雙重差分方法的研究動態及其在公共政策評估中的應用

原標題：雙重差分方法的研究動態及其在公共政策評估中的應用

雙重差分方法的研究動態及其在公共政策評估中的應用

作 者：胡日東，華僑大學數量經濟研究中心主任，教授；

林明裕，華僑大學數量經濟研究中心

刊期：《財經智庫》2018年第3期。

內容提要：雙重差分方法（簡稱 DID 方法）在公共政策評估中的應用越來越廣泛，該方法雖然形式簡單，但在應用時需要滿足比較嚴格的條件，一般情況下對公共政策評估的研究中這些條件無法完全滿足。本文在已有理論和相關研究文獻的基礎上，系統地介紹了經典雙重差分法的思想和原理，並以模型的假設條件為線索，從違背平行趨勢假設、SUTVA 假設和非線性模型三個方面對該方法研究進展及其在公共政策評估中的應用進行了論述，最後，在統一框架下比較了該方法同其他政策評估方法的差異性。旨在為研究者使用 DID 方法科學準確地評估公共政策效果提供參考。

關 鍵 詞：公共政策評估；雙重差分；平行趨勢；SUTVA；非線性模型

一、引言

黨的十八大以來，黨中央大力推進國家治理體系和治理能力現代化，建立健全政策評估制度是其中的重要一環。政策評估不僅包括重大決策出臺前的可行性論證與環境、經濟等各方面的風險評估，也包括對政策實施效果和社會影響的評估。對政策效果科學、準確地評估有助於正確制定、執行和完善政策，提高政策的科學性，從而有助於實現政策運行和決策，更好地配置政策資源，提高政府正確履行職責的能力和水平。因果效應和政策效果評估是經濟學關注的核心問題，其難點在於經濟事件與經濟政策的內生性問題，以及虛擬事實的不可觀測性。不同於自然科學中對因果效應的研究，出於成本、法律、道德等因素考慮，社會科學一般無法使用模擬實驗的方法來評估某項政策的效果。為了克服內生性問題，經濟學家經常藉助於「準實驗」的機會，使用多種計量經濟學工具來估計政策的處理效應。常見的方法包括工具變量法、斷點回歸、傾向得分匹配法和雙重差分法，而這些方法具有各自的優缺點（Imbens and Wooldridg，2009）。本文關注的是雙重差分（Difference-in-Differences，DID）方法，這主要是因為該方法發展較快，深受政策效應評估者的偏好。

西方早在20世紀70年代末就將DID方法引入到經濟學研究領域中（Ashenfelter，1978），而國內最早引入DID方法對公共政策評估的權威文獻是周黎安和陳燁（2005）研究稅費改革對農民收入增長的影響。由於稅費改革政策為試點改革，最早從安徽省開始實施，緊接著推廣到江蘇、湖南、湖北的部分縣進行試點，最終推廣到全國各縣市。該政策在試點實施的時候使得一部分城市受到影響，而其他部分城市沒有受到影響或者影響很小，因此作者將該政策的實施視為自然實驗，引入DID方法評估稅收改革的效果。在新方法出現到普及往往存在一個延遲階段，2006年到2007年利用 DID方法評估政策效應的文獻基本沒有，而在2008年之後，不管是期刊論文還是學位論文利用該方法進行研究的數量總體呈現「J」形增長趨勢（見圖1），利用 DID 方法進行政策評估的做法在國內越來越廣泛。但是國內很多學者在利用該方法進行實證分析時，往往忽視了假設條件，簡單地將該方法視為時間和事件兩個虛擬變量交互項的回歸方法，這種錯誤的做法將導致政策評估結果存在偏誤（陳林和伍海軍，2015）。為此，如何理解DID方法的思想原理以及怎樣正確使用該方法評估公共政策的效果？這正是本文想要回答的問題。

正因為DID方法受到了廣泛應用，國內外出現了一些從不同角度對DID方法進行綜述的文章。Blundell和Costa Dias（2002）、Imbens 和 Wooldridg（2009）以及 Lechner（2010）對DID方法的理論及研究最新進展進行了綜述。陳林和伍海軍（2015）主要針對國內使用DID方法進行政策評估時存在的內生性、控制組受影響、樣本異質性等問題進行了評述。石華軍和楚爾鳴（2017）給出了彌補這些問題導致DID方法缺陷的方法。本文將系統介紹DID方法的思想原理，並以模型假設條件為引線介紹該方法的最新研究進展、同其他政策評估模型的差異以及未來研究的方向。

本文其餘結構安排如下：第二節，介紹 DID 方法的基本思想和假設條件；第三節，通過假設條件歸納最新研究進展並對模型在公共政策評估中的應用進行論述，給出處理放寬或違反假設條件的方法；第四節，在統一框架下比較DID方法和其他政策評估方法的差異之處；第五節，做出總結並進行展望。

二、經典雙重差分方法介紹

當問及「某項政策實施是否真的有效？」時，我們會自然想到通過比較政策實施前後經濟個體的差異性來評估政策效果。然而，僅僅簡單地比較政策前後的差異是否真的合理呢？顯然這是不合理的，因為經濟個體可能同時受到如時間、宏觀經濟和隨機幹擾等因素的影響，不能純粹反映政策效果，而 DID方法卻能夠很好地解決該問題。

