生活在正十二面體星球上的社恐如何制定散步計劃

2021-01-19 中科院物理所

今天，讓我們先從一則特殊的」童話「故事開始：

在一個正四面體星球的一個頂點上，住著一位數學家，在這顆星球的其餘頂點上，各有一枝玫瑰。數學家有一隻羊，每天他都會帶羊散步，他不想轉彎只想走直線，且不想經過其他頂點，免得羊會吃掉那裡的玫瑰。請問：有沒有這樣一條散步路徑，可以讓數學家的羊沿著直線出發後，既不會破壞玫瑰，還能在安全返回家中？

如果你不知道問題的答案，請先別著急，再來看這個：

在一個正十二面體星球的一個頂點上，住著一位不愛社交的數學家，在星球的其他頂點上，也都各有一家住戶。每當數學家想出去散步時，總是害怕會經過其他住戶的家而與他人碰面。因此他開始為自己設計路程，想要找到這樣一條直線路徑，可以在既不經過別人的家，還可以返回到自己家中？

這兩個問題聽起來似乎很像，但它們是否有著相同的答案？

其實，我們今天要講的，正是幾位數學家，對於發生在這些」奇怪星球「上的」奇怪的散步需求「問題的破解。

正三角形、正方形、正五邊形等圖案，或許是我們在學校接觸到的最早的幾何形狀。理論上講，這種每條邊的長度、每個角的大小都相等的二維正多邊形可以有無窮多個，只是隨著數字的增大，它們越來越接近於一個圓。

正多邊形。| 素材來源：Wikipedia

但是當從二維提升到三維談論正多面體時，相等的性質除了邊和角之外，正多面體上的每個面也必須都相等。與正多邊形不同的是，正多面體的種類並不是無窮多個，而是最終可被分為五種：正四面體、立方體、八面體、二十面體和十二面體。

正多面體。| 素材來源：Wikipedia；圖片設計：雯雯

無論在數學還是在藝術上，這些正多面體都扮演了重要角色。人類對正多面體的研究已經持續了至少兩千多年，然而在數學家眼中，這些幾何結構仍存在許多未知問題，並總能從這些特殊的結構中發現一些「新鮮事」。

數學家Jayadev Athreya與他的同事就對研究正多面體非常熱衷，自2016年開始研究以來，他們已經提出了一些新的想法，並發現了一些新的定理。不僅如此，Athreya等人還解決了一個已經困擾了數學家一個多世紀之久的問題，這是一個關於正十二面體的最基本的問題。今年5月，他們將結果發表在了《實驗數學》雜誌上。

Athreya所研究的問題，正和文章開頭的兩則「童話」有關，即假如我們生活在一個正多面體世界，有沒有可能存在這樣的直線路徑，可以讓你從正多面體的某個頂點出發，順著這條直線一直前行，可以在不經過其他任何頂點的情況下，返回到原點。

在研究正多面體的這種直線路經問題時，數學家會用到的一個基本想法就是將這些多面體展開。以正四面體為例，它的展開是一個由4個三角形組成的等邊三角形。

左：正四面體的展開圖，恢復正四面體只需相同顏色的邊進行摺疊；右：兩個正四面體的展開圖可以通過將其中之一旋轉180°而進行結合。| 素材來源：J Athreya et. al；圖片設計：雯雯

如上圖左邊所示，當我們想要將正三角形恢復成正四面體時，只需將顏色相同的邊對著粘合即可；而要將兩個展開圖形結合，則只需將其中一個旋轉180°，再將它們拼在一起即可（如上圖右所示）。如果繼續向各個方向無限地進行這種結合，就能將這些圖形密鋪到整個空間。

現在，在正四面體上的直線問題被演變成了，我們是否可以在展開圖上畫出一條直線，直線所連接的兩點具有相同的顏色？

其實，對由三角形構成的正四面體、八面體、二十面體，以及由正方形構成的立方體，數學家們早已知道這個問題的答案：對於這四種正多面體來說，從任何一個頂點開始沿直線前進，都必定要經過另一個頂點才能重返原點。這意味著，「正四面體星球」上數學家是無法阻止種植在其他頂點上的玫瑰被羊吃掉的厄運的。

