本文描述了基於正交小波函數族的多址通信原理，並提出了一種多速率正交小波調製方法.用具有不同伸縮尺度的小波函數對不同信道中的碼流進行編碼，可以達到擴展信息序列頻譜的目的，因此這一多址技術具有很好的抗幹擾性能.本文還討論了這一多址方式的其它特點，並針對信道容量不平等問題提出了一些解決辦法.
關鍵詞:小波；多址通信；調製；擴展頻譜
The Applications of Wavelet in Spread Spectrum Communications
WU Hao,SONG Wen-tao,LUO Han-wen
(Dept.of Electronic Engineering,Shanghai Jiaotong Univ.,Shanghai 200030,China)
Abstract:The principle of multiple access communication is described,which is based on the orthogonal wavelets in this paper.And a multirate orthogonal modulation scheme is proposed.The goal of spreading information sequence spectrum is met by coding bit-streams with the different scaled wavelets.So this multiple access technology has a good performance in resisting narrow jam and interference.The other characteristics are also discussed.Some methods are given to resolve the inequity of the channel capacity.
Key words:wavelet;multiple access communications;modulation;spread spectrum
一、引 言
近年來，小波分析方法在信號檢測、多尺度邊緣提取、語音及圖像處理等諸多通信領域得到了廣泛應用［7，8］.在擴頻通信領域中，基於正交小波函數族的多址擴頻技術也被提出［1］，並被稱為SDMA(scale-division multiple access，尺度劃分多址).現在廣泛應用的CDMA技術是利用偽隨機序列來進行擴頻，所得到的近似正交的偽噪聲序列具有很強的抗窄帶噪聲的性能；而SDMA則利用正交小波函數族來完成擴頻，同樣具有類似性能.但是，在CDMA系統中，信息都是在同一頻段上傳輸，窄帶噪聲會汙染整個信息流；而在SDMA系統中，信息被分配到不同子帶上傳輸，窄帶噪聲只會汙染部分信息流，因此，SDMA的系統性能要優於CDMA.下面將分別闡述SDMA的原理、調製解調模型和SDMA的特點，最後給出結論.
二、SDMA擴頻原理
小波分析的基礎理論為尋找合適的正交小波函數族提供了強有力的理論依據，也是SDMA的數學基礎.小波函數定義為
(1)
式中w(t)稱為基本小波.實際應用中，通常採用進二小波，定義為
ψmn(t)2m/2ψ(2mt-n) (2)
根據小波函數性質，有ψmn.ψkl>=δm,kδn,l，其中δi,j=對任意信號x(t),其離散二進小波變換及反變換為
xmn=∫+∞-∞x(t)ψmn(t)dt (3a)
(3b)
現在考慮M條二進位碼流sm∈{0,1}，m=1,2,…,M,對於在L2(R)上的正交集ψmnT,可將sm合併為
(4)
其中n表示一個序列的第n個比特，T是一個比特的持續時間.因此，在接收端信號的解調就是根據(3b)對c(t)進行小波變換以提取序列sm.下面從式(4)出發來推導c(t)的功率譜表達式.
c(t)的自相關函數為
假定信息序列{sm(n)},m=1,2,…,M，是廣義平穩過程，其自相關函數定義為Rss(k)=E［s*m(n).sm(n+k)］，所以
因為c(t)為廣義周期平穩過程，故有
(5)
從式(5)的傅立葉變換得到c(t)的功率譜密度表達式
(6)
其中,並定義信息序列的譜密度為
代入式(6)就得到Φcc(ω)的進一步表達式
(7)
從式(7)可以看出，信息序列經過小波變換編碼後，其頻譜得到了擴展，並且擴頻係數η=2m,m＞0.可見，各信道的擴頻係數是不相同的.
三、基於SDMA的調製解調模型
根據多解析度分析理論，信號c(t)的調製與解調就是小波重構與分解過程.為此，引入另一個函數φ∈L2(R)，且有φmn(t)=2m/2φ(2mt-n)，使得分別以ψ和φ為基的兩個空間相互正交，則存在兩個序列{p(n)}和{q(n)}使得
(8a)
(8b)
(8c)
設fj和gj分別是尺度為j的兩個正交空間Vj和Wj上的函數，則它們有唯一級數表示：
(9a)
(9b)
從式(8)、(9)可得到小波分解及重構算法
(10a)
(10b)
(10c)
在有限解析度情況下(即m),式(4)可以改寫為
(11)
接收端收到的信號(t)=c(t)+n(t),n(t)是信道噪聲，根據式(11)可以得到最佳接收機模型為
(12)
由式(10)～(12)可以得到SDMA的調製解調模型，如圖1，2所示.
圖2 SDMA的多速率解調(最佳接收機)模型
在實際系統中，總有,因此系統容量為M=-M,和M分別為系統解析度的上限和下限.若在尺度為m的信道上採用多電平PAM調製，因此信道的傳輸速率Bm=2mlog2Lm比特/秒，其中Lm是調製電平數.顯然，此時數據是在的頻帶上傳輸.對這種調製方式，可以得出未編碼情況下在加性高斯分形噪聲信道中的誤碼率［2］，實際上對加性白高斯噪聲(AWGN)信道類似有
(13)
式中Em為每符號的平均能量，σ2為AWGN的方差.從式(13)可以看出，各信道的誤碼率會不一致.
