彎曲時空，引力退散

本次內容來自系列視頻課程

「一說萬物：現代物理學百年漫談」

第八講：廣義相對論

8.2 彎曲時空，引力退散

系列課程介紹

20世紀是物理學的世紀。

在過去一百年中，物理學取得了空前的發展，湧現出很多新想法、新觀念，其影響超越了物理領域，深刻改變了人們對世界的認識。

在《一說萬物：現代物理學百年漫談》中，來自香港科技大學的王一老師將給大家分享這些既深刻又有趣的新想法、新觀念。

每期一個話題、一個概念，講述精巧、富有啟發性。來一起感受思考的樂趣吧！

上一講我們介紹了廣義相對論中的等效原理，即我們考慮一個加速觀測者的參照系，在這個參照系中可以把引力消掉。從這個角度上講，引力看起來是一種幻覺。

這裡就有兩個問題。第一個問題，我們考慮的其實是非相對論的速度，我們還可以考慮快一點的速度，這樣，我們寫公式的時候，可以寫相對論性的加速度公式。當然，這是一個技術問題。

還有一個更重要的問題：前面我們一直假設引力場是均勻的，如果引力場不均勻，會出現什麼現象？所謂「不患寡而患不均」，不均勻的引力場是有關「引力到底是不是幻覺，引力到底能不能消掉」的一個更本質的問題。

那麼，不均勻的引力場我們怎麼處理呢？我們用分而治之（divide and conquer）的策略：一個大的問題解決不了，我們就把它化成小的問題來一個個解決。這一思想在各個學科中都有體現，比如數學中的微積分思想，把整體函數的變化體現成一個個小量的分析。對於不均勻引力場，我們也可以用分而治之的策略：首先把問題分解成足夠小的問題，解決了每一個小問題之後，再看一看怎麼把這些小問題的解決方案拼成一個完整的解決方案。

引力退散指南

我們去觀察一下：不均勻的引力場具有什麼性質呢？除了量子引力暫且不討論之外，其他的不均勻引力場都有一個共同的性質：當我們看越小的空間尺度時，這個不均勻引力場的不均勻性也越小；當我們看足夠小的空間尺度時，不均勻性就可以忽略了，我們看到的其實是近似均勻的引力場。

舉一個例子，空間站上的太空人以一個相當大的跨度去看地球的引力場，他看到地球的引力場是向著地心的，是不均勻的引力場。但對於一條躺平的鹹魚，它感受到的地球引力是相當均勻向下的，而不是那種非常不均勻、朝著地心讓我撅起來的引力場。

所以說，考慮的尺度越小，引力場越均勻。這樣，我們就可以把一個不均勻的引力場近似成在每一個微小的體積元之上均勻的引力場。然後我們把等效原理應用到這些微小的體積元之上：在微小的體積元上，向下的引力用向上的加速來替代，於是在微小的體積元上，我們就把引力消掉了。即，在每一個微小的體積元上，我們做一個獨立的坐標變換。這個獨立的坐標變換相當於在每一個微小的體積元上有一個獨立的加速觀測者用來消除引力。這樣，引力在空間當中的每一點都消掉了。

如果我們考慮在引力場中物體的運動，比如引力場中一個小球的運動、光線的運行、電磁現象等等，我們都可以將空間逐塊考慮。這樣，原則上對於全空間當中的每一點，我們都可以知道小球是如何運動的、電磁場是如何變化的，等等。全空間中每一點都知道了，那麼全空間其實我們也知道了。最後，我們再把空間中的每一點通過坐標變換，變回到以前的坐標，這樣我們就知道了在一個所謂的引力場當中，小球、光線、電磁場是怎麼運動的。關鍵就是分解成體積元，分別應用等效原理，最後再變回原來的不均勻引力場。

兩個值得思考的問題

這個辦法是非常巧妙的，也是廣義相對論的精髓，但是這個辦法給我們帶來了兩個值得思考的問題。

第一個問題。我們把引力場分解成了一個個小的體積元，這些體積元之間是什麼關係？如果我們想有一個整體的物理圖像，我們需要把這些小的體積元一個一個的粘起來，這些小的體積元粘起來以後，形成什麼樣的空間呢？你可能想當然地認為，應該還是原來的空間。其實不一定，比如足球是由一塊一塊很小的、比較平的皮子縫起來的，但是縫起來之後，就形成了一個表面彎曲的、球形的足球。我們的空間也是這樣，我們考慮空間中每一點很小的具有不同運動狀態的體積元，把它們粘回來，我們發現最後的空間其實是彎曲空間。不均勻的引力場導致了空間的彎曲。

