我國著名數學家華羅庚（1910-1985）說過，「就數學本身而言，是壯麗多彩、千姿百態、引人入勝的……認為數學枯燥乏味的人，只是看到了數學的嚴謹性，而沒有體會出數學的內在美。
幾乎每個人都吹過肥皂泡，甚至成年人也會很有興趣地玩。一個個滾圓的球，漂浮在空中，還呈現出絢麗的顏色，煞是好看。不過，好看的肥皂泡總是過一會兒就破滅了，所以文學家們形容某些美好而不現實的事，說是肥皂泡的幻滅。美國著名作家馬克吐溫寫過富有激情的句子來歌頌它：「肥皂泡，你呀，自然界最激動人心的和最奇異的現象。」而肥皂泡中蘊含了豐富的數學問題，卻鮮為人知。
A.馬蘭戈尼效應
物理學家對它有興趣，通過它可以研究表面張力、研究光在薄膜上的幹涉作用、研究物質的吸附作用等等。不過豈止物理學家，數學家對它有興趣，通過它研究最小曲面，研究泛函的極值；生物學家對它有興趣，通過它研究生物體內的薄膜、研究薄膜的生化機理。力學家受它的啟發研究薄膜充氣結構，頃刻間就可以支起一座容納上萬人的會場。在材料的生產中，要研究肥皂泡有關的問題，如泡沫塑料、泡沫水泥；有時候還要避免泡沫的形成，因為廢水中過多的泡沫會對環境造成汙染。一百多年來有上千篇的學術論文發表在與肥皂泡有關的課題上，有成百的學術專著出版論及肥皂泡。
肥皂泡是非常薄的形成一個帶虹彩表面的空心形體的肥皂水的膜。肥皂泡的存在時間通常很短，它們會因觸碰其它物體或維持於空氣中太久而破裂（地心吸力令肥皂泡上方的膜變薄）。
由於它們很脆弱，它們也成為美好但不實際的東西的隱喻。它們經常被用作孩童的玩物，但他們在藝術表演中的使用也表明它們對於成人也是很有吸引力的。肥皂泡還可能幫助解決空間的複雜的數學問題，因為他們總是會找到點或者邊之間的最小表面。
肥皂泡比其他材料（包括純淨水在內）的氣泡更持久，這是因為馬蘭戈尼效應，即由於表面張力不同的兩種界面存在表面張力梯度，而使質量傳送的現象。它是以義大利物理學家卡羅馬蘭戈尼的名字命名的，馬蘭戈尼在1865年發表了這一研究成果。基本上，就肥皂泡而言，馬蘭戈尼效應可以穩定它的界面，讓它比正常的氣泡更堅固，更持久。
B. 開爾文問題
大家學習熱學的時候，總會接觸過開氏溫標和開爾文(Kelvin, K) 這個溫度單位。你可能立即聯想到這個單位所紀念的科學家的名字一定就是開爾文了。你答對了一半。他原名威廉湯姆遜，後來因為他在科學上的成就和對大西洋電纜工程的貢獻，獲英女皇授予開爾文勳爵銜，所以後世才改稱他為開爾文。
開爾文對泡沫形狀的結構情有獨鍾：「如果你吹一個肥皂泡並進行觀察，你可以對它進行一生的研究並能從中獲得一個又一個物理定律,並且由它引出一堂又一堂的物理課程。」
1、 開爾文問題的提出
具有相同體積的同種泡泡放在一起，應該是什麼樣的結構？1887年，開爾文提出了著名的開爾文問題: 如果將三維空間細分為若干個小部分，保證接觸面積最小，這些細小的部分應該是什麼形狀呢？這個問題引發了人類對完美空間的不倦追求。
對於二維平面來說，這個問題就是著名的蜂窩問題：蜂房的橫截面是什麼形狀才能保證消耗最少的蜂蠟？而直到1999年T.黑爾才證明了：在無窮多可能的形狀中，由正六邊形組成的平面網絡是效率最高，也就是最節省蜂蠟的方法。
對於三維情況，開爾文認為一種現在稱為開爾文胞體的圖形是最優解。這種胞體是一種截頂正八面體，它由八個正六邊形和六個正方形組成。開爾文相信經由這些胞體所構成的系統能最有效地將空間劃分為等體積晶格，即將構建材料最小化，但是，他無法證明這個猜想的正確性。
