量子信息 | 從量子力學聊起——希爾伯特空間

前面我們介紹了「態」，也介紹了量子力學的總體框架。有了這些是不是就足夠我們開始用量子力學理解世界了呢？你別說，原則上還真就差不多了。

但是，僅僅是「原則上」如此。因為還有很多細節，需要靠數學語言才能更精確地描述和理解。所以接下來的介紹中，我們將引入一些數學——不用擔心，如果從完全實用的角度來看，這些數學其實並不難，沒有什麼玄妙的技巧。這篇文章中，我們就從實用主義的角度來介紹量子力學繞不開的數學基礎：希爾伯特空間（Hilbert Space）。

之前的文章提到過，量子力學的研究對象，「態」，就是希爾伯特空間中的矢量。那麼什麼是希爾伯特空間呢？它的數學定義是這樣的。

希爾伯特空間是定義在複數域上的內積空間，且基於內積定義了度規，且在這個度規的意義上是完備的。

看了這個定義，你要是不直呼「臥槽」，我就得直呼「內行」。什麼「內積空間」，什麼「度規」，什麼「完備」，字我都認識，可是就是不明白啊。

沒關係，即使是物理專業的人，能把這個定義完全搞懂的也是少數。不過，不懂這個定義，並不妨礙我們用它來做量子力學推導。我們是怎麼做的呢？

簡單來說，我們把希爾伯特空間等價成高中學過的矢量空間，再加上一點不怎麼影響操作的拓展。那麼首先我們來複習一下高中學的矢量空間。（注意以下條目並不是嚴格的定義，只是為了理解接下來的討論而需要回想起來的一些要點。）

矢量空間矢量，就是一個有大小有方向的量。標準的記號是頂個箭頭，比如

在希爾伯特空間中，上面的說法基本都是成立的，額外需要做的兩條拓展是：

希爾伯特空間的矢量可以乘以複數，比如

為了這兩條拓展，數學家們要花大把力氣才能使它們在邏輯上嚴謹且自洽；同時我們也沒法用三維位置空間這樣簡單的例子了。但是，我說過，在「操作上」並沒有什麼影響（物理學家用數學就是這麼寫意）。不信，我們把上面的要點在希爾伯特空間中重新寫出來。

希爾伯特空間中的矢量，也是一個有大小有「方向」的量。在這裡我們用量子力學中的記號來表示

感覺如何？是不是只要接受「

一個陷阱

唯一的問題就是最後那個例子有點奇怪：一維的位置空間怎麼在量子力學中就變成了無窮維的呢？

要從觀念上徹底理解這個問題，就必須提到現代數學體系的抽象性了。我打算在後面專門寫一篇文章介紹。但是暫時，我們需要從現象上提醒讀者：量子力學中的態構成的希爾伯特空間，和這個態所表達的物理狀態所處的空間是不同的。在這個例子中，態空間是一維位置空間中每一個點對應的態互相正交形成的無窮維的空間，而一個態所表達的物理狀態所處的空間就是一維的位置空間。

類似的情況還包含一個重要的例子：電子的自旋。我們可以不用深究自旋是什麼，就當作是電子自身具有的一個帶有方向的物理量。所以電子的自旋可以指向我們所處的三維空間中的任何一個方向。但是，描述電子自旋的量子力學態空間是個二維的希爾伯特空間——就是我們在量子計算中聽說的量子比特

好啦！雖然深究的話還有很多問題，但是看到這裡，本文的目標就已經達成了。這個目標就是使你相信，只要你還知道矢量運算怎麼做，你就能向著「學習量子力學，理解量子信息」的目標繼續前進下去了。