人說，簡單的規則有時會產生奇異的複雜性。那些複雜的結構通常來源於最基本的變換。這種現象和理論在實踐中經常被提及，但也出現在《怪奇物語》等電子遊戲和《侏羅紀公園》等電影中。
那麼，混沌理論的實際定義是什麼呢？它與數學有什麼聯繫？它與可預測性和決定論有什麼關係？如何將它應用於一般情況？
定義
為了理解混沌理論，有必要介紹一下它的定義：
描述動態系統模型的數學，如天氣的演化等等。
因此，混沌理論是研究和描述動態系統的數學，它解釋了系統隨時間變化的過程。科學家和數學家對混沌有不同的看法。對他們來說，一個混沌的世界是不可預測的，一個微小的偏差可能導致不可想像的後果。
混沌理論背後的科學
愛德華·洛倫茨是美國數學家、氣象學家、麻省理工學院氣象學教授。他的職業生涯始於第二次世界大戰期間，當時他是美國陸軍航空隊的一名氣象預報員。在一次天氣預報的嘗試中，他在他的計算機模型上得到了一個非常不同的結果，原因是一個參數出現了微小的偏差。
愛德華證明了可預測性的局限性，這讓許多科學家和氣象學家感到震驚，因為他們認為，只要計算機足夠強大，就能預測未來很多天的天氣。
混沌理論闡述了變化過程的進展和演變，用微分方程來描述。以前是無法計算出精確的解的，但現在可以用計算機進行數值計算。混沌系統的預測對初始狀態下不可避免的小誤差非常敏感。這決定了可預測性是有限度的。
吸引子和迭代
吸引子是迭代附近點的x坐標的集合。設函數y_1=x^2-1；y_2=x。
在拋物線y_1=x^2-1上取一個點，然後過這個點畫一條水平線與y = x相交，交點的橫坐標為新的x的值，記為x_1；然後把x_1代入拋物線。
一個吸引子由起始值和結束值組成。初始值被最終值所「吸引」。當迭代一個函數時，通過執行迭代可以合理地猜測吸引子，直到只有有限個相同的x值出現。
決定論和可預測性之間的聯繫
決定論是一個源於科學和物理的哲學概念。它的追隨者相信秩序，他們認為宇宙中的一切都可以在物理定律的幫助下被預測。為了解釋這一點，可以提出一種帶有大量齒輪的計時器。每一個齒輪都像一個定律，如果知道所有初始條件，一切都是可以預測的。每個原因都有一個結果，反之亦然。
決定論和可預測性緊密相連，因為許多科學模型都是完全確定的。這意味著，如果現實可以在一段時間內被描述，那麼未來就可以被預測。例如，太陽今天落山，明天再次升起，或者日食發生的日期和地點，以及可以觀測到日食的時間。混沌理論是一個顛覆了決定論的革命性觀點，因為有些確定性系統的行為並不遵循線性動態。
分形
分形是可視化地表示迭代過程的圖形，並導致自我一致性。隨著迭代過程的無限重複，出現了一個無論在什麼尺度上都顯示相同結構的圖。儘管關於分形和確定性混沌的研究最初有不同的推動力，但它們之間的聯繫越來越緊密，因為迭代在分形和確定性混沌中都是基本的。
一個著名的分形例子是科赫曲線（或科赫雪花）。在每次迭代中，在每條邊都會放置一個小三角形，但是旋轉了60度。如果這個過程無限地進行，就會產生一個面積有限但邊長無限的圖形。
有很多關於混沌理論的例子，它們很普遍，也很實用。下面是一些著名的例子。
蝴蝶效應
混沌理論中最著名的例子是蝴蝶效應。蝴蝶效應指出，初始狀態的微小偏差在混沌系統中可以產生巨大且不可預測的影響。例如，在巴西，一隻蝴蝶的一次翅膀扇動就能在德克薩斯州引發一場颶風，這僅僅是因為一股微小的氣流。這個例子象徵著混沌理論。
撞球
另一個混沌理論的例子是臺桌，有49個彩球和一個白球。
計算機可以計算出白球的未來軌跡（儘管程序必須非常精確地知道桌子上所有球的位置）。假設稍微移動其中一個有色球，白球就會走不同的路線。一個無法估量的微小差異最終可能產生重大的差異。
生態系統
一個不太為人所知的例子是生態系統。生態系統是自然環境的一部分。生物方面（如動物和植物）和非生物方面（如空氣、水和土壤）確保循環是連續的。有機體生存條件的一個小變化可能會對整個生態系統產生重大的、往往是災難性的後果。因此，生態系統也是一種非常複雜的現象。
天氣
天氣是混沌理論的一個著名例子。這個想法從愛德華·洛倫茲用氣象模型進行計算以來就一直存在。同一個計算運行兩次後，會得到差異較大的兩種結果。
如前所述，要知道系統的未來狀態，對所有的初始條件都要求無限精確。如果氣象學家想做精確的天氣預報，那麼大氣中所有數據都必須是清楚的。當然，這是不可能的。
混沌理論是一個非常令人困惑的話題，比我們想像的要現實得多。這不僅僅是電子遊戲和電影中出現的現象。混沌系統無處不在。認識到這一點有助於科學家和數學家更好地開發他們的系統和程序。因此，混沌理論也指出了我們生活中的小決定是如何產生一系列重大的不同結果的。考慮到這一點，我們都可以做出更好的決定。