2、 開爾文猜想的解決
1993年，兩位物理學家威爾和弗蘭出人意料地否定了開爾文猜想。他們對開爾文胞體加以改進，發現了一種新形體，人們將其命名為威爾-弗蘭泡沫。 「水立方」是北京奧運會國家遊泳中心，它的膜結構是世界之最。它是根據細胞排列形式和肥皂泡天然結構設計而成的，這種形態在建築結構中從來沒有出現過，創意十分奇特。其設計創意運用到威爾-弗蘭泡沫理念，但是，人們依然沒有證明這是否是最終解。
陽光谷，位於上海世博園的陽光谷是中國第一的索膜結構建築，其特殊之處在於柔性，白色膜布的最大風擺幅可以達到上下3米，大風吹來，膜布能隨風起舞。而這種膜結構和微分幾何中的極小曲面關係密切。
3、 開爾文問題的新進展
2009年，英國巴斯大學博士魯傑羅加布萊利發表論文說，他發現了開爾文問題的一種新解答。他提出的結構由4種不同的「泡泡」組成，其小單元接觸界面也小於開爾文結構的接觸界面，雖然還無法超越「水立方泡泡」結構的接觸界面，但這是一種新思路，很可能會在將來突破相關紀錄。巴斯大學發布的新聞公報說，加布萊利的發現不僅是數學領域的一項進展，還將有助於研發人造骨骼等材料的最優結構。
C.曲面細分&極小曲面
在數學中，極小曲面是指平均曲率為零的曲面。舉例來說，滿足某些約束條件的面積最小的曲面。物理學中，由最小化面積而得到的極小曲面的實例可以是沾了肥皂液後吹出的肥皂泡。肥皂泡的極薄的表面薄膜稱為皂液膜，這是滿足周邊空氣條件和肥皂泡吹制器形狀的表面積最小的表面。
20 世紀50 年代，新設計學派提出的「極小曲面」理念開創了現代張拉膜結構設計的先河。基於這種理論，對於特定邊界條件得到的膜結構表面積最小，從而耗能最少。這類膜建築的主要結構特點是預應力在整個結構中均勻分布。例如，東京街頭景觀——極小曲面亭、紐約科學館中的極小曲面華蓋、德國boxel實驗館中由2000 多個啤酒箱組成的極小曲面和廈門園博園中的極小曲面建築。
可以說現代的一些建築師喜歡做曲面的建築，為了降低成本，通常的做法往往是化曲為直，用種類有限而數量巨大的多邊形來拼合出外表皮。這是蘊含著極其複雜的算法的，通常是各大曲面設計所的核心機密，算法好壞的一個評判標準是表皮的流暢程度。
慕尼黑奧運會場館：
事實上，肥皂泡還有重要的科學背景。2013 年，美國科學新聞網站 刊登出了由世界各國科學家們鼎力推薦的十大影響世界文明進程的「魅力方程」，極小曲面方程便在其中。「這個方程在某種程度上解釋了人們吹出的那些肥皂泡的秘密。」美國數學家、首屆美國國家傑出教學獎獲得者Frank Morgan 在推薦時表示，這個非線性方程描述了美麗肥皂泡背後的數學。肥皂泡蘊含的極小曲面問題與偏微分方程、微分幾何、複變函數、變分法、拓撲學等多個方向都有著十分重要的聯繫，向人們展示了曲面的美感和幾何的魅力。
2019年阿貝爾獎揭曉，挪威科學與文學院公布年度阿貝爾獎獲結果。獲獎者是來自美國德州大學的教授凱倫烏倫貝克（Karen Uhlenbeck），也是該獎自2003年設立以來的首位女性獲獎者。獎項表彰她在「幾何偏微分方程、規範理論和可積系統的開創性貢獻，以及她在分析、幾何和數學物理領域的工作上的深遠影響。」
