圓的切點弦方程

2021-02-13 高考數學左老師

上篇圓的切線方程的小公式講的是過圓上一點的切線問題，現在說說過圓外一點的切線問題.

以下面這道題為例.


顯然，點M在圓外部.我們利用d=r來建立方程求解.

如何設直線方程呢？

已知點M，當然設點斜式啊.可是，斜率一定存在嗎？

所以我們應該首先考慮斜率不存在的情況.


然後再考慮斜率存在的情況.


這道題不難，但是容易漏掉第一種斜率不存在的情況.

檢查的方法就是記住這一點：過圓外一點作圓的切線有2條.如果你計算正確且只解出一條切線來，一定是漏掉了斜率不存在的情況.


觀察上圖，從M出發的切線有兩條，設切點分別為A和B，連接AB，我們稱AB為圓的切點弦.顧名思義，切點弦就是連接兩切點得到的弦.

切點弦所在的直線的方程是什麼呢？

我們作一個一般化的推導.


研究過程中用到了圓的切線方程的小公式中的結論.


大家發現，這個結論和圓的切線方程的小公式中的結論有些類似.

區別在於：


當然，如果圓心不在原點，類比圓的切線方程的小公式，有這樣的結論.


如果圓的方程為一般式，同樣類比圓的切線方程的小公式，也有這樣的結論.


我們現學現賣，練下面一道題，體會一下這個公式好不好用？


審完題，判斷求解的是切點弦所在直線的方程，可以用上述公式.


最後來看一道浙江省高中數學競賽題.


分析：PQ為切點弦，考慮使用切點弦所在的直線方程.垂直關係可翻譯為向量的數量積為零.


小結：

1.點在圓上，小公式對應的是切線方程；

2.點在圓外，小公式對應的是切點弦所在的直線方程；

3.小公式如何記憶：對稱原則，即把圓方程中的x和y保留一半，替換一半.