DID 方法是一種估計因果效應的計量方法，其基本思想是將公共政策視為一個自然實驗，為了評估出一項政策實施所帶來的淨影響，將全部的樣本數據分為兩組：一組是受到政策影響，即處理組；另一組是沒有受到同一政策影響，即控制組。選取一個要考量的經濟個體指標，根據政策實施前後（時間）進行第一次差分得到兩組變化量，經過第一次差分可以消除個體不隨時間變化的異質性，再對兩組變化量進行第二次差分，以消除隨時間變化的增量，最終得到政策實施的淨效應。

假設個體i所處的組別為 Gi∈{0，1}（其中，Gi=0表示控制組，Gi=1表示處理組），時間Ti∈{0，1}（其中，Ti=0表示政策前，Ti=1表示政策後），且分組和政策的時間是隨機的。Yi表示個體i的可觀測結果，用表示個體i不受政策影響時的潛在結果，表示個體i受政策影響時的潛在結果。如果用Ii表示處理變量，那麼個體i的可觀測結果可以表示為：

其中，。式（1）也稱為個體處理穩定性假設（The Stable Unit Treatment Value Assumption，SUTVA）。假設個體i受政策影響的效果為固定常數：

其中，表示個體i假設不受政策影響時的結果，為不可測變量，一般稱為反事實（Counterfactual）結果。現假設不受政策影響時個體i的潛在結果變量滿足線性形式：

其中，Xi表示i的可觀測特徵也稱為協變量（包含常數，假設不受政策影響，滿足外生性假設），εi表示個體i的不可測因素。同時假設其均值為0且獨立於分組變量和時間變量，表示為：

假設條件也稱為平行趨勢（Parallel Trend）。那麼可以求得式（3）的期望表達式為：

根據式（2）可以得到：

結合式（1）和式（3）可以得到包含政策效果τ的線性回歸模型：

根據式（5）可以得到 Gi∈{0，1}和 Ti∈{0，1}四種組合下的可觀測結果。

結合表1可以清楚知道該方法被稱為雙重差分方法的主要原因是：

同時可以從圖 2 直觀看出 DID 方法的原理。

從上面的推導過程中可以知道，為了得到經典雙重差分方法的一致性估計量至少需要滿足以下三個條件：（1）平行趨勢條件，即處理組和控制組在沒有政策幹預的情況下，結果效應的趨勢是一樣的，也可以說在政策幹預之前，處理組和控制組的結果效應的趨勢是一樣的；（2）SUTVA條件，政策幹預只影響處理組，不會對控制組產生交互影響，或者政策幹預不會產生外溢效應；（3）線性形式條件，潛在結果變量同處理變量和時間變量滿足線性關係。然而，在政策評估的實證分析中，這些條件不滿足應該怎麼處理？或者如何放寬假設使得該方法更適合公共政策效果評估研究的需要？下面將探討現有文獻是如何在研究中解決以上問題的。

三、雙重差分方法的研究進展

（一）處理非平行趨勢問題

前文推導中平行趨勢假設式（3）為完全獨立性假設，其還可以表示為：

該假設具有直觀的含義：首先，那些無法觀測的因素不會影響某一特定個體進入處理組的概率，也就是說，每個樣本是進入處理組還是控制組是完全隨機的；其次，處理組和控制組個體的某些特徵不會隨著時間變化而呈現出不同的變化。

在實際對政策效果的研究中，平行趨勢假設經常很難滿足。其中一個重要原因是樣本個體在分組時不是隨機的，即存在「選擇性偏誤」（Meyer，1995）。比如在勞動經濟學領域，對政府補貼的培訓計劃的效果評估這個經典問題的研究中，這些培訓計劃本身目的在於提高那些長期失業、癮君子和刑滿釋放人員等在就業市場處於不利地位的人群的就業率和收入，但 Ashenfelter（1978）對項目參與者和非參與者進行比較後卻發現，接受培訓後培訓者比相應的控制組收入更少。產生這樣矛盾的原因就在於存在選擇性偏誤，由於受補貼的培訓項目針對的是低收入人群，參與培訓的人群收入本就遠低於控制組人群的收入。或者說，如果沒有培訓項目，處理組和控制組人群的工資增長趨勢也是不同的。

研究者需要考慮處理組和控制組之間是否存在隨時間而變化但卻無法觀測到的異質性因素。如果處理組和控制組的基本特徵存在差異，那麼使用DID方法估計出來的政策效果就是有偏誤的。我們可以從圖3中觀察出這一點。

當擁有的數據超過兩期時，可以通過畫圖來直觀地判斷平行趨勢假定是否得到滿足。也可以利用「安慰劑檢驗」（Placebo Test）來進行檢驗。假如在真實的樣本中，第t期實施了某項政策，記t-1期為t期的前一期，t + 1期為t期的後一期，我們可以「假想」政策是在t、t + 1等時期實施的，並利用DID方法計算這種人為「假想」出來的政策的處理效應。因為這些政策變量是我們人為「假想」出來的，所以我們期望估計出來的處理效應不顯著。但如果回歸結果表明處理效應顯著，則產生這種現象的原因可能有兩個：（1）在政策發生前，人們已經預期到政策將會實施；（2）如果我們可以排除樣本個體的預期，那麼我們就可以說不符合平行趨勢假定，因為我們假想的任何「虛擬」政策的處理效應都可以理解為「選擇性偏誤」。當不滿足平行趨勢假定時，我們可以根據樣本情況考慮採用DID方法的兩種擴展來有效地估計出政策效果，分別是基於傾向得分匹配的雙重差分方法和三重差分模型。

