傅立葉分析(前言)| 從波方程的角度介紹

2021-01-20 小趙的數學小屋
相信大家在學完數分（高數）之後，對突如其來的傅立葉變換搞得一臉懵逼，傅立葉級數展開 
Regarding the researches of d'Alembert and Euler could one not add that if they knew this expansion, they made but a very imperfect use of it. They were both persuaded that an arbitrary and discontinuous function could never be resolved in series of this kind, and it does not even seem that anyone had developed a constant in consines of multiple arcs, the first problem which I had to solve in the theory of heat.簡單的簡諧運動(simple harmonic motion)

如圖，光滑地面上有一質量為m的長方形物體，連接著處於原長的理想彈簧（彈簧被固定在牆上），在地面作一坐標軸，其中物體的重心與軸的原點在同一豎直線上。

令 

下圖是函數 

對以上的分析與結果進行觀察，我們可以得到兩個結論：

（一）上面的運動方程包含了最基本的三角函數 

（二）簡單的簡諧運動方程被兩個初始條件決定，一是位置，二是物體在某點的速度。這個性質會被用到更多更一般的振蕩系統中，比如在下文提到的駐行波。


人們發現，弦振動可以被視為一維的波動。在這裡，我們想要兩個可以用簡單圖形可以描述的運動。

駐波可以被函數 

也就是說，駐波的函數可以被表示為 


想像有一個均勻弦被放置在了(x,y)-平面，並且沿著x軸從 

粒子只會垂直振動

只會被相鄰兩個粒子影響

粒子在右邊所受（張）力與 

則第n個粒子的橫坐標為 
由假設2和假設3，我們可以知道第n+1個粒子對第n個粒子施加的力為 

Final Part

波方程的求解

已經獲得波方程的微分方程，我們這裡有兩個方法去求解


行波

為了像之前那樣簡化問題，我們假設波動速率 
通過觀察以及經驗，我們有：如果 

通過上面討論我們知道，波方程是線性的（linear），亦即如果 

讓我們回到第二種解決波方程的方法：駐波疊加。由PartⅡ我們可以知道，駐波方程的形式可以寫成 

由於聲音是由物體振動產生的聲波，而往往是由多種純音（pure tone）疊加在一起的。類比可得，由波方程的線性性，我們希望可以把波方程的一般解表達為波方程特解的和。

注意到波方程的一邊只有關於變量 

在繼續分析波方程前，我們先來更深入討論駐波。


現在我們回到最初的問題。還記得波方程是線性的，因此，我們通過不同的 
假設上面的表達式已經給出了所有波方程的解。由於 

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