方差-協方差法VaR計量模型選擇

首創期貨研發中心金融工程組
徐澤平

     隨著金融市場的發展，金融交易規模、動態性和複雜性的增加，金融理論和金融工具的發展，金融市場風險測量技術變得複雜、綜合。目前，金融市場風險測量的主要方法有靈敏度分析、波動性方法、VaR、壓力試驗和極值理論。其中VaR（Value at Risk）是近年才發展起來的一種風險測量技術，因其具有簡潔、綜合、實用等特點，業已發展成為金融市場風險管理的主流方法。目前，國內越來越多的金融機構也採用VaR技術作為事前風險監控和事後風險評估的重要手段。因此，加強對VaR技術的研究就顯得十分必要。
      VaR能比較準確地反映出金融市場風險狀況且易於理解，因此在風險測量及風險管理方面應用得非常廣泛。同時，VaR方法經過不斷發展，現已成為一個龐大的家族，根據不同情況在實際應用中面臨具體模型選擇的問題。
     VaR的計算方法主要有歷史模擬法、Monte Carlo模擬法、方差—協方差方法（分析方法），這三種方法基本思想不同，各有優缺點。本文所研究的是實踐中最常用的方差—協方差方法。
     在方差—協方差方法中，RiskMetrics方法由於其推出時間較早且算法簡單而倍受業界推崇。但隨著現代金融市場的不斷發展，市場風險日益複雜化，從而需要一套更為精確的測量方法來監控投資風險。單變量GARCH及多元GARCH模型在對序列波動性及相關性建模的精確性方面比RiskMetrics有較大優勢，受到廣泛的關注。
     本文將對方差—協方差法中計算VaR的一些典型模型做簡要介紹，利用大盤及板塊做實證研究以對比基於各種模型計算的VaR對市場風險的刻畫效果，即VaR的有效性，並給出相應結論，以供在選擇模型時參考。
     一、VaR簡介
     VaR的含義是「處於風險中的價值」，是指市場正常波動下，某一金融資產證券組合的最大可能損失，或者說VaR就是 在一定置信水平下，某一金融資產在未來一定期間內的最大潛在損失值：

     其中，p為金融資產在持有期?駐t內的損失；VaR為置信水平c下處於風險中的價值。
     假定某公司2007年置信水平為95％的日VaR值為100萬元，根據VaR定義，其含義是指，可以以95％的概率保證該公司2007年每一特定時點上的金融資產組合在未來24小時之內，由於市場價格變動而帶來的損失不會超過100萬元。
在假設  的條件下，對於一個資產組合的VaR計算的基本公式為：
                                                                            （1）
     其中Za為置信水平為1-a時的百分位點，W為權重向量，Ht為時變的協方差矩陣。在單一資產中，協方差矩陣就退化為方差。
     因此，方差—協方差方法中，資產組合的協方差矩陣是計算VaR的關鍵環節。
     在VaR的計算中，波動性模型和估值模型是其核心和難點。不同的波動性模型和估值模型構成了VaR計算的不同方法。實際金融數據具有一些基本特徵，如尖峰厚尾性、波動集聚及爆發性、自相關及序列相關性等，模型的提出或改進都是基於這些基本特徵的。
      下面就實際應用中對金融數據波動性和相關性建模的幾種典型方法做簡要介紹。
     二、VaR計算的典型模型
     （一）指數加權移動平均模型（EWMA）（RiskMetrics）
      EWMA法對時間序列中的數據，根據距當前時刻的遠近，分別賦予不同的權重。距離現在越近，賦予的權重就越大。因為越遠的歷史信息所起的作用越小。EWMA法引入一個參數?姿決定權重的分配，?姿稱為衰減因子。時間序列       的n期指數移動平均定義為：

      用EWMA估計預測波動性和相關性，用平方回報r2代替中的x就得到了方差的估計： 
 
      用兩個回報序列的積r1r2替代式中的r就是協方差的估計：
 
     EWMA法中只有一個參數衰減因子?姿。對?姿的估計通常都用均方根誤差原則，即選取使預測的均方根誤差達到最小的?姿值。RiskMetrics方法對日回報數據的波動相關性的估計中都採取衰減因子為0.94。
     EWMA方法存在一些局限性：
     第一，目前還沒有最佳的理論方法估計衰減因子?姿。在RiskMetrics中，?姿是通過最小化預測的均方誤差(MSE)得到的。
     第二，衰減因子應該是隨時間顯著變化的，所以將衰減因子定義為常數是不適當的。
     （二）單變量GARCH及其改進模型
      Engle提出了ARCH模型對方差進行建模。Bollerslev將ARCH模型推廣，發展成廣義的ARCH模型，即GARCH模型。大量的實證研究表明，GARCH類模型特別適合於對金融時間序列數據的波動性和相關性進行建模，估計或預測波動性和相關性。
     1.GARCH模型：
 