1.基於傾向得分匹配的雙重差分方法

在平行趨勢假定被違背的情況下，進行雙重差分之前可以先使用傾向得分匹配法（Propensity Score Matching，PSM）將處理組和控制組進行匹配。具體來說，研究者可以先在基期使用傾向得分匹配法，再對得到的具有相似特徵的個體進行雙重差分。對使用傾向得分匹配得到的控制組進行計算可以非常有效地估計出政策效果（Hirano et al.，2003）。處理組和控制組所包含的樣本量越大，我們通過該方法所估計的政策效果就越準確。

我們可以基於傾向匹配得分來對處理組的個體和控制組的個體在基期進行匹配，然後再利用具有共同特徵的處理組和控制組的個體計算處理效應。假定存在兩期t= {1，2}，每個處理組個體i的處理效應為.其中權重 ω（i，j）可以使用不同的匹配方法計算。同樣，我們也可以通過回歸的方法進行估計。Hirano et al.（2003）發現可以使用加權最小二乘回歸模型得到有效的處理效應估計量，權重可以通過傾向匹配得分來確定，回歸方程的具體形式為：

其中係數β即為處理效應。式（7）中處理組的權重為1，控制組的權重為

。

案例 1：國有企業混合所有制改革對全要素生產率的影響

因為PSM-DID方法在一定情況下可以有效地克服違背平行趨勢假設所帶來的問題，所以近些年應用該方法研究中國公共政策的文獻逐漸增多。劉曄等（2016）研究了我國國有企業混合所有制改革對全要素生產率的影響。在理想條件下，可以將國有企業混合所有制改革看作自然實驗或準實驗，那麼就可以通過比較已經實行混合所有制改革的國有企業（即「處理組」）和未進行混合所有制改革的企業（「控制組」）的全要素生產率，計算出該政策的效果,或者在滿足平行條件假設時可以直接使用DID方法估計混合所有制改革的效果。但是，在該研究中有兩個原因可能導致平行趨勢假設被違背。第一，國有企業進行混合所有制改革並非是隨機的。績效較好的國有企業或效率更高的企業更願意選擇民營化（胡一帆等，2006；劉小玄和朱克朋，2012），即可能存在所謂的「靚女先嫁」現象。競爭程度更高的行業也更可能引入其他資本。所以，直接進行估計會產生選擇性偏差。第二，處理組和控制組的國有企業全要素生產率之間的差異有可能是由其他不可觀測的、不隨時間變化的因素產生的，直接進行比較可能會產生異質性偏差。於是，劉曄等（2016）首先對所選的樣本進行傾向得分匹配，在匹配過程中將樣本分為處理組（T）和控制組（C），前者表示企業進行了混合所有制改革，後者則在考察期內未進行混合所有制改革。選擇企業的總資產、固定資產、平均工資水平、就業人數、企業年齡和企業負債率等作為匹配變量，通過概率公式估計出國有企業實施混合所有制改革的預測概率值，再用傾向得分匹配法將預測概率值相近的企業進行配對，從而得到一組與處理組主要特徵相似的控制組企業。緊接著定義改革的虛擬變量reformit，當 i∈T 時取1，否則取0；定義時間虛擬變量timeit，改革之前的時期取0，之後的時期取1。然後構建如下雙重差分方法來估計混合所有制改革對企業全要素生產率的影響。

其中，ui為個體固定效應，τt為時間固定效應，Zit為其他控制變量。在模型（8）中β1便體現了國有企業混合所有制改革對企業全要素生產率的影響。劉曄等（2016）選取2001年到2007年的企業數據，處理組和控制組一共有1096家國有企業，對模型（8）中的參數進行了估計，主要回歸結果見表2。

表2中TFP_OP和TFP_LP分別表示用OP法和LP法得到的企業全要素生產率。從回歸結果中可以看出交互項「reform×time」的係數顯著大於零，所以可以得出結論認為國有企業的混合所有制確實能夠提高企業的生產效率。

2. 三重差分模型

傾向得分匹配法處理平行趨勢無法滿足的情況適用於大樣本數據，當基期的樣本數據不夠豐富時，一個可能的解決方法是使用三重差分法（Triple-Difference Method）。我們借用一個例子來說明三重差分模型的核心思想。

劉曄和張訓常（2017）以我國開展的碳排放交易試點為準自然實驗，研究了碳排放交易制度對企業研發創新的影響。因為碳交易試點政策只涉及試點省份中試點行業中的企業，試點行業包括石化、化工、建材、鋼鐵、有色、造紙、電力和航空八大行業。所以，如果按照經典雙重差分方法的思想，有以下兩個思路來估計處理效應：一是把試點省市裡試點行業的企業作為「處理組」，把試點省市中的其他行業作為控制組進行雙重差分方法估計；二是把非試點省份中試點行業的企業作為控制組。這兩種做法均有一定的不足之處：第一種做法可以消除因省份不同導致的時間趨勢的不同，但是需要假定處於不同行業的企業研發投入強度的時間趨勢是相同的；第二種做法則正好相反，可以消除企業研發強度在不同行業之間時間趨勢的不同，卻必須假定不同省份的企業研發投入的時間趨勢相同。