那麼，第二個故事中的「社恐」數學家，是不是也同樣無法如願進行想要的散步了？

其實一直以來，並沒有人知道由12個五邊形組成的正十二面體在這個問題中的情況。與其他四種正多面體相比，正十二面體有一個顯而易見的不同：對於正四面體、立方體、八面體和二十面體，構成了它們的圖形（三角形和正方形）可以密鋪整個空間；而正十二面體的展開圖形（正五邊形）卻不能做到這一點。

正三角形、正方形都可以無縫隙密鋪空間，但正五邊形卻無法做到這一點。| 素材來源：J Athreya et. al & Wikipedia；圖片設計：雯雯

然而現在，我們終於知道了剩下的那種情況的答案。Athreya和論文的合著者利用優雅簡潔的圖形和現代計算機方法，為正十二面體這種特殊結構找到了答案：正十二面體上的確存在這樣的直線路徑（如下圖所示的一種可能），不僅如此，這樣的直線路徑在正十二面體上有無窮多個。

正十二面體上存在這樣的直線，它從一個頂點出發可以返回這個頂點，且無需經過其他任何頂點。| 素材來源：J Athreya et. al；圖片設計：雯雯

如果這樣的路徑有無窮多個，那麼要如何將它們列出呢？

這裡，研究人員用到的一個關鍵概念是數學裡的」等價類「。它說的是，對於任何一個集合的數學對象，如果在集合上定義了等價的概念，就可以將集合中的元素分成彼此等價的子集。

比如以自然數集合1, 2, 3, …來說，它既包含無窮多個偶數2、4、6、…，也包含無窮多個奇數1、3、5…，對於這偶數或奇數這兩個類，我們可以分別通過從0或1開始，向每個元素添加一個偶數來獲得。在正十二面體的直線路徑例子中，數學家根據的是不同的對稱類型將它們分類成子集的。按照這種分法，他們發現正十二面體上的無窮多個路徑可被分為31個等價類。

圖中所示的是表示第1、2、3、25個等價類的路徑例子，可以看出第25類路徑非常長。| 素材來源：J Athreya et. al；圖片設計：雯雯

現在我們終於知道，「正十二面體星球」上的那位「社恐」數學家可以安心地制定散步計劃了，他有無數種選擇可以滿足他只走直線，且不遇到鄰居的散步需求。新的結果找到了長期以來缺失的那塊多面體上的直線路徑問題的最後一塊拼圖。而這些研究結果也再次提醒我們，即便是我們已經研究了數千年的問題，也有可能出現新的驚喜。

參考來源：

http://userhome.brooklyn.cuny.edu/aulicino/dodecahedron/#12

https://www.youtube.com/watch?v=G9_l8QASobI

https://publications.mfo.de/bitstream/handle/mfo/3737/snapshots-2020-003.pdf

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-report-new-discovery-about-the-dodecahedron-20200831/