相關焦點

  • 圓的切點弦方程的求法
    解析幾何體系中既包括點，線，圓，橢圓，雙曲線和拋物線這種常見的平面幾何量，解題時還會用到函數，不等式等代數方面的知識，本身就是一種較為複雜的解析題目，其中在小題中以考查橢圓，雙曲線，拋物線這三種幾何量為主，在大題中以考查橢圓和拋物線這兩種幾何量為主，圓的內容很少會單獨出現，有時候會作為一個淺顯的條件混雜出現在解析幾何中
  • 錐體外接球,焦點弦,切點弦,指對數同構等選題解析
    每次的選題都會儘量避免出現之前出現過的題型，每個題目對應的相關知識點如有必要，會給出對應的參考連結，本次內容重點注意解析幾何中切點弦方程和切線的表示方式，近期會將統計與概率中的典型大題按題型做一次選題解析。
  • 高中數學複習之直線與圓
    對於這一塊專題，我們首先要了解一下什麼是直線方程，什麼是圓方程：下面我們必須了解各種各樣的直線方程如何去設:第一行，是過一個點的直線方程的設法，必須考慮斜率不不存在！除非題目明確告訴你，斜率存在！第二個，是過y軸上的點的直線方程的設法，同樣需要考慮斜率不存在！
  • 2020年高考複習解析幾何專題訓練3|拋物線|圓心|三角形|內切圓|...
    ，且存在特殊的直角關係，在本題中以AF和BF為直徑的圓與y軸相切，證明很簡單，常用結論，記下來就好，另外在解析幾何中若出現了三角形的內切圓，除了需要記住內切圓半徑與三角形面積周長的關係，還需要注意三對相等的線段。
  • 圓錐曲線,切點切線,切點弦公式
    之前說了中點弦，今天來說切點弦：點差法與中點弦    什麼是切點弦呢？
  • 2021初中七年級圓的知識點之圓的切線
    中考網整理了關於2021初中七年級圓的知識點之圓的切線，希望對同學們有所幫助，僅供參考。 　　經過半徑外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。 　　圓的切線 　　垂直於過切點的半徑;經過半徑的一端，並且垂直於這條半徑的直線，是這個圓的切線。
  • 中考總複習:圓的專題複習-圓的性質及與圓有關的位置關係考點分析
    考察頻率：★★★☆☆考點：圓周角定理知識點分析：1．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於這條弧所對的圓心角的一半．2．推論(1)推論1：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等．(2)推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
  • 圓的方程
    1、圓的定義：平面內到一定點的距離等於定長的點的集合叫圓,定點為圓心,定長為圓的半徑.2、圓的方程　　(1)標準方程,圓心,半徑為r;　　(2)一般方程　　當時,方程表示圓,此時圓心為,半徑為　　當時,表示一個點;當時,方程不表示任何圖形.
  • 圓的切線方程的小公式
  • 關於圓的知識點總結
    關於圓的知識點總結：   　　1.不在同一直線上的三點確定一個圓。   　　3.圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形   　　4.圓是定點的距離等於定長的點的集合   　　5.圓的內部可以看作是圓心的距離小於半徑的點的集合   　　6.圓的外部可以看作是圓心的距離大於半徑的點的集合   　　7.同圓或等圓的半徑相等
  • 論戰中考數學之說「圓」:躲不開的「圓」,躲不開的「圓切線」
    2、切線判定定理的兩個條件：①直線與圓有公共點；②直線與過公共點的半徑垂直；③切線垂直於過切點的半徑。3、「切線長定理」的隱含內容：①若一個圓的兩條切線相交，則這兩條切線長相等；②從圓外一點引圓的兩條切線，連接兩個切點，可以等到一個等腰三角形；③圓外一點與圓心的連線，平分過這點向圓引的兩條切線的夾角（可以簡單理解：圓心與兩條切線交點的連線，是兩條切線夾角的角平分線）；④經過圓外一點引圓的兩條切線，切線的夾角一迅切點的兩個半徑的夾角互補
  • 在CAD軟體裡怎麼畫圓與三圓相切的方法詳解
    CAD軟體裡怎麼畫與三圓相切的圓？在上期，模型云為您整理了CAD畫確定大小的圓的方法，那麼你知道CAD圓與圓相切怎麼畫嗎？本期，就來和模型雲一起看看CAD軟體裡怎麼畫圓和三圓相切吧！CAD軟體裡怎麼畫與三圓相切的圓步驟一、首先我們打開CAD軟體，開啟我們需要相切繪製圓形的圖形文件，並在文件之中隨意畫三個不相交的圓。步驟二、直接輸入CAD圓形繪製命令快捷鍵「C」，按下空格鍵確定，進入到圓形繪製命令，我們開始畫和這三個圓相切的圓。
  • 初中數學定理大全:圓
    101圓是定點的距離等於定長的點的集合 　　102圓的內部可以看作是圓心的距離小於半徑的點的集合 　　103圓的外部可以看作是圓心的距離大於半徑的點的集合 　　104同圓或等圓的半徑相等 　　105到定點的距離等於定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓 　　106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡
  • 圓的知識知多少?快進來看看!
    圓這個章節，知識點較多，為了更好的幫助大家學習分析，我計劃分兩次進行講解。第一次針對重點知識進行回顧，第二次則結合題型進行深入分析。首先我們來回顧幾個定義。圓：平面上到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形叫做圓，定點稱為圓心，定長稱為半徑。
  • 米勒問題延伸,利用圓周角圓外角圓內角解決問題
    建議先看圓的性質點擊：圓的各種進階模型，肯定有你沒聽說過的。    第一問，很簡單，利用圓周角是圓心角的一半，過O做AB的垂線，其實就是做一個90度的圓心角，他所對的圓周角就是45度。    如上圖的運動    過EF的圓和PQ相切的時候，切點即為M的位置，因為圓周角大於