三重差分模型則把以上兩種方法結合起來，克服了兩種方法各自存在的問題。具體來說，先分別計算兩個雙重差分估計量，再對這兩個估計量進行差分，共差分了三次，故稱為三重差分法。當企業j位於試點省市,記Cproviđt=1，否則Cproviđj =1；企業i若屬於受影響行業記為 Cindusiđk=1，否則Cindusiđk=0；企業處於試點後時期記為postt=1，否則記為postt=0。那麼，方法1得到的估計量為:

方法2得到的估計量為:

三重差分估計量就是上述兩個雙重差分估計量之差.

這樣三重差分估計量就能夠同時控制地區差異和行業差異所導致的企業研發強度時間趨勢的不同。

同樣三重差分模型也可以通過回歸的方法得到，正如劉曄、張訓常（2017）構造的如下計量模型。

其中，i，j，k，t 分別代表企業、省份、行業和時間，Zi，j，k，t 為企業層面的控制變量。在該方法中，「β1+β6」表示碳排放交易試點實施以後，試點省市非試點行業中企業研發強度的變化；「β2+β6」表示碳排放交易試點實施後，位於非試點省市卻處於試點的八大行業中企業的研發強度變化。可以看出所有企業的共同趨勢為β6。而處理組企業在碳排放交易試點之後研發強度變化為δ+β1+β2+β4，那麼估計量表示的就是碳排放交易試點對處理組企業研發投入強度的淨影響，對模型（9）進行回歸便可估計出處理效應為.

（二）放寬SUTVA條件

在評論 Basu（1980）的隨機性檢驗的文章時，Rubin（1980）首次界定SUTVA 條件指的是任何一個個體被幹預時，不管幹預的機制是什麼，也不管其他個體受到什麼幹預，它的潛在結果都是一樣的。這個假設條件具有兩個關鍵內容：一個是每一個個體所接受的處理水平是唯一的，所導致的潛在結果也是唯一的；另一個是幹預的結果不受其他個體所接受處理的影響。

1. 條件之一：非混淆性

該條件要求接受處理的個體所受到的幹預是一樣的，從數學角度來講SUTVA 要求每個個體的潛在結果都和幹預的項目具有明確定義的函數關係而不是隨機映射的。比如，要設計隨機實驗研究阿司匹林對頭痛的治療效果，對於不同病人應該給予服用具有相同藥性、相同規格的阿司匹林，如果服用不同的阿司匹林將會混淆結果。近期流行病學科學研究者中，通過放寬 SUTVA 假設來設計隨機實驗（Schwartz et al.，2012）。

通過放寬 SUTVA 第一個條件評估政策效應的文獻還是很少見，主要是因為這種「混淆」很難被清晰地分離。在政策評估中，所設計的準實驗如果不滿足 SUTVA 第一個條件將導致政策評估出現偏誤。正如陳林和伍海軍（2015）對王鑫和吳斌珍（2011）、汪偉等（2013）的稅費改革研究中利用「連續型雙重差分方法」進行評價時，認為研究中稅收減免量的大小是一個連續的變量，直接簡單地將減免額大的樣本作為處理組，減免額小的樣本作為控制組，會導致控制組樣本同樣受到了稅費改革的影響，不滿足 SUTVA 第一個條件，從而混淆了稅收減免的處理效應。

放寬 SUTVA 條件進行政策評估的研究的一個思路是對同時存在多個幹預政策的處理效應進行評估（Viet，2008；Chabé-Ferretab，2013）。假設在兩個政策共同幹預下，政策a對應的處理變量為Ga和政策b對應的處理變量為Gb，對於任意幹預政策 j∈{a，b}，如果j=a，那麼-j=b有四種潛在結果 那麼政策 j 的平均處理效應為：

其中，概率Pr（Gb = 1|Ga=1）和 Pr（Gb=0| Ga=1）可以通過傾向得分匹配方法得到。因此，在政策評估時，如果出現兩個政策共同作用時可以考慮利用該方法分離出單個政策的效應。

案例 2：法國農業環境政策對農作物種植的影響

Chabé-Ferretab（2013）考察了法國農業環境（Agro-environmental Schemes，AES）政策對農作物種植的影響，評估了該政策下的幾個小條例的實施效果。其中條例02（包括0201和0205）補貼種植多樣性農作物，主要用農作物種植面積，及其佔可用面積的比例、農作物的數量和 Evenness多樣性指數四個變量衡量政策效果。條例0301和條例04為了減少由雨水帶來的土壤中過多的氮元素的補貼，其政策效果分別用農作物種植的覆蓋面積和農田邊緣的無肥料草緩衝帶的面積衡量。條例08和條例09為了抑制氮肥的使用而設立，即使沒有受到條例0301的幹預，也能減少土壤中的氮元素。條例21補貼轉種有機農作物農戶，用有機農作物種植面積和每年轉換的面積兩個變量衡量政策效果。為了分離多個政策之間的交互影響，作者根據式（10）計算得到每個政策的直接效應，並通過子樣本估計農戶不受某項政策直接影響但是通過其他政策產生的交互效應，結果如表3所示。