     滿足上述條件的模型稱為GARCH(p,q)模型，在實際中運用最廣的為GARCH（1,1）模型。
     GARCH模型考慮了異方差本身的自回歸，具有很強的概括能力。但也存在一些局限性，如：?滓t2值取決於?著t-i的大小而與其符號無關，很難判斷引起條件方差波動源的持續性，而這種持續性在許多研究金融波動的時間序列時都是核心問題。
     2.GJR-GARCH模型：
     考慮到證券市場中投資者對於利好或者利空消息反應不對稱的事實，所以非對稱GARCH模型成為了必然選擇。Glosten，Jagannathan與Runkle引入的GJR-GARCH(1,1,1)模型：
 

     3.EGARCH模型：
     為克服GARCH模型局限性，Nelson提出了指數GARCH (Exponential GARCH)模型，其條件方差函數為：
 

     由於建立了In?滓t2模型，即使參數是負的，?滓t2也將是正的。因此不需對模型參數施加非負約束。另外，如果波動性和收益之間的關係是負相關的，?姿將是負值，所以，在EGARCH公式下能解釋非對稱性。
    （三）多元GARCH模型的定義及主要形式
     由於單變量GARCH模型能夠充分刻畫單個金融市場波幅的時變特徵，在波動預測和風險管理方面有著及其廣泛的應用。為了研究多個回報序列之間波動的相關性，GARCH模型一經提出便迅速向多元模式推廣。
考慮一個n維過程Xt ，定義?贅t為Xt在時刻t的信息集，假定：
 

      N(?滋t，Ht)是一個均值為?滋t協方差矩陣為Ht的多元正態分布。在總的框架下，一個多元GARCH過程可以表述為：
 
     利用多元GARCH進行建模，由於充分考慮了回報序列自回歸及不同序列之間的相關性，對資產組合的波動刻畫比較理想，但其存在的最主要問題是計算成本隨組合中資產個數的增加成幾何倍數遞增，於是，圍繞著計算成本的降低而發展了下列典型模型：
     1.CCC模型（Constant Conditional Correlation）：
     在估計多元GARCH模型時，檢驗協方差矩陣正定的條件十分困難。Bollerslev建議讓相關係數固定來解決這些困難。CCC模型形式如下：

             
      CCC模型假定變量間的相關係數為常值，總的待估參數大大減少。其協方差矩陣的正定性受限於相關係數矩陣。由於計算方便，常相關係數模型在實證研究中非常流行，但常相關係數的假定並不能被實際金融數據支持。
      2.DCC模型（Dynamic Conditional Correlation）：
      為了更好地研究多個時間序列的波動情況，Engle和Sheppard提出了一種新的估計量——DCC，它比以前的模型相對節儉，具有良好的計算優勢，可以用來估計大規模的相關係數矩陣。動態相關結構設定為：
 

     其中Rt為時變相關係數矩陣，在這裡相關係數矩陣Rt被分解，  Qt裡面的元素為qij,t 、qii,t 、 qjj,t， ?琢m和 ?茁n稱作DCC模型的係數（m和n為滯後階數）。這個設定可以適用於大規模資產組合情形。
     3.FlexM模型：
     Olivier Lediot，Pedro Santa-Clara，Michael Wolf發展了一種無約束條件的多元GARCH模型，稱之為FlexM模型。
 
