探索數論邊界的先鋒,連接數學與時間的數論學家

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對數字的研究一直是數學的核心。儘管在過去幾個世紀裡積累了大量的知識，數論（Number theory）仍然保留著從最簡單的概念中生長出來的無盡奧秘：整數之間的關係。由於整數是所有數學發展的基石，因此數論與數學領域的許多其他分支都有聯繫。數論學家會從分析、代數、組合數學、幾何學，以及理論物理或計算機科學等其他領域汲取思想。

即便在一個需要如此廣度的學科中，Akshay Venkatesh仍然憑藉他將數論問題與其他領域的深刻結果聯繫起來的原創方式脫穎而出，他也因此獲得了數學最高獎——菲爾茲獎。Venkatesh不僅僅是把其他領域的結果當作是解決數論問題的「黑匣子」，他更為這些結果帶來新的洞察力，突顯它們與數論之間意想不到的聯繫。他以這種方式在數論領域取得了驚人的進步，同時也極大地豐富了其他數學分支。

在普林斯頓高等研究院圖書館的Akshay Venkatesh。圖片：Sasha Maslov

在本文中，我們將著重了解Venkatesh的其中三個工作，以此說明他工作的深度和廣度。

首先，讓我們來看一個多項式例子：x+xy+7y+yz+12z。這個看似平凡的表達式，事實上蘊含著巨大的複雜性，因為它模擬了加法和乘法運算之間的複雜的相互作用。這個表達式是一個二次型的例子，它是一個可以有任意數量的變量，但最高指數冪為2的多項式。

一個基本的問題是，如果用整數值替換二次型中的變量x、y、z，會得到哪些整數。比如說，二次項x只會產生完美的平方，而w + x + y + z則會產生所有的自然數，這是拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在1770年證明的事實。

在1801年出版的不朽著作《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae）中，高斯（Carl Friedrich Gauss）展示了如何通過簡單的變量替換將一個二次型轉化為另一個。這樣的轉化可以極大地簡化二次型，而且任何由簡單形式產生的整數，也可以由原始形式產生，儘管反過來未必是對的。也就是說，如果我們能夠以這種方式將包含m個變量的二次型P，轉化為包含n個變量的二次型Q，且m ≥ n，我們就說，P表示了Q。

什麼情況下一個二次型可以被另一個二次型表示呢？這是希爾伯特（David Hilbert）1900年提出的著名問題列表中第11個問題的變體。1978年，John S. Hsia、Yoshiyuki Kitaoka和Martin Kneser取得了一個裡程碑式的進展，他們證明了，如果m ≥ 2n + 3，那麼P表示Q。

三十年來，數學家不知道m與n之間是否可以建立一個更精確的關係。公認的最好結果很可能是m ≥ 2n + 2。這就是為什麼，當Venkatesh與合作者Jordan Ellenberg在2008年證明，m和n的距離可能比之前想的要接近很多時，是如此令人驚訝——他們證明了，如果m≥n+5，那麼P表示了Q。

更令人驚訝的是他們的證明方法，他們從動態系統理論（dynamical systems theory）中挖掘出的強大洞察力。他們以格（lattice，在n維空間規則排列的點的集合，被認為標記著整數點）的背景來看待這個問題。在數論領域使用格有著悠久的傳統，可以追溯到19世紀末閔可夫斯基（Hermann Minkowski）提出的「幾何數論」的概念。格也是動態系統中的一個自然域，在這裡，我們可以將在時間變化的系統下受到影響而流動的格點，看作是微風中流動的塵埃粒子。

三角形中遇到邊界後反彈的小球是一個簡單的動態系統。圖片：ICM

一些關于格的流動的最深刻洞察，來自於二十世紀九十年代初，由Marina Ratner證明的一個裡程碑式的定理。她的定理預言了，在動態系統的長期影響下，格點會流動到哪裡。Ellenberg和Venkatesh利用了Ratner定理的一個變體，這個變體能讓他們將點陣動力學應用於二次型的表示問題。

這不僅是數論領域的傑出成就，也使動態系統理論的研究人員感到興奮，他們很快就將這些新的洞察添加到他們的工具箱中。二次型的表示工作與Venkatesh首次預印於2005年的強大結果有關（後於2010年與Philippe Michel合作擴展並發表）。其中，Venkatesh探索了一個更富有技術性的、被稱為次類凸（subconvexity）的問題，並且以一種大膽而創新的方式，將其放置在一個全新的、強調與其他數學領域（尤其是動態系統）的連接的情景下。

Venkatesh工作的第二個例子展現了類似的精湛技藝，他應用別的領域中的工具，為數論領域創造了驚人的進展，這一次是拓撲。整數的一個基本特徵是質因數分解的唯一性：任何一個整數有且僅有一種表達成質數的乘積的方式。整數能構成的一個典型的例子是環（ring），環是同時包含類似於加法、減法和乘法的三種運算的物體的集合。環的一個例子，不妨稱之為R，是像a + b√5 （a、b為整數）這樣的數的集合。R的優點是，它能包含像x = 5這樣的方程的解，而這在整數集中是不可解的。