從表3可以知道，為了鼓勵農戶種植多樣性農作物實施的條例中，條例0201的政策效果強於條例0205的政策效果。其他政策對農作物種植的交叉效應基本都小於條例 02的直接效應，所有政策都增加了農作物的種植數量。為了鼓勵減少土壤中的氮元素而實施的兩個條例中，條例0301能夠直接提高農作物的種植面積，而條例04對草緩衝帶面積也沒有影響，且除了條例0201和條例0205外其他條例對草緩衝帶的面積都沒有交叉影響。為了鼓勵農戶轉種有機農作物而實施的條例21對有機農作物的面積和每年的轉種面積有顯著影響，其他條例對農戶換種有機農作物沒有交叉影響。因此在多個政策共同影響下，利用式（10）能夠有效地將某個政策的直接效應從中分離出來，為DID模型處理多變量問題提供有效思路。

2. 條件之二：互不幹擾

有時會出現 SUTVA 的互不幹擾假設不滿足的情況。比如，在大規模職業培訓項目中，如果受培訓的人數非常大以至於在有限的崗位中產生激烈競爭，那麼受培訓個體的好處將被激烈的競爭抵消，因此受培訓和未受培訓個體間因政策幹預而存在相互影響。這在經濟學上被稱為一般均衡效應（General Equilibrium Effects），一般可以通過合理限定受培訓個體的數量以降低抵消效應。例如在現實生活中，注射傳染病疫苗對其他人具有相應的影響，如果所有人都注射了傳染病疫苗，而你是否注射疫苗將不會有很大影響，如果沒有人注射疫苗，而你注射了疫苗，那麼是否注射疫苗會對你是否得傳染病有很大的影響。這兩個例子都表明了不管在隨機實驗還是自然實驗（準實驗）中，均可能面臨在幹預條件下處理組和控制組相互影響的現象，對應政策評估時應該如何處理呢？

在對某項政策進行評估時，可以通過選取合適的控制組來避免處理組和控制組之間因政策幹預而相互影響。比如在研究某一項優惠政策對處理組行業的處理效應時，應該考慮所選取的對照行業和處理組行業之間的產業鏈間是否存在上下遊關係，而且政策實施是否會因為此關係鏈而影響控制組行業。具體以「營改增」政策為例，該政策主要針對服務業，範子英和彭飛 （2017） 研究「營改增」政策對產業間的微觀效應（減稅效應和分工效應）時，考慮到如果用制造業作為控制組，將導致估計偏差，這主要是因為製造業運行過程中購買了大量生產性服務，這些生產性服務在「營改增」政策實施之前是不可以抵扣的，但在之後卻納入了抵扣的範圍之內。從 SUTVA 條件來說，直接以製造業作為控制組將不滿足無互相干擾的假設條件，即「營改增」政策的實施不僅對服務業產生影響，同時會因為產業鏈關係而影響製造業產業。因此作者選用了非試點行業作為控制組，由於非試點行業本身不是增值稅行業，即使有購入「營改增」政策實施的行業產品，納入的行業產品仍然不能在進項稅中抵扣，所以「營改增」政策或服務業對非試點行業完全無影響，也就滿足了 SUTVA 條件。

如果某項政策的實施會通過處理組間接對控制組產生影響，則有必要盡可能地將該間接政策效果分離出來。這主要是因為如果政策對控制組具有正向間接影響，而我們直接用經典 DID 方法進行測度時，將低估政策的平均處理效應，反之將高估政策平均處理效應。近期出現了一些通過放鬆 SUTVA 條件來研究項目（政策）溢出效應的文獻，如 McIntosh（2008）、Angelucci 和Maro（2010）。比如 Angelucci 和 Maro（2010）認為拉丁美洲等地區享受條件現金轉移（Conditional Cash Transfer，CCT）政策的個體可能會向沒有資格享受該政策的個體購買商品或分享其得到的資助，因此該政策也會間接對沒「資格」享受的個體產生影響。具體來說，假設該政策在某個地方v實施表示為Gv=1，沒有實施表示為Gv=0，即使某個地方v實施該政策，該地區內的個體i需要滿足一定條件才具有「資格」享受政策Ei=1，沒「資格」表示為Ei=0，政策實施前表示為Ti=0，政策實施後表示Ti=1，具有間接效應（溢出效應）的線性回歸形式表示為：

其中，α4+α6為平均處理效應ATE，α6為間接處理效應ITE。總的平均處理效應為：

其中分別為被處理和未被處理的個體樣本比率，且兩者之和為1。

（三）非線性DID 方法

1. 離散型被解釋變量

前文分析表明經典 DID 方法可以用線性回歸形式表示，但是在實證分析中常常會碰到被解釋變量為離散形式的非線性模型，如二分類變量的Logit或Probit模型。在實證分析時，我們可能會想可否直接將Logit或 Probit的處理變量和時間的交互項的回歸係數作為政策的平均處理效應？答案是不可以，這是因為對於非線性模型的交互效應不能簡單地看交互項的係數而必須計算交互項的混合偏導數或者混合差分（Ai and Norton，2003），同樣 Puhani（2012）指出對於非線性DID方法，只要其具有嚴格單調的非線性轉換函數（如Probit模型為正態分布，Logit模型為Logit 分布），那麼其處理效應不是簡單等於可觀測數據的混合偏導數，而是等於可觀測數據條件均值的混合偏導數與控制組潛在結果條件均值的混合偏導數之差，具體為：