      FlexM在模型形式上與多元GARCH的一般形式並無不同，所不同的是參數估計方法。傳統的多元GARCH模型隨變量增加，參數個數及運算量急劇增加，當變量超過5個時，參數求解將變得非常困難。FlexM模型採用範數逼近的方法求解參數，最大的優點是可以方便地估計維數較大的多元GARCH模型而不附加任何約束條件，其次是計算成本比其他模型大為減少。
     三、實證研究
    （一）數據說明
     為了對比研究上述各種模型的效果，我們分別構造單一資產及資產組合作為我們的研究樣本。
     HS300指數期貨的推出，使其標的指數——HS300指數受到日益廣泛的關注。HS300指數是由上海和深圳證券市場中選取300隻A股作為樣本編制而成的成分股指數。HS300指數樣本覆蓋了滬深市場六成左右的市值，具有良好的市場代表性。因此選用HS300指數代表大盤，計算其VaR以測算市場的整體風險。指數作為單一化資產，所涉及的模型為RiskMetrics、GARCH、EGARCH與GJR－GARCH。
     鑑於銀行板塊股票在整個股市的重要性，我們選取所有銀行類股票作為資產組合的樣本。目前滬深股市銀行類股票有深發展A、浦發銀行、民生銀行、招商銀行、華夏銀行、中國銀行、工商銀行、興業銀行、中信銀行、交通銀行。為使研究簡化，且不影響據此而得出的結論，我們假定各股權重相等。在研究資產組合風險時用到的模型分別為RiskMetrics、CCC、DCC與FlexM－GARCH。
      本文分析對象為各樣本每日收盤價的對數收益率，樣本區間均為2002.04.10－2007.07.20，共1278個日數據。在此期間，市場經歷了一個從下跌到上漲較為完整的周期，比較有代表性。文中所有原始數據來自首創期貨研發中心。
   （二）序列平穩性檢驗
GARCH模型要求建模序列是平穩的，因此首先對樣本對數收益率序列進行平穩性檢驗，用Eviews5.0做ADF檢驗結果如表一、二：
     表一：HS300指數ADF檢驗結果

     顯著性水平為1%時，ADF檢驗的t值的臨界值-3.4407，從表一、二中可以看出HS300指數及10支銀行股票的對數收益率序列都遠遠小於該臨界值。因此，我們以99％以上的概率保證HS300指數及10支銀行股票的對數收益率序列都是I(0)序列，即認為序列是平穩的，符合GARCH建模的基本要求。
    （三）VaR的計算
     根據公式（1），計算VaR的關鍵在於求解相關資產時變的方差（單一資產）或協方差矩陣（資產組合）序列。在方差或協方差矩陣的計算過程中我們採用了動態的方法，即按照順序依次選取固定時間寬度的窗口觀測值來滾動建立各個模型，分別得出每一期的方差或協方差矩陣，代入公式（1）即得到相應的VaR序列（Alpha＝0.05）。滾動建模的第一期從2003.06.09開始，剩餘有效數據為1000個。所用的數據處理軟體為Matlab7.0.1。
     1.HS300指數的VaR：
     將HS300指數視為單一資產，分別用RiskMetrics、GARCH、EGARCH、GJR－GARCH四種方法對HS300指數的對數收益率波動性建模，求出其方差序列，繼而可得出VaR序列（Alpha＝0.05）。由於數據較多，無法一一列出，在此僅給出比較直觀的折線圖來說明。圖一至圖四分別為在    RiskMetrics、GARCH、EGARCH、GJR－GARCH四種模型下VaR與HS300日收益率的比較：
圖一：RiskMetrics
 

  
圖三：EGARCH

     從圖中可以看出，從2003年至2006年，四種模型的VaR變化都不是特別劇烈，始終在-2%至-3%之間波動。這表明這段時間市場無論是下跌還是上漲，大盤風險總保持相對穩定的狀態。但2007年以來，大盤經過幾次非常劇烈的振蕩，尤其是經過2月27日、5月30日的股市暴跌，HS300指數振幅顯著擴大。VaR變化也明顯加劇，且其波動區間下行至-3%至-5%之間，處在較低的水平上，這說明近期市場風險較前段時間明顯放大。
     四種模型都顯示，HS300指數的日收益率基本在VaR線上方運行，表明VaR覆蓋了大盤的絕大多數風險。雖然有若干次實際收益率下穿VaR線，但其頻率在我們的目標概率0.05附近，初步表明四種模型均較好地追蹤了市場風險，但四種模型具體哪種效果更優則需要經過相應的檢驗才能加以判斷。
     2.銀行板塊的VaR：
     假定銀行板塊的10支股票作為一個投資組合，且每支股票權重相等。計算資產組合的協方差矩陣不僅要考慮組合中各資產的波動性，還需考慮資產之間的相關性。RiskMetrics及多元GARCH模型均能對此建模。本文用RiskMetrics、CCC、DCC、FlexM-GARCH四種方法建模，求出組合風險即VaR（Alpha＝0.05）。結果如圖五至八所示：
圖五：RiskMetrics
 

 

圖七： DCC-GARCH
 

     與大盤風險相似，2007年以前銀行板塊波動相對穩定。2007年以後，VaR波動明顯加劇，並處在較低的水平上，投資風險有所加大。同樣，四種模型VaR都覆蓋了絕大多數風險，但其效果優劣必須經過相應的檢驗加以判斷。
     （四）VaR效果檢驗方法及評價
      1.準確性檢驗：
      VaR模型準確性檢驗是指VaR模型的測量結果對實際損失的覆蓋程度。Kupiec的失敗次數檢驗法是VaR準確性檢驗常用的方法。假定顯著性水平為?琢，實際考察天數為T，失敗天數為N，則失敗頻率為p（=N/T）。在零假設為P=P*的條件下，統計量
 