其實彎曲的不只有空間，彎曲的是整個時空。在時空的時間方向上，不均勻的引力場也導致了彎曲，即我們前面講到的引力場中的時間膨脹現象。比如在太陽的引力場中，在太陽附近有三個事件，從離太陽越遠的觀測者去看，這三個事件的時間間隔看起來就越長。這就是引力場中的時間膨脹效應，可以看成是：在引力場中，時間也彎曲了。

引力場中的時空彎曲其實就是有質量物體感覺到引力的根源。牛頓引力就是引力場中的時空彎曲做一個非相對論近似的結果。

第二個問題。你可能會覺得這一套手續簡直太麻煩了：先要做一個坐標變換，空間中每一點去選擇不同的參照系，最後計算完以後，還要把空間中的每一點這無窮多的參照系都給變回到原來的參照系當中。這簡直太麻煩了！我懶，不願意做這樣的事情，那怎麼辦？其實懶也是個好事情，一定程度上講，懶是人類很多科學技術進步的動力。

做坐標變換的時候，其實我們就可以想一個問題：是不是有一些東西可以在坐標變換的時候不變呢？比如在極坐標（polar coordinate）下，我畫了一個北極熊（polar beer）。那麼，polar coordinate下邊的polar beer在笛卡爾坐標系（Cartesian coordinate）下應該是什麼樣子？應該是一個Cartesian beer，還是仍然是一個polar beer？其實還是那個北極熊，還是那個polar beer。也就是說，在坐標變換下，圖像本身應該是不變的。

當然圖像是一個非常具體的概念，但我們也可以進一步發問：是不是可以找到一種公式體系，讓方程也在坐標變換下是不變的？如果我們能找到這種坐標變換下不變的形式，那麼我們就不用把坐標來回變，而直接用這種坐標變換下不變的方程組形式就直接能從平坦空間推廣到不均勻引力，即推廣到彎曲空間。

這種坐標變換下不變的方程組是可以找到的，這就是廣義協變原理。其中的數學結構是非常優美的，但是在這裡我們就不具體描述了。

導師簡介

王一：中國科學技術大學本科，中國科學院理論物理研究所博士。現任香港科技大學副教授，研究領域為理論宇宙學。近期的主要研究興趣是將物理學中最大的物體和最小的物體聯繫起來，用早期宇宙的遺蹟研究基本粒子物理。其他研究方向還包括早期宇宙模型、暗能量、暗物質、原初黑洞、引力波等。曾獲香港大學教育資助委員會青年學者獎、被學生評選為最喜歡的教師。

系列課程內容

第一講：概述物理學的世紀

1.1 一百年前，我們知道什麼？

1.2 更小：從打地鼠到光電效應

1.3 更高：「上帝」的菜單

1.4 更快：什麼是相對論？

1.5 從簡單的定律到複雜的宇宙

第二講：現代物理學之光

2.1 什麼是現代物理學之光？

2.2 光是粒子還是波動？

2.3 你見過波動著的粒子嗎？

2.4 什麼是波粒二象性？

第三講：漫遊量子世界

3.1 從聊齋志異到量子隧穿

3.2 不確定性原理：拯救世界的大英雄

3.3 非同尋常的測量

3.4 薛丁格貓死了嗎？

第四講：原子

4.1 世界為什麼是由原子組成的？

4.2 花粉顆粒為什麼會跳舞？

4.3 從氫原子到萬物

第五講：熵與信息

5.1 大吃一斤，什麼增加了？

5.2 時間箭頭：誰偷走了你的時間？

5.3 麥克斯韋的妖精教你什麼是新聞

第六講：複雜

6.1 從「兔子函數」到「三生萬物」

6.2 三體星人為什麼算不對飛星？

6.3 海岸線是無窮長的嗎？

第七講：狹義相對論

7.1 鍾變慢，尺縮短

7.2 天涯共此時嗎？

7.3 時空是一回事嗎？

7.4 時光能倒流嗎？

第八講：廣義相對論

8.1 等效原理：引力是幻覺嗎？

8.2 彎曲時空，引力退散

8.3 黑洞：天上一天，地上一年

第九講：宇宙

9.1 晚上天會黑，因為宇宙年齡有限

9.2 什麼是暗物質和暗能量？

9.3 終極理論之夢

墨子沙龍是以中國先賢「墨子」命名的大型公益性科普論壇，由中國科學技術大學上海研究院主辦，中國科大新創校友基金會、中國科學技術大學教育基金會、浦東新區科學技術協會、中國科學技術協會及浦東新區科技和經濟委員會等協辦。

墨子是我國古代著名的思想家、科學家，其思想和成就是我國早期科學萌芽的體現，「墨子沙龍」的建立，旨在傳承、發揚科學傳統，建設崇尚科學的社會氛圍，提升公民科學素養，倡導、弘揚科學精神。科普對象為熱愛科學、有探索精神和好奇心的普通公眾，我們希望能讓具有中學及以上學力的公眾了解、欣賞到當下全球最尖端的科學進展、科學思想。

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