四、SDMA的性能及特點
通過前面的分析，說明SDMA系統具有很好的抗窄帶噪聲性能，同時還可以通過選擇合適的基小波w使得發送信號類似於背景噪聲的頻譜特性，使之具有很強的保密性［2］.與CDMA相似，只有知道w的接收者才能獲得信息，而其他人很難竊取；並且還可以讓發送者按某一規律用不同小波發送信息(稱之為wavelet hopping spread spectrum)，以增強系統安全性，這與跳頻擴頻(FH/SS)較為類似.SDMA系統是將信號能量分配到不同的頻率子帶上進行傳輸，也使得系統具有很強的抗窄帶噪聲性能.在圖1和圖2中，傳輸函數p(n)、q(n)以及p(-n)、q(-n)即為實現這種分配及其逆過程.這些傳輸函數可以用正交鏡像濾波器(PR-QMF)組實現.
另一方面，也可以用SDMA的綜合/分析濾波器組代替傳統CDMA系統中的Gold序列M序列對信息進行擴頻［3，4］，這樣就可以將同一用戶的信處分配到不同子帶上傳輸.圖3給出了這種擴頻系統結構.其中的綜合濾波器組與分析濾波器組用PR-QMF實現，子帶選擇/提取可以用來控制信息比特在不同子帶上傳輸.圖4和圖5分別給出了在AWGN信道下這一系統的單用戶和兩用戶性能的計算機仿真結果.
圖5 AWGN信道下基於不同擴頻碼的兩用戶異步CDMA系統性能(PR-QMF的擴頻係數為32，Gold序列和M序列的長度為31)
在前面的分析中曾提到SDMA系統的各個信道有不同誤碼率和傳輸速率.對於前者，可以通過功率控制使各信道的誤碼率接近；而對於後者，這種信道的不公平性卻正是SDMA系統所固有的.對於同種業務的用戶，讓他們分時地使用同一信道，以縮小各用戶平均傳輸速率的差距.例如，在奇數時隙，用戶A使用子信道C1，用戶B使用子信道C2；而偶數時隙，用戶A使用C2，用戶B使用C1.對於不同業務的用戶，這種不公平性也許卻是SDMA系統的優點之一：用高速率信道傳輸寬帶業務(如圖像)，用低速率信道傳輸窄帶業務(如話音)，並且系統很自然地將這些業務結合在一起，因此這將適於傳輸多媒體信號.
事實上，接近於正交(或準正交)的擴頻序列族中的序列個數比較少，所以當信道容量一定時，採用這種擴頻序列的CDMA系統的容量也就相應較小［9］.在實際CDMA系統中，為了增加系統容量，通常採用數目較多的非正交擴頻序列，但這樣會直接導致遠近效應(near-far problem)的存在，嚴重影響系統性能.而在SDMA系統中，當確定了基小波w後，由它所構成的小波函數族從理論上講是正交的，並且可用的擴頻函數也較多(因為它能從頻域或時域上保證其正交性)，因此可以較好地抑制遠近效應，從而降低接收機的複雜性.
SDMA擴頻系統的性能與所選的基小波w有密切關係，可以用分析濾波器組的編碼增益Gs來衡量.這裡
(14)
式中σ2i是第i個分析濾波器輸出的方差，K是小波分解的層數.在綜合/分析濾波器長度為L(即正交小波的支撐長度，且為偶數)和給定信號譜密度P(ω)的情況下，保證系統性能最佳的最優小波的選擇，就歸結為在維空間的閉集中，尋找使Gs達到極大值的最優點.圖6(a)、(b)分別給出了信號譜密度為均勻分布和截斷Laplace分布的部分數值計算結果.
(a)均勻分布，
(b)截斷Laplace分布，p(ω)=e-c|ω|cos(ω/2)
圖6 Gs在不同信息譜密度下的局部最優結果(L=6)
在圖6的數值分析中，採用局部最優搜索結果近似代替全局最優值，因為目前尚沒有一種完善的求解全局最優結果的算法.另外，當信號的譜密度比較複雜時，搜索最優結果的複雜度也相應增加.
五、結 論
小波分析理論已經在圖像處理，信號檢測等通信領域獲得了廣泛應用.這裡，討論了基於小波的擴頻通信原理，提出了一種多速率調製解調模型，並給出了在AWGN信道中系統的性能仿真結果.通過分析，說明SDMA系統具有較好的抗窄帶噪聲性能及保密性，能較好地適於多媒體業務.為了使系統具有較強保密性，就要求發送信號的功率譜中沒有明顯尖峰(即使能量在頻帶內儘量均勻分布)，而基小波w的譜結構決定了發送信號的譜結構，因此如何選擇w以滿足上述要求還需進一步研究；如何設計正交鏡像濾波器(PR-QMF)也是一個重要課題；兩用戶以上的SDMA系統的性能還待進一步探討.