非拒絕域為滿足條件                             的N值的區間。
       定義Hit變量為：
 

       Hit序列的總和即失敗次數，均值即為失敗頻率。
當T＝1000， ?琢＝0.05時， ∑Hitt的非拒絕域為（37,66）。只要總的失敗次數落入這個區間，模型就通過檢驗。表三、四為各模型失敗次數檢驗結果：

     從檢驗結果看，無論是單一資產（HS300指數）還是資產組合（銀行板塊）的各種模型，其失敗次數均落在非拒絕域（37,66）內，說明以上各模型對市場實際風險的刻畫均為有效。另外，各模型失敗頻率均略低於0.05，模型顯得比較保守，都高估了市場風險。其中GJR模型、FlexM模型與目標概率0.05最為接近。說明在單一資產的各模型中，GJR模型最為有效，其他模型次之；而在資產組合中，FlexM模型最為有效，其他三個模型沒有顯著差別。
     2.獨立性檢驗：
     關於VaR準確性的另一種檢驗方法是獨立性檢驗（Hit檢驗）。如果VaR模型準確的話，對於給定的組合及置信水平，Hitt序列將與條件信息集裡的一切信息，包括滯後的Hitt序列相互獨立。因此，可用滯後的Hit及預測的VaR序列（代表t-1時刻的信息集）來檢驗Hitt序列的獨立性。構造以下回歸：

     Hit檢驗實際就是原假設為回歸係數全等於零的一個F檢驗。在本文的檢驗中Hit序列的滯後期數均為5期。Hit檢驗的結果如表五、六所示（假定顯著性水平為0.05）：

     Hit檢驗結果表明，由於獨立概率遠遠大於顯著性水平0.05，各模型均不能拒絕回歸係數全等於零的原假設，通過檢驗，即可以認為Hitt序列與條件信息集裡的一切信息，包括滯後的Hitt序列相互獨立。從表中可以看出，各模型的獨立概率還是有比較大的差異。概率越大說明模型效果越好。在單資產的四種模型中，GJR與EGARCH較好，RiskMetrics模型次之；資產組合中，FlexM模型最好，其次為RiskMetrics、DCC、CCC。
     四、相關結論
     本文目的是評價各種模型的優劣。一般而言，模型可以從兩方面來評價：實現難易程度、模型準確性。
     就實現的難易程度來說，單一資產的四種模型差異不明顯；資產組合的四種模型中RiskMetrics算法簡單，計算成本最低，而多元GARCH模型隨著組合資產個數的增加，運算量呈幾何倍數遞增，因此應用於大規模資產組合時，多元GARCH模型實現所耗時間明顯要長。
     模型的準確性方面，前面已有詳細比較。單一資產中，由於考慮了市場中投資者對於利好或者利空消息反應不對稱性，GJR及EGARCH效果在四種模型中表現最好；資產組合模型中，多元GARCH模型對序列波動性及相關性的描述較為精確，其中FlexM模型在參數估計時採用範數逼近的方法，不需要附加約束條件，效果較其他模型更優。
     綜合考慮實現難易程度、模型準確性，在實際模型選擇時本文給出以下幾點建議：
      第一，測量單一資產的VaR時，RiskMetrics、GARCH、EGARCH、GJR-GARCH四種模型的計算成本都較小，選擇模型應主要考慮模型的準確性，因此GJR與EGARCH為首選，RiskMetrics模型次之。
      第二，對於資產組合的風險測量，如果重點考慮模型計算速度，那麼     RiskMetrics為首選。RiskMetrics方法所費時間最短，尤其是在投資組合中資產個數較多時，優勢十分明顯。因此，對時效要求較高（如實時監控）的投資者可用RiskMetrics方法進行風險監控。如果時效要求不高（如每日監控），則應該重點考慮模型準確性，因此FlexM-GARCH模型為最佳選擇。
     另外，需要說明的是，以上的研究是假定投資者持有的資產均為股票，實際上，VaR的應用範圍遠不止是測量股市的風險，在匯率、利率、期貨期權等金融市場同樣可應用VaR來測量風險。VaR的一個優點就是能測量交易中極為普遍的、由不同類型的證券構成的證券組合風險。這也是VaR方法能成為金融市場風險測量主流方法的原因之一。