2018年高考真題次壓軸題,沒做上、沒做對的同學,是這兩點還不知

012018年真題再現

[全國Ⅰ理2018·21]已知函數f(x)=1/x－x+a㏑x.

⑴討論f(x)的單調性；

⑵若f(x)存在兩個極值點x1,x2，證明：[f(x1)－f(x2)]/(x1－x2)<a－2.

圖一

這道題是2018年全國理科數學卷倒數第二道題，屬於次壓軸題。

這道題看起來第一問並不難，做完後也可能信心滿滿，覺得第一問應該是沒問題的，但是考試結果出來，嗯???

哪差分呢？

就在這差分了，那到底哪裡出錯了呢？

我們就一起看看吧。

02第一問解答和注意事項

第一問求函數的單調性，當然要藉助導數。

但是對於給出的原函數帶有字母的情況下，我們好要結合分步討論的原則，分別說明a範圍，在a的不同範圍下，得出函數f(x)的單調性。

第一步，求出原函數的導函數。

因為f(x)=1/x－x+a㏑x，所有一次導數為f＇(x)=－1/x^2－1+a/x=(－x^2+ax－1)/x^2，定義域x>0。

因為x^2>0，所以要判斷一次導數為f＇(x)與0的大小關係時，只需要判斷二次函數y=－x^2+ax－1與0的大小關係即可。

第二步，根據二次函數y=－x^2+ax－1與0的大小關係得出函數f(x)的單調性。

該二次函數y=－x^2+ax－1開口向下，與x軸的位置關係有兩種關係：一個是與x軸有一個交點和沒有交點的情況；一個是與x軸有兩個交點的情況。

圖二

如圖二所示，①當二次函數處於第一種情況時，其函數值是小於等於0恆成立的。

即二次函數y=－x^2+ax－1的判別式△=a^2－4≤0時，即－2≤a≤2，y=－x^2+ax－1≤0恆成立，即一次導數為f＇(x)≤0恆成立，函數f(x)在定義域x>0上是單調遞減函數。

②當二次函數處於第二種情況時，即二次函數y=－x^2+ax－1的判別式△=a^2－4>0時，即a>2或者a<－2時。

令－x^2+ax－1=0，則解得到x=[a－√(a^2－4)]/2或x=[a+√(a^2－4)]/2。

做到這裡，可能會有很多的同學直接就寫：

當a>2或者a<－2時，函數f(x)在區間﹝0，[a－√(a^2－4)]/2﹞上是單調遞減；在﹝[a－√(a^2－4)]/2，[a+√(a^2－4)]/2﹞上單調遞增；在﹝[a+√(a^2－4)]/2，+∞）上是單調遞減。

對不對？

不對！

如果這樣寫，只能說明，你還不知道這個注意事項。

注意事項：當判斷二次函數有兩個不等的解與0大小的時候，如果定義域不是R，則一定要驗證此時對稱軸的位置和二次函數與x軸的右交點與定義域的位置關係。

雖然上述a>2和a<－2時，二次函數y=－x^2+ax－1有兩個不等的實根，即一次導數為f＇(x)與0的大小關係一波三折，但是這並不能說明函數f(x)在區間(0,+∞)上就不是單調函數。

所以要驗證當a<－2時，此時二次函數的對稱軸在不在定義有內以及二次函數右根與定於域的位置關係。

因為二次函數y=－x^2+ax－1對稱軸為x=a/2，因為a<－2，則該二次函數對稱軸x<－1。

所以當a<－2時，函數f(x)的定義域(0,+∞)在對稱軸的右側，且右交點a+√(a^2－4)]/2<0，所以此時一次導數f＇(x)<0在定義域(0,+∞)上恆成立。

圖三

所以當a<－2時，一次導數f＇(x)<0，此時函數f(x)在區間(0,+∞)上是單調遞減的。

綜上所述，當a≤2時，函數f(x)在區間(0,+∞)是單調遞減函數；

當a>2時，函數f(x)在區間﹝0，[a－√(a^2－4)]/2﹞上是單調遞減；在區間﹝[a－√(a^2－4)]/2，[a+√(a^2－4)]/2﹞上單調遞增；在﹝[a+√(a^2－4)]/2，+∞）上是單調遞減。

03第二解答和注意事項

第二問是證明不等式[f(x1)－f(x2)]/(x1－x2)<a－2.

