數學難題「abc猜想」封印終被開啟

問道數學|美麗思考

4 月 3 日，日媒京都新聞報導，日本京都大學數理分析研究所教授望月新一（Shinichi Mochizuki）對於數論難題「abc 猜想」的證明近日將正式發表。包括Nature等在內的權威科學傳媒組織，也這一重要進展進行了報導。

論文作者是日本的天才數學家望月新一，他33歲起就在京都大學擔任數學教授。

望月新一於2012年在個人網站上公開了四篇論文，共長達512頁（經過修改和增補，後已超過600頁），宣稱自己解決了這一重大猜想。他的證明使用了自創的「宇宙際泰希米勒理論」，英語：Inter-universal Teichmüller，簡稱IUT；其中的德文姓氏「泰希米勒」來源於數學家奧斯瓦爾德·泰希米勒。

據說，這篇論文全球只有十幾位數學家深入研究了證明過程。許多數學家根本無法指出證明過程是對是錯，因為根本看不懂。

這一次望月新一的證明，全篇超過600頁，足足經過了8年的同行評審才通過，期間開過多次研討會——但依然有很多數學家無法理解。

接收這篇論文的是日本京都大學數理解析研究所（RIMS）出版部門，而這家刊物的主編正是望月新一，這是數學家們在長期激烈的爭論後取得的最新進展。

難倒大批數學家的 abc 猜想

abc猜想，最初由法國數學家約瑟夫·奧斯特萊和大衛·馬瑟，在1985年提出。一經提出，abc猜想就成為數論領域的重要猜想之一。

只是和哥德巴赫猜想不同的是，向大眾說明abc猜想本身，就是一個複雜的過程。

大概如下：

有三個互質正整數a、b、c，且c=a+b。所謂互質，即它們的最大公約數是1。

因此8 + 9 = 17、5 + 16 = 21是符合條件的一組數字，但是6 + 9 = 15不是。

接著，我們把abc的質因數都提取出來，比如5、16、21的質因數是5、2、3、7，這些質因數相乘的結果為210，這個數比原來的三個數大得多。

又比如5、27、32，它們的質因數是5、3、2，相乘結果為30，就比32小。

但第二種情形極為罕見。如果a和b都是小於100的數，我們能找到3044個符合條件的abc組合，其中只有7組滿足第二種情形。

而abc猜想要證明的，就是符合第二種情形的abc組合，只有有限個。

數學家們把abc的質因數乘積記作rad(abc)。用嚴謹的數學語言來表述就是：

在人類短期內沒法證明的abc猜想的情況下，科學家們想到了一個辦法，就是用計算機暴力解決，從小到大依次尋找符合abc猜想第二種情形的組合。

由此衍生出了一個分布式計算項目ABC@Home，就是通過全球各地的電腦窮舉計算符合abc猜想條件的三元數組。到2014年5月，人們已經驗證了2380萬個組合。

雖然有無限個例子或反例不能解決abc猜想，但是數學家希望借著該計劃發現的三元數組的分布模式。

之所以花費大量計算資源去驗證，是因為abc猜想在數學界有著重要意義。

和黎曼猜想一樣，很多數學領域後續的一些假設都依賴於前者。如果前者得到證明，後者就能輕易得出。

如果abc猜想為真，那麼費馬大定理也可以輕鬆證明。

備受爭議的理論

望月新一的理論在學界備受爭議。

2018年菲爾茲獎得主、馬普所數學研究所所長Peter Scholze說：「我認為abc猜想仍未解決，任何人都有機會證明這一點。」

雖然現在論文的發表似乎已經是板上釘釘了，Scholze仍表示：「我的判斷沒有任何改變」。

Scholze在2018年因實在不理解證明中的關鍵步驟，專程前往京都大學訪問望月新一及其同事。結果雙方誰也說服不了誰。

Scholze公開撰文表示認為這一論證仍存在關鍵漏洞，他說：「除非望月新一進行一些非常實質性的修改，並更好地解釋這一關鍵步驟，否則不應該將其視為證明。」「我真的沒有看到一個使我們更接近abc猜想證明的關鍵思想。」

望月新一的論文也引起了陶哲軒的關注。陶哲軒謙虛的承認自己並不是IUT領域的專家，無法對望月的作品給出第一手的見解。

不過陶哲軒舉了一個例子，他用更熟悉的佩雷爾曼和張益唐的作品做比較。相比望月新一600多頁的論文，佩雷爾曼和張益唐的論文給出了簡短的「概念證明」陳述，能夠讓領域專家很快就能看出論文中的突破性和正確性。

陶哲軒憑著自己對數學的高度敏感性，認為如果望月新一能夠將300多頁的論證，縮短概念證明(例如100頁)將有助於消除對論點的懷疑。

不過陶哲軒也認為，一個完整的自足的理論，其唯一的外部應用是支撐abc猜想的300頁論證就顯得有點怪。

出版該雜誌的歐洲數學學會（EMS）主席沃爾克·梅爾曼（Volker Mehrmann）表示，如果該期刊的編輯「拋棄這些批評」並在不進行重大修訂的情況下發表該論文，就會產生嚴重影響。

有數學家表示，處理這些論文的編輯和裁判可能處於幾乎不可能的境地。「如果最好的數學家們花時間去嘗試正在發生的事情並且失敗了，那麼一個裁判自己怎麼會有機會評判呢？」

數學家經常在他們擔任編輯的期刊上發表論文。日本物理數學家中島啟（Hiraku Nakajima）說，只要作者退出同行評審過程，「這種情況就不會違反任何規則，而且很普遍」。望月新一退出了同行評審程序，並且沒有參加有關該論文的任何編輯委員會會議。

這篇論文被期刊接收，並不是abc猜想的終點，也無法讓數學家站到望月新一這一邊，新的爭論還會繼續下去。

望月新一簡介

望月新一，1969年出生於日本東京都，5歲隨父母前往紐約，16歲就進入普林斯頓大學，3年讀完本科，之後順利進入研究生院，師從德國著名科學家、菲爾茲獎獲得者法爾廷斯。23歲獲得博士學位，33歲成為京都大學教授。在學術上，望月新一專注於算數幾何、霍奇理論和遠阿貝爾幾何等數學工作領域。

參考資料：

https://www.quantamagazine.org/titans-of-mathematics-clash-over-epic-proof-of-abc-conjecture-20180920/

https://futurism.com/the-byte/mathematicians-shocked-paper-published

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