量子世紀的創世餘暉——讀馮·諾依曼《量子力學的數學基礎》

惟願潛心讀者深入馮·諾依曼的「間接言說」，去真切見識那個「激動人心的年代」。

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Durch den ganzen logischen Apparat hindurch sprechen die physikalischen Gesetze doch von den Gegenständen der Welt.

物理規律藉助其全部的邏輯機制間接地言說世界中的對象。

——維根斯坦，《邏輯哲學論》（Logisch-Philosophische Abhandlung）

撰文 | 李輕舟

重視並探討物理學在表述中呈現出的形式結構及其意義是牛頓創立經典力學體系以來的傳統。一般地，表述物理學所依賴的載體主要分為兩種：第一種是自然詞彙組成的陳述性語句；第二種是數學符號組成的形式表達式。以前者為主要表述方式的物理學文獻集中出現在亞里斯多德到牛頓時代。大約從拉格朗日、拉普拉斯開始，符號表達式逐漸取代了自然語句成為了物理學的主要表述方式。

無論是自然詞彙的陳述語句，還是數學符號表達式，本質上都可歸類於形式邏輯的命題。這些命題依靠相互之間的邏輯關係組成系統，即物理學在表述中呈現出的形式結構。我們通過這套形式結構邏輯地或數學地刻畫物理學的概念，而概念指向了物理世界中的客觀實在，從而「間接地言說」物理世界，如同愛因斯坦、波多爾斯基、羅森在「EPR」[1]中指出的那樣：「這些概念對應於客觀實在，而我們通過它們向自己描繪了實在。」

歷史上，物理學家對形式及其意義的興趣可以從麥克斯韋的一段經典論述中得到驗證。在著名的電磁理論文獻《論法拉第的力線》[2]中，麥克斯韋明確指出了形式（數學表達式）的重要性，他說：「為了獲得不依賴固有理論的物理學新概念，我們必須善用物理類比。所謂物理類比，是指利用科學規律之間的局部相似性，用它們中的一個去說明另一個。因此，所有的數理科學要建立在物理學規律與數學規律之間關係的基礎之上，所以精密科學的目的在於將自然界的難題以數的手段還原為量的判斷。通過最普遍的類比到極小的局部，我們發現正是兩種不同現象相同的數學表達形式催生了光的物理學理論。」

圖1 邏輯原子論的代表人物：羅素（B. Russell）與維根斯坦（L. Wittgenstein）

隨著分析哲學中「邏輯原子論」（logical atomism）的一度興盛以及數學或物理學中「物理學公理化」（mathematical treatment of the axioms of physics）運動的推進，對物理學形式結構的探討已經取得了長足的進展。20世紀初才正式進入人們視野的物理學公理化，其實一直是經典物理學的一個潛在的歷史傳統，它可以追溯到牛頓在《自然哲學之數學原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, 1687）中對歐氏幾何學的「模仿」，哥德爾曾經評論道[3]：「物理學家對公理化方法缺乏興趣，就像一層偽裝：這個方法不是別的，就是清晰的思維。牛頓把物理學公理化，因而把它變成了一門科學。」

圖2 在普林斯頓漫步的愛因斯坦與哥德爾（K. Gödel）。哥德爾與著名的「維也納學派」（Wiener Kreis）過從甚密，該學派深受馬赫、羅素和維根斯坦思想的影響。

然而，物理學公理化在世紀之交被正式提出來並受到一定程度的重視，完全得益於一場由數學家或者說數學物理學家發起的物理學公理化運動。1900年，希爾伯特在第二屆國際數學家大會上宣讀了題為《數學問題》（Mathematical Problems）[4]的著名演講。在這篇演講中，希爾伯特向當時的數學界提出了23個有待深入研究的基礎數學方向或難題，合稱「希爾伯特問題」。其中第6個問題，即「物理學的公理化」，希爾伯特對此的闡述是：「對幾何學基礎的探討暗示了這樣一個問題：可以藉助公理且運用相同的方法處理數學在其中扮演著重要角色的物理科學；首要解決的便是概率論和力學。」在給出一些路線上的提示後（比如馬赫、赫茲、玻爾茲曼等人的方法），希爾伯特進一步強調：「此外，數學家的責任是在每個實例中嚴格檢驗這些新公理是否與舊的相容。物理學家，當理論取得進展時，經常發現自己為實驗結果所迫而去構造新的假設，為了使這些新假設與舊的公理相容，他不得不依賴這些實驗或某些物理直覺，而這種經驗在理論的嚴格邏輯構建中是不被允許的。對我來說，令人滿意地證明所有假設的相容性同樣很重要，因為獲得每一個證明的努力總會最有效地迫使我們達到一個嚴格的公理表述。」雖然，希爾伯特對形式系統公理相容性證明（在所謂「超限公理」的約束下）的預期最終被哥德爾證明為不可能（涉及希爾伯特第2問題「算術公理系統的相容性」、「希爾伯特形式主義綱領」和「哥德爾不完備性定理」），但物理學公理化的號召還是得到了相當可觀的積極響應。在隨後30多年時間裡，這場運動取得了四項進展：1909年，哈梅爾（G. Hamel）在分析力學的基礎上實現了力學的公理化[5]。同年，卡拉西奧多裡確立了公理化熱力學的基礎[6]。1932年，馮·諾依曼出版了《量子力學的數學基礎》（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik），該文獻被視為遵循希爾伯特路線的一個量子力學公理化範本。1933年，柯爾莫哥洛夫出版了《概率運算的基礎》（Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung），建立了嚴格的公理化概型，概率論實現了公理化乃至「數學化」。