這裡給出的已知條件就是函數f(x)存在兩個極值點x1，x2，很多同學就不知道給出這個已知能得出什麼，目的何在。

這就是需要我們知道一個知識點：

一個函數的極值點就是該導函數的零點，即x1和x2是二次函數y=－x^2+ax－1與x軸的兩個交點，即方程－x^2+ax－1=0的兩個根，則有x1x2=1.

需要注意的事項：

第一，方程－x^2+ax－1=0要轉化成x^2－ax+1=0形式，即最簡形式才能得出x1x2的值；

第二，[f(x1)－f(x2)]/(x1－x2)可以根據x1x2=1減少變量，即化簡。

簡單說以一下：[f(x1)－f(x2)]/(x1－x2)也表示點(x1,f(x1))和點(x2,f(x2))之間的斜率。

第一步，得出x1和x2的關係。

因為f(x)存在兩個極值點x1,x2，則x1，x2是f＇(x)=0的兩個根。

即x1，x2是方程x^2－ax+1=0的兩個根，則x1x2=1.

所以x1=1/x2.

不妨設x1<x2，由第一問可知當f(x)存在兩個極值點，則a>2，則一次導數f＇(x)的對稱軸x=a/2>1，所以x2>1.

圖四

第二步，將[f(x1)－f(x2)]/(x1－x2)根據x1x2=1化簡。

因為f(x)=1/x－x+a㏑x，則

[f(x1)－f(x2)]/(x1－x2)=[1/x1－x1+a㏑(1/x2)－1/x2+x2－a㏑x2]/(x1－x2)

=[x2－1/x2－1/x2+x2－2a㏑x2]/(x1－x2)

=2[x2－1/x2－a㏑x2]/(1/x2－x2)

=－2－2a㏑x2/(1/x2－x2)

即要想證明[f(x1)－f(x2)]/(x1－x2)<a－2，只需證明－2－2a㏑x2/(1/x2－x2)<a－2成立，即只需－2a㏑x2/(1/x2－x2)<a成立。

由第一問可知，函數f(x)存在兩個極值點，則a>2.

所以要想－2a㏑x2/(1/x2－x2)<a成立，則只需－2㏑x2/(1/x2－x2)<1成立。

因為x2>1，則1/x2<x2，則(1/x2－x2)<0，所以要想－2㏑x2/(1/x2－x2)<1成立，只需－2㏑x2>1/x2－x2成立，即1/x2－x2+2㏑x2<0成立。

綜上所述，要想證明[f(x1)－f(x2)]/(x1－x2)<a－2成立，只需1/x2－x2+2㏑x2<0成立。

第三步，證明1/x2－x2+2㏑x2<0成立。

設g(x)=1/x－x+2㏑x，則

一次導數g＇(x)=－1/x^2－1+2/x

=(－1－x^2+2x)/x^2

=－(x－1)^2/x^2

因為(x－1)^2≥0恆成立，當x=1時等號成立，此時x2>1，所以一次導數g＇(x)<0恆成立，即函數g(x)是單調遞減函數。

因為g(1)=1－1+0=0，所以函數g(x)<0在區間(1,+∞)上恆成立，即1/x2－x2+2㏑x2<0恆成立。

綜上所述，[f(x1)－f(x2)]/(x1－x2)<a－2恆成立。

04總結

第一問需要注意的是：

當導數為二次函數時，判斷二次函數與0的大小，則不僅考考慮二次函數與x軸的位置關係，同時也要考慮二次函數的對稱軸和二次函數零點在該函數定義域的位置關係。

第二問需要注意的是：

給出函數極值點時，能從這些極值中得到什麼 ，有兩個極值點時，參數又滿足什麼條件。

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