來源：原理

編輯：fengyao

相關焦點

  • 正十二面體的一個最基本謎題被破解了
    如果你不知道問題的答案，請先別著急，再來看這個：在一個正十二面體星球的一個頂點上，住著一位不愛社交的數學家，在星球的其他頂點上，也都各有一家住戶。每當數學家想出去散步時，總是害怕會經過其他住戶的家而與他人碰面。因此他開始為自己設計路程，想要找到這樣一條直線路徑，可以在既不經過別人的家，還可以返回到自己家中？
  • 社恐、臉盲、強迫症……這些作家更有發言權
    日本最會生活的「社恐」大叔 日本暢銷作家松浦彌太郎，一個總在更新自己人生經歷的男人，18歲只身前往美國闖蕩，37歲開了夢想中的書店，41歲接任日本老牌雜誌總編輯並取得輝煌成績，50歲又向美食領域出發開始了新的挑戰......他也被稱為
  • 81.十二面體與星狀十二面體
    81．十二面體與星狀十二面體 　　正十二面體是所謂「柏拉圖立體」(Platonic solids)的5種正多面體之一．其他4種為正四面體、正方體、正八面體與正二十面體．
  • 90後的社恐「絕症」,其實是從小落下的病根兒
    01無處不在的「社恐」 90後的生活中，社恐幾乎無處不在。 比如這屆網友比誰都害怕冷場，日常生活中靠著表情包糊弄過一場又一場聊天，當朱丹喊出「迪麗熱嗎」的瞬間，還要替別人尷尬。
  • 探探大數據:社恐族的「戀愛尷尬」,社交軟體助破冰
    在平時生活中，張然和其他自稱存在「社恐」的年輕人一樣，寧願在飛機上待20個小時，也不願意跟身邊的人說一句話；而在多數社交場合也呈現出心理上的「被迫營業」狀態，他們有意識的迴避社交。誠然，這則為結識理想伴侶製造了阻礙。
  • 心理學家指出1月不適合制定目標,我們應該如何制定新年計劃呢
    最近看到一則消息——美國聖路易斯華盛頓大學心理學家蒂姆·博諾建議大家不要在1月1日制定新年計劃，原因是：1、天氣寒冷，日照時間短，人們情緒相對低落；2、假期後人們需要調整適應，重回忙碌的生活。坦率地說：看到這個觀點，不由得讓人鬆了一口氣。
  • 羅馬人珍藏的十二面體用途至今未解,現又出現二十面體
    羅馬的十二面體也用五邊形的每個角上的一系列旋鈕加以裝飾，五邊形的面在大多數情況下都有圓形的孔。在它們首次被發現200多年後，研究人員對這個神秘物體的起源和功能仍然沒有進一步的了解。羅馬十二面體可追溯到公元2世紀或3世紀，一般大小在4釐米到11釐米之間。迄今為止，在英國、比利時、德國、法國、盧森堡、荷蘭、奧地利、瑞士和匈牙利發現了一百多件這樣的手工藝品。
  • 如何制定詳盡的SEO計劃
    在網站上線前，SEO是必不可少的一個重點，但很多網站都沒有詳細的規划過如何開始動手做SEO，其實不管是大網站也好，小網站也罷，制定一個詳盡的SEO計劃是尤為重要的。一、關鍵詞的分析網站SEO第一步就是關鍵詞的分析，在做關鍵詞分析的時候需要了解每個子欄目的SEO需求，一般從這幾點來分析：1、探尋用戶的搜索需求。
  • 高中生如何制定暑假英語學習計劃?
    新東方網>英語>英語學習>高中英語>正文高中生如何制定暑假英語學習計劃？對於這些知識，學生可以利用寒假有計劃、系統性地複習，首先應當制訂計劃，每天主要複習哪些內容;其次要將掌握不夠牢固的內容重點學習，並且實行殲滅戰，這樣複習到最後不明白的地方就會越來越少;對存在疑惑的地方，要做好記錄，隨時可以問老師。 　　在平時的教學中，老師很難兼顧到每一個人。我們很多的同學可以在假期裡鞏固自己的優勢，補上自己的弱科。
  • 羅馬十二面體到底是做什麼的?考古學家給出答案,卻遭到質疑
    在青銅器的每一面上還有一個小旋鈕，旋鈕的尺寸在3.8CM~11.3CM這個範圍內。經過考古學家的斷代研究之後確定這件青銅器的歷史可以追溯到公元2世紀，那個時候正是古羅馬時代。而且考古學家並不只發現了一個十二面體，還發現了許多類似的十二面體，由此可見該青銅器在古羅馬時代是比較流行的。