雖然 Puhani（2012）給出了嚴格單調遞增函數形式的非線性DID方法的平均處理效應的理論值，但是並沒有對有限樣本下該非線性DID方法處理效應估計進行討論。

由於該非線性 DID 方法構建非線性轉換函數通常是在非線性函數內設定線性指數，而這些非線性模型通常無法同線性模型一樣直接從 DID 方法中變換得到。為此 Lechner（2010）指出在標準的共同趨勢假設下，可以簡單地應用非線性模型的參數近似估計四種平均效應，然後根據擾動項設定的分布求得每個樣本的效應值，進而得到平均處理效應。比如，對於二分類的被解釋變量，我們可以利用 Probit 回歸估計子樣本下的參數，並根據平均處理效應公式計算：

其中i表示個體，t表示時間，g表示組別。t ∈{0,1}，當t=0時表示處理前，t=1時表示處理後。g∈{0,1}，當g=0時表示控制組，當g=0時表示處理組。表示將作為被解釋變量，作為解釋變量進行probit回歸得到的參數估計量（包括常數項）。為標準正態分布的累積分布函數。Lechner（2010）還根據Blundell（2002）的思想，證明得到在調整後的潛在結果的共同趨勢假設條件下的平均處理效應的一致估計量為：

正因為滿足經典 DID 方法適用的基本假設條件下，可以根據政策結果變量的具體形式擴展經典的 DID 方法，用來評估政策的處理效應，所以離散型被解釋變量的非線性 DID 方法在政策評估分析中被廣泛地應用。Bronzini 和Piselli（2016）為了評估義大利艾米利亞—羅馬涅大區實施的創新政策對企業創新的影響時，將專利申請作為企業創新代理變量，對計數的專利用Poisson DID方法，對二元的專利（政策實施後至少有一個專利申請為1，沒有專利的為0）用 logit DID方法進行實證分析。Courtemanche和 Zapata（2014）研究美國麻薩諸塞州的醫療改革對居民健康的影響時，被解釋變量自我報告的健康指數（0 表示「差」，1表示「一般」，2表示「好」，3表示「很好」和「4」表示非常好）是有序離散變量，因此作者用有序 Probit DID 方法進行建模分析。這些文獻都是根據被解釋變量的形式來擴展經典的 DID 方法，這給政策評估的研究者提供了另一個可行的思路。

2. 連續型被解釋變量

為了解決經典的 DID 無法處理 Heckman 和 Smith（1997）所論述的異質性處理效應的問題，Athey 和 Imbens （2006）提出了可以適用於連續型解釋變量的非線性雙重差分方法（Nonlinear Difference-in-Difference，NL-DID），也稱為雙重變換模型（Changes in Changes，CIC），該方法可以估計處理組和控制組的潛在結果分布，識別更加有效的處理效應分布，提供更廣闊的研究視角。CIC 模型假設處理組和控制組的潛在結果具有異質性分布，通過該假設可以構造處理組的「反事實」分布，因此可以用來評估非隨機實驗的政策效果問題。具體的方法是將控制組經驗分布的反函數作為處理組的「反事實」的分布函數，進而求出處理組的「反事實」的潛在結果，最後將處理組的可觀測結果均值和「反事實」的潛在結果均值的差作為平均處理效應。其中，處理組的「反事實」指的是假設處理組沒有受政策影響時其結果會怎樣？因此，此處理組的「反事實」分布指的是如果處理組不受政策影響時其結果的分布。該方法與經典 DID 方法不同的是其假設控制組個體的結果變量滿足非線性形式而不是簡單的線性形式，即

其中，f（·）為嚴格遞增的未知函數，當即為經典 DID方法。利用 Athey和 Imbens（2006）的定理3.1和定理3.2可以得到控制組的「反事實」分布函數為：

其中，表示控制組的「反事實」分布，該分布不可觀測，和分別表示在給定組別和時間下的條件分布函數，為可觀測分布。經過一系列變換最終可以得到具有異質性的平均處理效應：

現階段 CIC 模型在國內外實證應用還相對較少，就我們知道，Lucas 和Mbiti（2012）利用該模型研究了肯亞小學義務教育政策對升學考試成績分布的影響（見案例 3）。項後軍（2016）將「設立自貿區」視為自然實驗，通過合成控制法（Abadie，2003）生成與處理組相對應的組合控制組，利用 CIC模型分析了自貿區設立對資本流動的影響，結果表明上海自貿區的設立對資本流動具有正向影響。

