高一圓周運動專題之一《水平面內的圓周運動》

供稿：黃勝  編審：周璐

1．運動實例

圓錐擺、火車轉彎、飛機在水平面內做勻速圓周運動等。

2．問題特點

(1)運動軌跡是水平面內的圓。

(2)合外力沿水平方向指向圓心，提供向心力，豎直方向合力為零。

3．確定向心力的來源

向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力、庫侖力、洛倫茲力等各種力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力，因此確定向心力成為解決圓周運動問題的關鍵所在。

(1)確定研究對象做圓周運動的軌道平面，確定圓心的位置；

(2)受力分析，求出沿半徑方向的合力，這就是向心力；

(3)受力分析時絕對避免另外添加一個向心力。

如圖所示，長為L的細繩一端固定，另一端系一質量為m的小球。給小球一個合適的初速度，小球便可在水平面內做勻速圓周運動，這樣就構成了一個圓錐擺，設細繩與豎直方向的夾角為θ。下列說法中正確的是（ ）

A．小球受重力、繩的拉力和向心力作用 

B．小球只受重力和繩的拉力作

C．θ越大，小球運動的速率越大        

D．θ越大，小球運動的周期越大

解答過程：小球受重力、繩的拉力作用，二者合力提供向心力，由牛頓第二定律可得：

可見θ越大，v越大，T越小。綜上所述，可知選項B、C正確，A、D錯誤。

1．質量為m的飛機以恆定速率v在空中水平盤旋，如圖所示，其做勻速圓周運動的半徑為R，重力加速度為g，則此時空氣對飛機的作用力大小為（ ）

 A．                      B．Mg        C． D．

 2．如圖所示，一個內壁光滑的圓錐形筒的軸線垂直於水平面，圓錐筒固定不動，有兩個質量相等的小球A和B緊貼著內壁分別在圖中所示的水平面內做勻速圓周運動，則以下說法中正確的是（  ）

A．A球的角速度等於B球的角速度      

B．A球的線速度大於B球的線速度

C．A球的運動周期小於B球的運動周期 

D．A球對筒壁的壓力大於B球對筒壁的壓力

3．（較難）(多選)如圖，兩個質量均為m的小木塊a和b(可視為質點)放在水平圓盤上，a與轉軸OO′的距離為l，b與轉軸的距離為2l，木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用ω表示圓盤轉動的角速度，下列說法正確的是（  ）

     A．b一定比a先開始滑動            

      B．a、b所受的摩擦力始終相等

C．ω＝是b開始滑動的臨界角速度  

D．當ω＝時，a所受摩擦力的大小為kmg

1解析：選C　飛機在空中水平盤旋時在水平面內做勻速圓周運動，受到重力和空氣的作用力兩個力的作用，其合力提供向心力F向＝。飛機受力情況如圖所示，

根據勾股定理得：F＝＝。

2解析：選B　先對小球受力分析，如圖所示，

由圖可知，兩球的向心力都來源於重力G和支持力FN的合力，建立如圖所示的坐標系，則有：

FNsin θ＝mg①

FNcos θ＝mrω2②

由①得，小球A和B受到的支持力FN相等，D錯誤。由於支持力FN相等，結合②知，A球運動的半徑大於B球運動的半徑，A球的角速度小於B球的角速度，選項A錯誤。A球的運動周期大於B球的運動周期，選項C錯誤。又根據FNcos θ＝可知：A球的線速度大於B球的線速度，選項B正確。

 3解析：選AC　因圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢加速轉動，在某一時刻可認為，木塊隨圓盤轉動時，其受到的靜摩擦力的方向指向轉軸，兩木塊轉動過程中角速度相等，則根據牛頓第二定律可得f＝mω2R，由於小木塊b的軌道半徑大於小木塊a的軌道半徑，故小木塊b做圓周運動需要的向心力較大，B錯誤；因為兩小木塊的最大靜摩擦力相等，故b一定比a先開始滑動，A正確；當b開始滑動時，由牛頓第二定律可得kmg＝，可得ωb＝，C正確；當a開始滑動時，由牛頓第二定律可得kmg＝，可得ωa＝，而轉盤的角速度

，小木塊a未發生滑動，其所需的向心力由靜摩擦力來提供，牛頓第二定律可得，D錯誤。

1．山城重慶的輕軌交通頗有山城特色，由於地域限制，彎道半徑很小，在某些彎道上行駛時列車的車身嚴重傾斜。每到這樣的彎道乘客都有一種坐過山車的感覺，很是驚險刺激。假設某彎道鐵軌是圓弧的一部分，轉彎半徑為R，重力加速度為g，列車轉彎過程中傾角(車廂地面與水平面夾角)為θ，則列車在這樣的軌道上轉彎行駛的安全速度(軌道不受側向擠壓)為（ ）

A． B．

C． D．

2．(多選)如圖所示，繩子的一端固定在O點，另一端拴一重物在水平面上做勻速圓周運動（ ）

A．轉速相同時，繩長的容易斷

B．周期相同時，繩短的容易斷

C．線速度大小相等時，繩短的容易斷

D．線速度大小相等時，繩長的容易斷

3．(多選)如圖所示，兩根長度相同的細線分別系有兩個完全相同的小球，細線的上端都繫於O點。設法讓兩個小球均在水平面上做勻速圓周運動。已知L1跟豎直方向的夾角為60°，L2跟豎直方向的夾角為30°，下列說法正確的是

A．細線L1和細線L2所受的拉力大小之比為∶1

B．小球m1和m2的角速度大小之比為∶1

C．小球m1和m2的向心力大小之比為3∶1

D．小球m1和m2的線速度大小之比為3∶1

1．解析：選C　本題聯繫實際考查圓周運動、向心力知識。軌道不受側向擠壓時，軌道對列車的作用力就只有彈力，重力和彈力的合力提供向心力，根據向心力公式

mgtan θ＝，得，C正確。

2解析：選AC　繩子拉力提供圓周運動向心力，繩子長度即圓周運動半徑。轉速相同即周期和角速度相同，繩子拉力提供向心力即F＝mlω2，繩子越長向心力越大即繩子拉力越大，越容易斷，選項A對B錯。線速度大小相等時，則有向心力即繩子拉力，繩子越長拉力越小，越不容易斷，C對D錯。

3解析：選AC　對任一小球研究。設細線與豎直方向的夾角為θ，豎直方向受力平衡，則

Tcos θ＝mg，解得。

所以細線L1和細線L2所受的拉力大小之比，故A正確。

小球所受合力的大小為mgtan  θ，根據牛頓第二定律得

mgtan  θ＝mLsin  θ·ω2，

得。兩小球Lcos  θ相等，所以角速度相等，故B錯誤。

小球所受合力提供向心力，則向心力為F＝mgtan  θ，

小球m1和m2的向心力大小之比為：，故C正確。

兩小球角速度相等，質量相等，由合外力提供向心力，有F＝mgtan  θ＝mωv，則小球m1和m2的線速度大小之比為，故D錯誤。