  • 人類可以在月球上生活了?科學家正設法製造氧氣
    在地球生活了如此久的人類一直很嚮往外太空，想要找到外太空的生物，為地球生物找個兄弟姐妹什麼的，更是期盼終有一日我們可以生活在外太空中，到別的星球上生活，領略一下不一樣的風光。而且，如今地球生態處於一個較為不穩定的狀態，更有人認為第五次滅絕大活動正慢慢開始，這更是驅使著科學家們盡其所能地尋找遷移之所。在眾多的星球中，火星和月球是人們較為關注的，經過長期的探索，這兩個星球也不負眾望地讓人們有一些合理的猜測。火星上可能曾經存在生命，而月球則成了我們有希望可以居住的一個理想星球。
  • 打破「社恐」的尷尬:學會模仿,自然社交,開口不再冷場
    網上有個詞叫「社恐」，即社交恐懼，見到陌生人不好意思說話，在熟人面前則來去自如。這類型的人，我們稱之為「社交敏感者」。一、社恐的尷尬：開口就冷場，不知道如何融入他人社恐大都有以下幾種明顯特質：討好型人格；不好意思拒絕；無法正視誇讚和批評
  • 社恐就是內向嗎?
    社交恐懼症就是社恐，也就是社交焦慮。 社恐就是內向嗎？ 每個人的性格都不一樣，小時候很多人都可能因為性格內向，不愛說話、不愛社交而被家長責罵，覺得這是一種不好的性格特點，需要改正。其實內向的性格是一種中性的性格，每一種性格都有兩方面，內向並不是不好。
  • Frontiers期刊2020論壇:「如何在健康的地球上健康生活」
    Frontiers期刊2020論壇：「如何在健康的地球上健康生活
  • 正十二面體 | 正方體 | 正四面體 | 之間的關係
    （1）下圖是一個正十二面體（上半截6個正五邊形面被塗以藍色，以增加正十二面體的立體效果，所以看上去是不是像個小房子，只是不是方方正正的那種）。正十二面體有20個頂點（用V表示），30條稜（用E表示），12個面（用F表示），V、E、F滿足歐拉公式：V-E+F=2。
  • 小科普:如何在一顆「潮汐鎖定」的星球上生活?
    想像一下，如果你生活在一個太陽永遠不會在天空中移動的星球上，那裡既沒有日出，也沒有日落。幾年前，我迷上了潮汐鎖定這個概念，這個永遠處於兩個極端之間的世界的概念成功地佔據了我的想像力。我意識到，在尋找類地行星的過程中，像這樣的行星是最有可能存在的，我們的後代也許可以在這些地方定居下來。
  • 一位有社恐的高富帥,一位天才科學家,卡文迪許
    其實，現代社會有社交恐懼症的人很多，呆在家裡，遠離人群，做自己喜歡的事情是很多人最熱衷的生活方式。但是這些程度的社恐和卡文迪許比起來，就是小巫見大巫。卡文迪許幾乎不會參加任何社交活動，他唯一固定參加的活動就是在其小有名氣之後參加的一個由英國著名自然學家所發起的一個理工party。但卡文迪許在聚會上是絕對不會說話的，他只是自己呆在一個安全的地方。
  • 如何理解,願你不再掉頭髮
    如果用符號1, i, j, k分別表示四元單位（1, 0, 0, 0），（0, 1, 0, 0），（0, 0, 1, 0）（0, 0, 0, 1），那麼，不難找到乘法是依下列乘法表進行的：關於哈密頓拋棄乘法交換律思想的產生有個故事：「哈密頓經過十五年無效的沉思之後，在接近黃昏的時候，他與妻子在靠近都柏林的皇家運河邊散步時出現了一閃念。
  • 一分鐘測試你是不是社交恐懼,內向、零社交≠社恐
    你生活中有沒有遇到過這些問題？ 特別害怕當著一群人自我介紹；不敢在陌生人面前吃東西，害怕給人造成負擔；路上遇到熟人寧願繞遠路也不想打招呼；說好的聚會被人放鴿子表面遺憾內心卻是鬆了一大口氣。
  • 個人新年工作計劃,怎樣制定更合理?
    那麼，個人該如何制定科學合理縝密的新年工作計劃？常見誤區又有哪些？一起看看~有的工作計劃針對性不強，與上年度工作前後脫節，既沒有對前期工作做出後續安排，又沒有對不足事項提出改進措施；還有的計劃標新立異、博取眼球，重表面文章、輕實質內容，重關注程度、輕實用價值……出現以上問題，往往與制定者對新年工作計劃的重視不夠、