與 CIC 模型相似的另一個特殊形式的非線性 DID 方法是分位數雙重差分（Quantile Difference in Difference，QDID）。QDID 方法和經典 DID 方法的主要區別在於 QDID 方法能夠求出不同分位點上的處理效應，而不是平均處理效應，因此該方法可以用來分析不同分布的協變量下政策實施的效應（Athey and Imbens，2006）。Bonhomme 和 Sauder（2011）、Fan 和 Yu（2012）對分位數 DID 方法識別問題進行探討。Callaway 和 Yu（2017）研究了基於面板數據的 QDID 方法識別問題。QDID 方法出現的時間比較早，雖然在國外應用比較廣泛，如 Havnes 和 Mogstad（2015）利用該方法分析挪威兒童保育的效應問題，但是國內利用該方法進行政策評估的文獻還比較少。就我們的了解，彭飛（2016）利用經典 DID 方法證實捐贈抵稅政策確實增加了企業的捐贈額，為了進一步研究該政策對不同捐贈規模企業是否具有異質性效應，引入了QDID 方法，結果發現捐贈抵稅政策對不同捐贈力度區間的企業都有正向作用，但這種作用主要集中在捐贈規模較小企業內，即表明捐贈規模較小的企業在捐贈抵稅政策的影響下更能擴寬其捐贈額度。

案例 3：肯亞小學義務教育政策對升學考試成績分布的影響

Lucas 和 Mbiti（2012）利用 CIC 模型研究了 2003 年肯亞實施小學義務教育（Free Primary Education，FPE）政策對市區小學升學考試成績分布的影響。假設接受政策幹預的處理組的反事實狀態（即考試成績的分布）同控制組的分布一樣。用市區中輟學人數佔八年級總人數的比例衡量小學義務教育政策實施的強度，並將強度大於平均值的市區作為處理組，將強度低於平均值的市區作為控制組，將標準化的升學考試成績作為衡量政策效果的變量。估計的結果如表4所示。

從表 4 可以知道，模型（1）的結果表明小學義務教育政策對成績位於中位數水平的學生的影響為正值但很小，且在統計上沒有顯著異於 0，對成績在更高分位點的學生具有負向影響但不大於 0.051，其中對成績在 75% 和 80%的學生具有負向影響，值約為 0.03，在 1% 顯著水平下顯著。總的來說，具有平均強度上實施小學義務政策的市區的學生參加小學升學考試的成績會比其他市區的學生的成績低 0 至 5% 標準誤，表明小學義務教育政策對學生的升學考試成績的影響較弱。其他模型均為模型（1）的穩健性檢驗模型，結果均支持模型（1）的結論，在此不多述。因此，利用 CIC 模型能夠有效分析政策對結果變量分布的影響。

四、同其他政策評估方法的差異性比較

政策評估中常用方法除了 DID 方法之外，還包括匹配、合成控制和斷點回歸等其他方法。已經有大量文獻對政策評估的方法進行很好的論述，比如Doudchenko 和 Imbens（2016）把 DID、合成控制以及約束回歸納入統一的分析框架。Imbens 和 Wooldridg（2009）、Khandker et al.（2010）和趙西量（2017）系統介紹當前政策評估中常用的幾種識別策略。限於文章篇幅，本節不打算詳細介紹每一種方法，僅對幾個常用的政策評估方法的思想原理、優缺點及其同 DID模型的差異性在統一框架下進行描述。表5為四種政策評估方法主要差異。

匹配方法也是政策評估中常用的一種方法，其主要思想是，根據某種「距離」將在控制組個體與處理組進行匹配，並用成功匹配的控制組個體的觀測結果近似表示處理組個體的反事實結果，通過比較兩組的平均差異作為政策的平均處理效應。匹配方法實施前要求滿足條件獨立性和共同區間兩個假設條件，所謂條件獨立性指的是在控制協變量後，個體到底在處理組還是控制組，是獨立於潛在結果；所謂共同區間假設條件指的是要求樣本中要同時存在處理組和控制組。匹配方法主要包括精確匹配和傾向得分匹配。精確匹配根據可觀測變量進行匹配，往往面臨觀測變量越多，匹配效果越差的「維數詛咒」問題。Rosenbaum 和 Rubin（1983）為了解決這一問題，將根據多維可觀測變量進行匹配的方法變為一維傾向得分匹配方法，即根據控制組個體受幹預的概率進行匹配，一定程度上降低了樣本的自我選擇問題，也正是這一點使得傾向得分匹配在政策評估中得到了廣泛應用。匹配方法同 DID 方法的聯繫之處在於，DID方法可以看成一種特殊的匹配方法，是對潛在結果增量的匹配，而不是直接對潛在結果進行匹配。該方法的主要缺陷在於不允許存在未觀測的混雜因素，即無法解決內生性問題。一般可以將匹配方法同 DID 模型結合，消除不隨時間變化且未觀測的混雜因素，以此減輕內生性問題（如案例 1）。同時該方法要求控制組中要有足夠的個體可以供處理組個體進行匹配。

