【基本無害】量子力學中的狄拉克記號和希爾伯特空間

2021-01-18 量化金融科技前沿
複習希爾伯特空間的內積概念

我們介紹一種「奇特」的量子語言，即：狄拉克記號。

通過學習狄拉克記號可以幫助我們理解希爾伯特空間中的對偶空間和單一空間的概念。

此外，隨著量子科技革命的興起，15年之內，也就是2035年之前，我們應該可以目睹量子計算機的商業化落地，如果量子計算商業商業化成功，社會將需要大量的了解量子計算和量子算法的工程師。如果希望了解量子算法，我們首先需要了解量子力學基礎知識，尤其是量子力學的「語言」，即：狄拉克記號。


如果

假設

我們的基本結論是，左因子和右因子的地位是不同的，這啟發量子力學的奠基人—狄拉克發明了一套特殊的數學語言，即狄拉克記號，該「記號」的核心思想是提出了左矢（bar）和右矢（ket）的概念。狄拉克將內積中的右因子的矢量記為

狄拉克記號

因為，我們談論希爾伯特空間時，在定義了矢量的前提下，自然的會定義矢量的加法、數乘和內積三種基本運算（不妨稱為：單一空間），如果我們採用狄拉克記號，可以定義左矢空間和右矢空間。以右矢空間為例，假設

（1）
（2）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）

此外，因為
（1）
（2a）
（2b）
（3a）
（3b）

需要注意，內積是在左矢和右矢之間定義的，而量子力學中如果說兩個右矢

因為，再選取一些重要的性質，比如：
（a） 

右矢空間和左矢空間是兩個互為對偶的空間，這兩個空間合在一起與單一空間等價。

保羅·狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902年8月8日－1984年10月20日），英國理論物理學家，量子力學的奠基者之一，並對量子電動力學早期的發展作出重要貢獻。曾經主持劍橋大學的盧卡斯數學教授席位，並在佛羅裡達州立大學度過他人生的最後十四個年頭。1984年，狄拉克在佛羅裡達州塔拉哈西過世。他給出的狄拉克方程可以描述費米子的物理行為，並且預測了反物質的存在。1933年，因為「發現了在原子理論裡很有用的新形式」（即量子力學的基本方程——薛丁格方程和狄拉克方程），狄拉克和埃爾溫·薛丁格共同獲得了諾貝爾物理學獎。

算符與伴隨算符

下面介紹一下狄拉克記號中算符的用法，算符（operator）又叫算子，初學者可以將算符想像為一個矩陣，以下的討論中，我們用

量子力學中的符號「dagger」

現實世界中的「dagger」(匕首)

我們以前討論過伴隨算符的概念。具體見以下推文回顧

此伴隨算符和左矢

我們思考一下，如果給出 

因為左矢和右矢互為對偶空間，於是可以發現：
 

小結一下，狄拉克設定左矢和右矢空間這種對偶空空間，要優於單一空間的設定。

厄米算符和么正算符

厄米算符和么正算符是量子力學中最常見的兩類算符。厄米算符是其伴隨算符與自身相等的算符，又稱自伴算符，在單一空間中稱為自軛算符。

若算符

算符

在介紹么正算符之前，需介紹等距算符，等距算符是滿足

思考一下，按照狄拉克記號， 

a) 

b) 

此外，以上的討論都是假設矢量處於有限維希爾伯特空間之上，那麼無窮維情況呢？



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    原標題：華人科學家文小剛獲「狄拉克獎」 IT之家8月9日消息 據外媒的報導，華人科學家文小剛在8月8日獲得了由國際理論物理中心頒發的2018年的「狄拉克獎」，這是理論物理的最高獎項。同時獲獎的還有哈佛大學的Subir Sachdev、芝加哥大學的Dam Thanh Son。
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    也可以把 δ 函數嚴格地定義為一種Sobolev-Schwartz 分布 ：考慮一個包含所有某類足夠光滑的、在實軸上具有緊支集 Ω的函數 ϕ（稱為試驗函數）的空間 S。此空間中每一個有定義的連續線性泛函都稱為是一個分布。一個定義在空間 S 中具有緊支集 Ω ＝｛0｝的線性泛函被稱為狄拉克 δ 函數。在這裡讓我們更感興趣的，是 δ 函數出現的歷史契機。