必看系列2—函數的性質梳理,單調性、奇偶性、周期性必須要了解

2021-01-08 小侯老師淺談數學
（侯老師使用APP製作）

上節課我們已經探討過函數的定義問題，大家一定要記得函數的三個關鍵詞：定義域、對應關係、值域。時刻牢記函數的三個關鍵詞，可以有效防止大家做題時犯錯。那這節課老師將繼續講解有關函數的知識。

函數是描述事物運動變化規律的數學模型。通過函數圖像我們可以很容易發現函數存在一定的規律，那函數到底具有什麼性質呢？

一、函數的單調性及函數最值問題

通過函數圖像，我們可以很直觀地觀察到y值有時是隨著x的增大而增大，有時候是隨著x的減小而減小。我們所說的有時實際就是定義域的某個區間。函數的這種性質就是函數的單調性，在人教版教材中，函數的單調性這般定義：一般地，設函數f(x)的定義域為I：如果對於定義域I內某個區間D上任意兩個變量的值x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2),那麼就說函數f(x)在區間D上是增函數；反之，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2),那麼就說函數f(x)在區間D上是減函數。

（截取自人教版教材）

如果函數的y=f(x)在區間D上是增函數或減函數，那麼就說函數y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫做y=f(x)的單調區間。

說到單調區間，就不得不說函數的最值問題，即最大值(max)和最小值(min)。具體定義見下圖↓

（截取自人教版教材）

二、函數的奇偶性

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形如上圖的函數，我們會發現函數圖像有時是關於y軸對稱，有時是關於原點(0，0)對稱。函數的這種特性就是奇偶性。關於函數的奇偶性，教材這般定義：一般地，如果對於函數的f(x)的定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼函數f(x)就叫做偶函數。如果都有f(-x)=-f(x),那麼函數f(x)就叫做奇函數。

另外我們必須知道：偶函數的對象關於y軸對稱。奇函數的圖像關於原點對稱，如果奇函數f(x)在x=0處有意義，必有f(0)=0。

函數奇偶性的判斷方法主要包括兩種：①定義法：第一先看定義域是否關於原點對稱，第二看f(-x)與f(x)的關係。②圖像法：看圖像是否關於原點或y軸對稱。

除了上述兩種判斷方法外，我們還需要記住一些奇偶函數四則運算的性質：對於定義在同一個原點對稱的定義域上的兩個函數，兩個奇函數的和仍為奇函數；兩個偶函數的和仍為偶函數；兩個奇函數的積是偶函數；兩個偶函數的積是偶函數；一個奇函數與一個偶函數的積是奇函數。具體見下圖↓

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三、函數的周期性

一般地，對於函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得定義域內的每一個x值，都滿足f(x+T)=f(x),那麼函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期。形如下圖函數↓

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關於函數周期性的更多知識，在下面三角函數中會具體講解，在這裡就不再贅述。

函數的性質是函數知識很重要的一個內容，幾乎從不缺席往年的高考。我在這裡只是簡單地給大家作一理論的講解，具體掌握還需要大家在習題中不斷練習。多做題，勤練習。

（截取自人教版教材）

好了，這次我們就講到這，下期見

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