Abadie 和 Gardeazabal（2003）、Abadie et al.（2010）提出了合成控制方法，其主要思想是，儘管控制組個體和處理組個體的特徵不相似，但是可以對這些控制組個體進行某種加權，構造出處理組個體的反事實狀態。從差異性來說，該方法適用的場景類似 DID 方法，都要求政策實施對處理組有影響，但是對控制組沒有影響，不同的是其要求政策幹預在某時刻只影響一個地區或國家，而其他地區或國家在所有時間內都沒有受到該政策的影響，如上海自貿區試點或者中國 4 萬億元刺激方案政策性問題，而且往往要求結果變量是加總變量，而非個人或單個企業的信息，如宏觀經濟變量。簡單來說，DID 方法針對具有多個處理組個體和控制組個體，且處理組和控制組具有一定相似性，而合成控制方法適用於處理組個體較少的政策評估問題。另外，DID 方法可以通過差分解決不隨時間變化且未觀測到的混雜因素，但是無法克服由於存在隨時間變化的混雜因素而導致內生性問題，而合成控制法卻能很好地解決該問題。該模型的主要缺陷在於，合成控制法要求進行加總的權重必須保持在 0 到 1 之間，因此，如果處理組的特徵遠遠大於或者小於控制組的特徵，那麼將找不到合適的權重構造處理組的反事實狀態，也就無法利用控制組的特徵向量的凸組合構建處理組的特徵向量。當然可以通過放鬆假設，允許負權重存在，類似合成控制方法得到一個控制組，比如 Hsiao et al.（2012）的回歸合成方法。

Thistlethwaite 和 Campbell（1960）最早提出了斷點回歸模型，該模型的主要思想在於，尋找一個參考變量，該變量的某臨界值能夠決定哪個個體能夠成為政策幹預對象即處理組，哪個個體不能成為政策幹預對象即控制組，將控制組的結果變量作為處理組的反事實狀態。斷點回歸可分為精確斷點回歸和模糊斷點回歸。精確斷點回歸假設幹預分配完全由參考變量決定，而模糊斷點回歸則假設幹預狀態不是完全由參考變量決定，還與其他未觀測到的因素有關。精確斷點回歸與其他幾種政策評估的不同之處在於，其不滿足共同區間假設，即當參考變量大於臨界值時，所有個體都進入處理組，而當參考變量小於臨界值時，所有個體都進入控制組。斷點回歸模型的主要缺點在於，若個體能夠精確控制是否接受政策的參考變量，那麼臨界點附近的幹預狀態的分配就接近完全隨機實驗的結果，斷點回歸的估計將無效。此外，斷點回歸模型和完全隨機實驗一樣，內部有效性較強，而外部有效性較弱，即只能估計斷點處的平均因果效應，不能簡單推廣到其他位置。針對該問題，Angrist 和 Rokkanen（2015）引入了類似於匹配方法的條件獨立性假設，假設引入其他協變量後，參考變量和潛在結果之間是獨立的，只要根據協變量而不是參考變量進行匹配，可以將因果效應外推到斷點左右任意位置。

上述三種不同於 DID 模型的常用方法也為政策評估的有效性提供了方法保證，都具有各自的優缺點和適用範圍，因此在政策分析的實證過程中應該根據所處的場景判斷使用合適的模型，避免由於模型設定錯誤導致政策評估結果偏差。

五、結論與展望

本文在實驗理論和相關理論的基礎上，根據模型的假設條件論述了經典DID 方法的思想原理，並從共同趨勢、SUTVA 和非線性三個方面歸納總結了DID 方法的最新研究進展、同其他政策評估模型的差異及其在政策評估中的應用。研究發現：

（1）平行趨勢條件是使用 DID 方法的最基本的前提條件，也是驗證估計結果是否存在偏誤的主要評價依據。當公共政策實施前的數據超過兩期時，可以通過圖形或安慰劑來檢驗處理組和控制組是否滿足平行趨勢，對於因「選擇偏誤」等原因導致的違背平行趨勢條件的樣本數據可以考慮通過 PSM-DID 方法或者三重差分模型來測算，這個方法在國內評估政策效果時用得相對較多。

（2）近些年國外已有文獻開始通過放寬 SUTVA 條件對雙重差分方法進行研究。在政策評估中為了避免違背「非混淆性」條件，應該儘量找那些受相同政策影響而且政策影響效果儘可能一樣的樣本作為處理組，找那些沒有受政策影響的樣本作為控制組，而對於兩個政策同時實施時可以引入兩個處理變量分離單個政策的影響。為了避免違背「互不幹擾」條件，在選擇處理組和控制組應該儘量避免兩組別具有關聯性質，當確實存在相互影響如溢出效應時，可以引入衡量溢出效應強弱的「距離變量」分離出直接效應。

（3）我們認為可以將非線性 DID 歸納為離散解釋變量和連續解釋變量兩個類型。在利用離散解釋變量的非線性 DID 方法（如 ProbitDID 方法或LogitDID 方法）進行政策評估時要注意其計算的處理效應等於可觀測數據條件均值的混合偏導數與控制組潛在結果的條件均值的混合偏導數之差，而不是非線性回歸模型的交互項係數。當我們想要減少因個體異質性而產生的估計偏誤或想要進一步研究不同分位數下的政策效果可以利用 CIC 模型或者 QDID方法進行估計。DID 方法在公共政策評估中的應用越來越廣泛，但是如果盲目地使用而不顧及模型的假設條件，估計的結果可能存在偏誤。而錯誤地利用該方法進行政策效果評價，可能導致資源錯配、要素扭曲等後果。為此本文旨在起到拋磚引玉的作用，通過論述 DID 方法在放鬆假設條件下的擴展，為後續政策研究者利用 DID 方法評估政策效果提供一定的參考。返回搜狐，查看更多

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