1854年，德國數學家伯恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）又發布了一篇與眾不同的論文《論作為幾何學基礎的假設》。這篇論文給我們帶來了一個全新的，遍地都是曲線的世界，這個世界再也不是橫平豎直的了。
黎曼，這位大師，認識他的人無不驚嘆與他驚人的創造，幾乎每次出手不是顛覆某個領域，就是橫空創造出一個完全沒有的數學理論。比如前面半句的例子，就像是黎曼猜想，他居然能用一個方程的零點分布情況去推算素數的在某個範圍內的個數。後面半句的例子就是他一手打造的黎曼幾何。
先說明一下，我們從很小就開始學習幾何學，知道三角形內角和是180度，知道勾股定理等等。這些幾何學知識跟我們的日常認知是符合的，因此學起來不太費事，現在我們知道了這種「傳統幾何」叫作歐幾裡得幾何。
然而，在某些情況下，歐式幾何卻有點不太符合實際情況。
舉個例子，歐式幾何裡說，直線的長度是無限的，假如我們現在站在地球表面，沿著赤道做一塊黑板，在黑板與地面等高的位置畫一條線，並一直連續下去。這條直線雖然長，但是終究會回到原點的，這樣一來，直線的長度就不再是無限長的，而是有限的了。
再比如，歐式幾何中，兩條平行線是沒有交點的。但是我們現在來做個推論，如上圖所示，α1>α2>α3，顯然這3組線最終相交的點會越來越偏離圖中心的，假如我們現在把兩組線進一步偏移，使得α4變得無窮小，那麼第4組的兩條直線相交點就將無限偏離圖中心的，既然你都無限偏離圖中心點的，我們可不可以認為這是平行的呢？在這個問題上，黎曼幾何認為，在同一個平面上任意兩條直線總是會相交的，也就是說不存在平行線。
人們很快意識到，黎曼的這種新幾何與人類探討了幾千年的歐式幾何並沒有本質的區別。黎曼也是從最簡單的幾條公理出發，繼而推導出了完備的理論體系，在這個體系中，所以經過嚴密論證的論題都能完美自洽，不存在不能自圓其說的情況。
那麼黎曼幾何到底有啥用呢？我們再來做個不太恰當的比喻，有一隻螞蟻在一隻皮球上爬，它不停地努力去爬，結果卻發現它所接觸的表面怎麼也看不到盡頭。如果這隻螞蟻沒有好好去思考，那麼它將永遠被困在這個皮球的表面，早晚得崩潰。假設這是只聰明的螞蟻，它了解一點黎曼幾何的原理，它便可以在不脫離這個球體表面的情況下，意識到腳下的球面其實是有彎曲的。如果它再懂得更多一點，它甚至能算出來自己走了多少弧度，長度，面積，正因為腳下的是球面，所以當然可以從一個點出發走下去之後，回到出發點。當它意識到這個問題時，這隻皮球便再也困不住這隻螞蟻宏偉的思想了。一瞬間，這隻螞蟻便超過了它所在的維度了。
假如我們就是這隻螞蟻呢？我們現在好像也覺得宇宙是無邊無際的，如果我們可以像那隻螞蟻一樣，可以突破自己所在的維度來思考問題，那麼別看現在動不動距離地球多少億光年的星系，其實在更高維度上，我們都是瞬間到達的。
好了，以上舉的那隻螞蟻的例子是曉然菌的空想主義，不過意思差不太多。在黎曼幾何誕生過半個多世紀後，在物理學界找到一個量身定製的應用。愛因斯坦在推導廣義相對論場效應方程時，遇到不少困境，後來有朋友把黎曼幾何的理論介紹給他，結果愛因斯坦驚訝地發現，黎曼幾何的很多假設和結論跟廣義相對論的核心內容不謀而合。比如，愛因斯坦認為我們的時空其實是彎曲的，尤其在大質量天體附近彎曲程度更加嚴重；時間只是在小範圍內存在著近似均勻，而這一小範圍的近似均勻就是我們熟知的歐式幾何。
原來愛因斯坦遇到的困難，數學上的工具早在半個多世紀前就已經建立好了。
黎曼大師真是一出手就畫出了最燦爛的數學篇章。