但是R也有一個缺點：它缺乏唯一的因數分解。例如，在R環上，9可以分解為3×3，也可分解為(2+√5 )×(2√5 )。環的類數（class number）是一個整數，它衡量的是環無法進行唯一因數分解的程度。類數出現在數論領域的各個角落，但它們在所有環的集合中到底如何變化仍然是一個謎。

因為幾乎沒有什麼理論工具可以用來理解類數，數學家轉而只是計算類數並搜索它們的模式。正是通過這樣的實驗法，再結合深遠的洞察力，Henri Cohen和Hendrik Lenstra在1984年取得了一些令人驚訝的、充滿啟發的結果。例如，人們有理由期待類數會隨機分布在整個整數集上，因此，大約1/3的整數可以被3整除。令人驚訝的是，根據Cohen-Lenstra啟發法（Cohen-Lenstra heuristic）的預測，這個比例事實上在43%左右。

為什麼Cohen-Lenstra啟發法行之有效呢？儘管歷經了30年的研究，答案仍然難以捉摸。隨後在2016年，Venkatesh與合作者Jordan Ellenberg和Craig Westerland取得了重大突破。他們將注意力集中在類數的一個較窄的問題上，不是整數的環，而是被稱為函數域的相關對象的環，進而在理解Cohen-Lenstra啟發法方面取得了重要進展。他們的策略是將問題轉化到拓撲領域，一個研究形狀的基本屬性的數學分支。

數學家們已經知道函數域問題可以被轉化為拓撲。但是拓撲學是一個巨大的領域，它有著龐大的工具箱。到底哪一個工具適用呢？這就是Venkatesh的洞察力被證明是至關重要的地方，這份洞察力引導他與合作者將同調穩定性（homological stability）這一拓撲概念運用其中，這是一個非常現代的概念，是大量近期研究的主題。

他們證明了拓撲學中的一個新結果，一類被稱為Hurwitz空間（Hurwitz space）的拓撲對象的同調穩定性，然後將這一結果反過來應用到數論領域，來證明函數場的一些Cohen-Lenstra預測的有效性。Venkatesh的工作再一次豐富了兩個相隔甚遠的數學分支。

Akshay Venkatesh：「僅僅操縱數字就能使我快樂。」 圖片：ICM

關於Venkatesh工作的最後一個例子並不是一個完成的結果，而是他與合作者提出的一套大膽的新猜想。這些猜想是為了解釋拓撲學與數論兩個領域的現象之間的深刻聯繫，它們展現了Venkatesh在研究的新方向中擔任著開拓先鋒的角色。這些想法在他主導的2017-2018學年的研討會上引起了熱烈的反響。

這個猜想與如今推動著大量的數學研究的朗蘭茲綱領（Langlands Program，詳見《數學中的大統一理論》）有關。朗蘭茲綱領設想了出現在不同數學分支（包括拓撲、分析、代數和數論）中各種現象之間的關係網絡。數學家還遠沒有完成朗蘭茲綱領的全部，但是一些特殊情況已經被確認。或許其中最著名的例子是在二十世紀九十年代，由Andrew Wiles完成的費馬大定理（Fermat’s Last Theorem）的證明。

從這項工作中衍生的Taylor-Wiles方法已經成為連接被稱為橢圓曲線（elliptical curve）的幾何對象與被稱為模形式（modular form）的解析對象的強有力工具——這正是朗蘭茲綱領所預測的關聯。Taylor-Wiles方法雖然很強大，但在最初提出它時，只應用於有限的場景——也就是被稱為志村簇（Shimura variety）的一類特殊幾何對象中。近期的一些將Taylor-Wiles方法拓展到非志村簇的結果，在Venkatesh的最新工作中佔有突出地位。

這項研究集中在一組被稱為局部對稱空間（locally symmetric space）的拓撲對象上。Venkatesh與合作者發現，這些空間的拓撲結構有著意想不到的對稱性。這些對稱性出現在局部對稱空間的同調群中。一個空間的同調群大致可以被認為是測量這個空間中孔隙的數量。

Venkatesh制定了一個願景，通過求助於一個被稱為主上同調（motivic cohomology）的不同數學領域來解釋這些對稱性。這個解釋使用拓展的Taylor-Wiles方法，並且作為一種副產物，還可能對該方法形成更深刻的洞察。這項工作還遠沒有完成，但對它的早期期待是，它將為對朗蘭茲綱領的全面理解提供關鍵性的一步。

大多數數學家要麼是問題解決者，要麼是理論構建者，而Akshay Venkatesh則同時二者皆是。此外，作為一個數論學家，他卻能在多個與數論截然不同的領域發展出異常深刻的理解。這樣廣博的知識使得他能夠將數論問題置於新的情景之下，這為突出問題的真實本質提供了正確的設置。未來，年僅36歲的Venkatesh將繼續帶領我們探索數論與其它數學領域的邊界。

博科園-科學科普｜文：Allyn Jackson/原理/principia1687

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