空間插值方法總結及其在環境研究中的應用

2021-02-25 城市溫室氣體

空間插值用法示例圖


左邊這張圖是區位於湖北省恩施市東北邊陲的一個土壤重金屬研究區，面積約50平方千米，圖中的黑色小點代表了採樣點，在研究區域內，基本上每0.25平方千米就有一個採樣點，整個研究區域共有大約200個採樣點。

    這樣密集分布的採樣點，可想而知採樣、分析的工作是非常重的，但是即使是如此龐大的工程，也無法直接得到整片區域所有點上的重金屬分布數據，以用來進行模擬/或者與其他空間現象的分布情況進行比較。

    我們所期望的，是像右圖這樣一個在空間上「連續的曲面」，其中包含了研究區域內每個點相關數據的估計值。空間插值所要做的事情，就是由左圖這樣離散的監測站點的測量數據，得到右圖這樣連續的數據面。


    插值問題所屬的學科是離散數學，在離散數學中，對「插值」有更嚴謹規範的數學定義：

    插值問題的提法是：假定區間[a,b]上的實值函數f(x)在該區間上 n+1個互不相同點x0,x1,……,xn 處的值是f (x0),……f(xn)，要求估算f(x)在[a,b]中某點x*的值。基本思路是，找到一個函數P(x)，在x0,x1,……,xn的節點上與f(x)函數值相同(有時，甚至一階導數值也相同)，用P(x*)的值作為函數f(x*)的近似。 

    其通常的做法是：在事先選定的一個由簡單函數構成的有n+1個參數C0，C1，……Cn的函數類Φ(C0,C1,……Cn)中求出滿足條件P(xi)=f(xi)(i=0,1,…… n)的函數P(x)，並以P()作為f()的估值。此處f(x)稱為被插值函數，x0,x1,……,xn稱為插值結(節)點，Φ(C0,C1,……Cn)稱為插值函數類，上面等式稱為插值條件，Φ(C0,C1,……Cn)中滿足上式的函數稱為插值函數，R(x)= f(x)－P(x)稱為插值餘項。當估算點屬於包含x0,x1,……,xn的最小閉區間時，相應的插值稱為內插，否則稱為外插。

    總的來說，「插值」就是在離散數據的基礎上補插連續函數，使得這條連續曲線通過全部給定的離散數據點。而空間插值對應的應該是二元函數的插值問題，最終要得到一個連續的曲面。

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