高中物理:水平面內圓周運動的兩種模型

一、兩種模型

模型Ⅰ、圓臺轉動類

小物塊放在旋轉圓臺上，與圓臺保持相對靜止，如圖1所示．物塊與圓臺間的動摩擦因數為μ，離軸距離為R，圓臺對小物塊的靜摩擦力(設最大靜摩擦力等於摩擦力)提供小物塊做圓周運動所需的向心力．水平面內，繩拉小球在圓形軌道上運動等問題均可歸納為「圓臺轉動類」．

圖1

臨界條件：圓臺轉動的最大角速度ωmax=，當ω<ωmax時，小物塊與圓臺保持相對靜止；當ω>ωmax時，小物塊脫離圓臺軌道．

模型Ⅱ、火車拐彎類

如圖2所示，火車拐彎時，在水平面內做圓周運動，重力mg和軌道支持力N的合力F提供火車拐彎時所需的向心力．圓錐擺、汽車轉彎等問題均可歸納為「火車拐彎類」．

圖2

臨界條件：若v=，火車拐彎時，既不擠壓內軌也不擠壓外軌；若v>，火車拐彎時，車輪擠壓外軌，外軌反作用於車輪的力的水平分量與F之和提供火車拐彎時所需的向心力；若v>，火車拐彎時，車輪擠壓內軌，內軌反作用於車輪的力的水平分量與F之差提供火車拐彎時所需的向心力．

二、兩種模型的應用

例1、如圖3所示，半徑為R的洗衣筒，繞豎直中心軸00'轉動，小橡皮塊P靠在圓筒內壁上，它與圓筒間的動摩擦因數為μ.現要使小橡皮塊P恰好不下落，則圓筒轉動的角速度ω至少為多大?(設最大靜摩擦力等於滑動摩擦力)

圖3   圖4

解析：此題屬於「圓臺轉動類」，當小橡皮塊P繞軸00'做勻速圓周運動時，小橡皮塊P受到重力G、靜摩擦力f和支持力N的作用，如圖4所示.

其中「恰好」是隱含條件，即重力與最大靜摩擦力平衡fmax=G，μN=mg

列出圓周運動方程N=mω2minR

聯立解得  ωmin=

例2、在半徑為R的半球形碗的光滑內面，恰好有一質量為m的小球在距碗底高為H處與碗保持相對靜止，如圖5所示．則碗必以多大的角速度繞豎直軸在水平面內勻速轉動?

圖5

解析：此題屬於「火車拐彎類」，當小球做勻速圓周運動時，其受到重力G和支持力F的作用，如圖5所示.

隱含條件一是小球與碗具有相同的角速度ω，隱合條件二是小球做勻速圓周運動的半徑r=Rcosθ．

列出圓周運動方程Fcosθ=mω2Rcosθ

豎直方向上由平衡條件有Fsinθ-mg=0

其中   sinθ=

聯立解得  ω=

例3、  長度為2l的細繩，兩端分別固定在一根豎直棒上相距為l的A、B兩點，一質量為m的光滑小圓環套在細繩上，如圖6所示．則豎直棒以多大角速度勻速轉動時，小圓環恰好與A點在同一水平面內?

圖6

解析：此題屬於「火車拐彎類」，當小圓環做勻速圓周運動時，小圓環受到重力G、繩OB的拉力F和繩OA的拉力F的作用，如圖7所示

圖7

隱含條件一是小圓環與棒具有相同角速度ω，隱含條件二是小圓環光滑，兩側細繩拉力大小相等，隱含條件三是小圓環做勻速圓周運動的圓心為A點、半徑為r(OA)．

列出圓周運動方程  F+Fcosθ=mω2r

由平衡條件有  Fsinθ-mg=0

其中  cosθ=，sinθ=

聯立解得  ω=

例4、如圖8所示，質量均為m的A、B兩物體用細繩懸著，跨過固定在圓盤中央光滑的定滑輪．物體A與圓盤問的動摩擦因數為μ，離圓盤中心距離R．為使物體A與圓盤保持相對靜止，則圓盤角速度ω的取值範圍為多少？（設最大靜摩擦力等於滑動摩擦力）

圖8

 答案：

例5、如圖9所示，長度分別為l1和l2兩細繩OA、OB，一端系在豎直杆，另一端系上一質量為m的小球，兩細繩OA和OB同時拉直時，與豎直杆的夾角分別為30°、45°.則杆以多大角速度轉動時，兩細繩同時且始終拉直？

圖9

答案：