凱倫烏倫貝克因其在幾何分析和規範理論方面的基礎工作獲得了 2019 年的阿貝爾獎，她的貢獻顯著改變了數學領域。她的理論徹底改變了我們對於極小曲面（minimal surface）的理解，例如肥皂泡的曲面，以及更為廣泛、更高維度的最小化問題。』阿貝爾獎委員會主席 Hans Munthe-Kaas 表示。
『肥皂泡』是數學家稱之為優化問題的一個例子，這些問題通常非常困難且不知道有多少個解。『你可以提出這樣一個問題，你在 n 維空間中有一個肥皂泡，』烏倫貝克介紹道，『事先你不知道肥皂泡的最小形狀會是什麼。』
宇宙經常是懶惰的，總會尋求能耗最少的解決方案。在平面中，我們可以簡單地說明優化問題：兩點之間的最短距離是直線。即使在像地球這樣的曲面上，問題也有一個簡單的答案——一個被稱為大圓的弧。但在肥皂泡中——三維空間中的二維表面——問題就會變得複雜。為了使表面張力最小化，氣泡會形成具有最小面積的形狀——球體。當兩個或多個氣泡彼此接觸，或在扭曲的金屬環內部形成肥皂膜時，氣泡的形狀會變得更複雜，但仍遵循最小面積的規律。
目前，充氣和薄膜結構使用的範圍愈來愈廣，從充氣屋頂、充氣大廳、充氣枕頭、充氣床到充氣玩具，不一而足。薄膜結構也日益擴展它的市場，古老的油布傘、船上的帆都可以看作這類薄膜結構，現在薄膜屋頂、薄膜帳篷用得也很普及。
D.拓撲學中應用
查看一下全世界任意一個城市的任何一張地鐵線路圖，你發現了什麼？不像地圖冊裡那些顯示了一條路所有拐彎線路的地圖，地鐵線路圖相對簡單，只有直線、圓圈和平滑的曲線（可以參考倫敦、北京或華盛頓特區的地鐵線路圖），但地鐵實際的運行線路並非這麼簡單，站與站之間要經過一系列的彎道。儘管如此，地鐵線路圖依然能幫助乘客導航。為什麼它遺漏了這麼多信息，卻還能導航？
這個問題可以用拓撲學這一數學分支來回答。拓撲學與幾何學相關，主要研究形狀在拓展、縮攏、拉伸和扭曲時的變形（「拓撲學」一詞來源於希臘語，原意是位置、研究或測量）。拓撲學所研究的變形必須遵循一個規則：不能破壞初始形狀的完整性。例如，切割後再粘在一起的形狀不能作為拓撲學的研究對象。相反，將橡皮筋拉伸到極限，揉成一個球，再把它扭成一塊椒鹽脆餅的形狀，最後的形狀就屬於拓撲學的研究範圍。簡言之，在拓撲學中，新形狀必須能通過一個連續的動作恢復到初始形狀。只要可以，按照拓撲學的術語來說，這兩個形狀就是等量的。
現在，地鐵線路圖和地鐵的實際運行線路之間的關係就明朗了。地鐵線路圖是地鐵實際運行線路的一個拓撲變形，從某種意義上說，線路圖是運行線路被拉伸和撫平後的結果，就好像地鐵線路是橡皮泥做的。在拓撲學看來，這兩個形狀——地鐵線路圖和實際運行線路——是相同的。
總之，從肥皂泡引申開來，與它有關的問題是如此之多，如果把它涉及的方方面面都研究清楚，不僅一個人的畢生之力不夠用。就是人類集體之力，也不是一朝一夕能夠弄清楚的，你有興趣試試嗎？
王國維在《人間詞話》中將詞分為有我之境與無我之境，借用丘成桐先生的觀點，數學研究當然也有境界的概念，在某種程度上也可談有我之境、無我之境。肥皂泡問題生發於現實中的買地問題，由生活引導，可謂無我之境；但隨後數學家們不懈的證明推動理論的發展，可謂有我之境矣。
參考文獻：
1. 自然的魅力——水立方與肥皂泡理論.張昌芳,劉家福.百度文庫
2. 蜂窩與數學.百度文庫
3. 發現「開爾文問題」新解.科學網
4. 美麗肥皂泡背後的數學.林馨怡,保繼光.數學文化