圖3 希爾伯特（D. Hilbert）、卡拉西奧多裡（C. Caratheodory）與柯爾莫哥洛夫（А. Н. Колмогоров）

20世紀20年代以降，量子力學由初創階段轉向縱深發展，馮·諾依曼的量子力學公理化為量子力學的哥本哈根詮釋提供了一個符合希爾伯特期待的數學基礎。1930年，狄拉克在《量子力學原理》（The Principles of Quantum Mechanics）中給出了量子力學（包括發表於1925年的矩陣力學和1926年的波動力學）的統一數學表述形式。在《量子力學的數學基礎》中，馮·諾依曼首先肯定了狄拉克的嘗試，但同時指出了其在數學嚴密性上的不足（比如δ函數的引入）。基於外爾向量空間的公理體系（見《空間、時間、物質：廣義相對論講義》，Raum, Zeit, Materie :Vorlesungen über allgemeine Relativitätstheorie, 1918），馮·諾依曼為量子力學的傳統表述（即哥本哈根詮釋）賦予了一個新的數學結構——希爾伯特空間，並在該空間中展開厄密算符理論作為量子力學的數學基礎。

圖4 外爾（H. Weyl）、狄拉克（P. Dirac）與馮·諾依曼（John von Neumann）

此時 B 為 L 的肖德爾基。在內積空間中，可以為 B 中元素加上互為正交歸一的條件。

綜上，馮·諾依曼使用的希爾伯特空間就是一個存在正交歸一化肖德爾基的完備內積空間。由於肖德爾基的存在，這個空間是無窮維的，即無窮維希爾伯特空間。

馮·諾依曼把無窮維的希爾伯特空間作為量子力學的相空間或態空間。這就引出了馮·諾依曼公理系的第一公理，它可被表述為：

公理I. 量子力學的態函數 Ψ 為希爾伯特空間的元素。

這條公理在物理上陳述了薛丁格的波函數，其所有物理性質都可以由希爾伯特空間的數學結構準確地刻畫。對所選定的特定表象，Ψ 展開的本徵態函數即希爾伯特空間中的肖德爾基。

根據這兩個公理，我們可以很方便地導出定態薛丁格方程等一系列重要結論。公理III的數學表述形式是在薛丁格工作上展開的，它表徵了波函數連續的演化過程，但並沒有刻畫波函數在測量條件下的坍縮機制。對這個機制的表述可以歸納為馮·諾依曼公理系第四公理：

公理IV. 對經典力學量 F 測量，所得平均值

公理IV實際上陳述了波函數在實驗中的物理意義，涉及玻恩的波函數統計解釋以及頗具爭議性的測量問題（測量主體與客體交互過程中的波函數坍縮）。

除了粒子全同性原理和自旋假設外，馮·諾依曼公理系涵蓋了非相對論性量子力學的全部基本規律。從該公理系出發，馮·諾依曼在更嚴格的意義上證明了矩陣力學和波動力學兩種表述方式的數學等價性，並且通過證明現行量子力學理論體系不存在定域隱變量，在一定程度上支持了玻爾一派期望的量子力學「完備性」。馮·諾依曼公理系及其定域隱變量不存在的證明影響了後來玻姆、貝爾等人對量子力學基礎的考察，而他為之建立起來的數學體系和方法也促進了現代泛函分析的發展。

圖5《量子力學的數學基礎》扉頁（1932年德文原版與1955年英譯版）

筆者曾對這種「間接言說」的「語言」本身——物理學的理論表述形式——抱有濃厚興趣。大約十年前，在撰寫學士學位論文期間，藉由梳理物理學公理化歷史，筆者第一次獲知量子世紀的「創世餘暉」——《量子力學的數學基礎》。為了更方便地閱讀，筆者專門託在北大數學系就讀的友人去北大圖書館搜尋，幸而找到了1955年的英譯本（Robert T. Beyer譯，普林斯頓大學出版社出版）。友人將原書複印裝訂成冊，千裡迢迢寄送到我手中，使我有機會直面20世紀頂級的天才大腦......老實講，那不是什麼輕鬆的閱讀體驗，文章完成，也就相忘於江湖了。所謂「浮雲一別後，流水十年間」，未曾想科學出版社近日推出了這部名著的中譯本（凌復華譯，李繼彬校），編輯朋友為督促我學習，第一時間寄來了新書。舊書重讀如老友重逢，奈何歲月蹉跎，學問無所長進，率爾操觚，惟願潛心讀者深入馮·諾依曼的「間接言說」，去真切見識那個「激動人心的年代」（狄拉克語）。

參考文獻

[1] A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen. Can Quantum-Mechanics Description of Physical Reality Be Considered Complete? [J]. Phys. Rev., 1935, 47.

[2] J. Maxwell. On Faraday’s Lines of Force[J]. Transactions of The Cambridge Philosophical Society,1855,10.

[3] H. Wang（王浩）. 邏輯之旅：從哥德爾到哲學[M]. 邢滔滔、郝兆寬、汪蔚，譯.杭州：浙江大學出版社，2008.

[4] D. Hilbert. Mathematical Problems[J]. BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, 2000, 37(4).

[5] G. Hamel.Über die Grundlagen der Mechanik[J]. Mathematische Annalen, 1909, 66.

[6] C.Caratheodory.Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodznamik[J]. Mathematische Annalen, 1909, 67.