文章來源： 丁點幫你微信公眾號
作者：丁點helper
無論是單因素還是雙因素方差分析，我們可以發現，它們都有一些共性，比如研究的因變量（如前文的硒含量、滿意度得分），都是定量變量；而自變量，即分組變量（如地區、教育程度、性別）都是定性變量。
現在我們將前文「滿意度得分的例子」繼續延伸：除了我們關注的「教育程度」和「性別」外，還有其他變量會影響人們對生活的滿意度得分嗎？
當然有，比如收入水平！
很顯然，一個人的工資多少完全可能直接決定他目前對生活的滿意度。因此，倘若我們忽視了調查對象的收入情況，僅研究教育程度和性別的影響，這樣就可能造成結果產生偏移，也就是說可能本來沒意義的結果變成了有意義，從而得出誤導性的判斷。
因此，在這種情況下，「收入」這個變量就被稱為「協變量」，可以記為「Z」。納入協變量的方差分析，即稱協方差分析。
一般而言，進行協方差分析的協變量為「定量變量」，比如本例中的「人均月收入」，它一般不是研究者重點研究的變量（本例中重點研究的是教育程度和性別），但因為它會對分析結果造成幹擾，因此在分析過程中必須要將其納入。
所以，協方差分析仍然是建立在方差分析這個基本框架之上的，其思想與單因素以及雙因素方差分析區別也不大，並且在進行分析前數據需要滿足的條件也都需要。
此外，因為加入了一個新的變量——協變量，所以也有些額外了條件需要滿足。我們今天對這些條件做些概述。
1）變量的類型：一般而言，進行協方差分析，因變量是定量的連續變量（如本例的「滿意度得分」）；自變量是分類變量（可以加入多個自變量，如本例中的「教育程度」和「性別」）；協變量是連續變量（如本例的「收入」）。
2）線性關係：原則上需要協變量與因變量存在線性關係。
3）平行性假設：分組變量的不同水平下，協變量與因變量的回歸直線互相平行。
線性假設和平行性假設初次看起來可能比較難理解，但實際上就是為了排除所謂的交互作用。什麼是交互作用呢？
比如我們想研究「教育程度」與「滿意度得分」的關係，協變量是收入。在不考慮協變量時，發現隨著教育程度的升高，人們的滿意度得分也逐漸升高，比如教育上升一個等級（從「高中畢業」到「大學本科」，或者從「大學本科」升至「研究生及以上」），滿意度得分都會增加5分。
現在加入「收入」這個協變量之後，發現隨著教育程度升高，滿意度得分也升高，但是不同的學歷程度，其升高的幅度不一樣。
比如，加入協變量之後，從「高中畢業」升至「大學本科」，滿意度得分仍增加5分；但如果從「大學本科」升至「研究生及以上」，滿意度得分僅僅增加3分。這個時候，我們就說收入與教育程度產生了交互作用。
產生了交互作用，也就意味著收入對生活滿意度的影響會隨著教育程度的變化而變化（注意這裡的措辭，收入影響的是滿意度和教育程度的相關關係，而不僅僅是其中某一個變量，這是理解交互作用的核心）
這句話也可以反過來說。教育程度對生活滿意度的影響會隨著人們收入不同而不同，用線性回歸的術語來表示就是：不同的教育程度下，收入與滿意度得分的回歸直線斜率（β）不同，因此，它們就不會平行（兩直線平行需要斜率相同）。
所以，想滿足平行線假設，就需要協變量與自變量之間不存在交互作用，這個可以通過專門的檢驗方法來判斷。
看到這裡，你可能會疑惑，明明在講方差分析，怎麼扯到回歸的內容了？
是的，方差分析和回歸分析實際上可以看做是一回事兒，只是兩者側重點略有不同，前者主要是比較差異，後者主要是算影響的效應值（即回歸係數β，這一點我們後面詳述）。
一方面對於多因素或協方差分析的SPSS操作，我們稱作「一般線性模型」；另外在進行回歸分析之後軟體也都會首先彈出一個方差分析的大表，檢驗整個回歸模型是否有意義。
只不過我們在進行回歸分析時，並沒有嚴格區分自變量和協變量，而是將它們一股腦地全部納入回歸模型，然後篩選出最終有意義的變量。
因此，我們現在講的方差分析，其實就是後續回歸分析的一些特例，從回歸的角度理解方差分析，相信你會看的更加明了！
回到我們今天的主題，除了上述三個條件，在進行協方差分析時也需要注意其他條件，比如常說的正態、獨立、方差齊等，處理的方法也和普通的方差分析基本相同，暫不贅述。