核心提示：「令人感到興奮的原因不僅僅在於abc猜想或許已被解決，更在於他所使用的方法和思想將會成為以後解決數論問題的有力工具。」
數論領域中最重要的難題之一abc猜想或已被解決，這則重磅消息打破了數學界一貫的沉靜，人們開始對此議論紛紛。
日本東京大學（Kyoto University）的數學家望月新一（Shinichi Mochizuki）發表了一篇長達500頁的論文來證明abc猜想（abc conjecture）。此猜想提出了一個整數之間的關係式，是一個「丟番圖」問題（'Diophantine' problem）。
abc猜想是由大衛·麥瑟爾（David Masser）和約瑟夫·厄斯特勒（Joseph Oesterle）在1985年分別獨立提出的。abc猜想或許並不被人們所熟知，沒有費馬大定理（Fermat's Last Theorem）知名度高，但是在某些方面它卻更為重要。美國哥倫比亞大學數學家多利安·戈德費爾德（Dorian Goldfeld）說：「如果abc猜想得到證實，將一舉解決眾多著名的丟番圖問題，這其中就包括費馬大定理」。他還說道：「如果望月新一的證明是正確的話，這將是21世紀最令人震驚的數學成就之一。」
與費馬定理相似，abc猜想中同樣涉及到a+b=c的關係式。其中，需要指出的一個概念就是無平方因子數（square-free number），所謂無平方因子數是指不能被任何整數的平方（除了1以外）整除的數。例如，15和17就是無平方因子數，但是16和18卻不是，它們分別能夠被4和3的平方整除。
數字n的「無平方因子」部分記為sqp(n)，是指用n的素數因子相乘所得到的最大無平方因子數。例如，sqp(18)=2×3=6。
如果你能明白這一點，那麼理解abc猜想就不成問題了。在abc猜想中，首先考慮三個整數a、b、c的乘積a×b×c，或者簡寫為abc；然後，計算這個乘積的無平方因子部分sqp(abc)，它與a、b、c三者的特有素數因子相關。abc猜想描述如下：有任意整數a、b，令 c=a+b，那麼存在大於1的常數r，使得比值sqp(abc)r/c總是大於0。舉個例子，假如a=3，b=125，因此c=128，sqp(abc)=30 ，那麼存在r=2，使sqp(abc)2/c= 900/128>0。此外，如果取r=2，那麼對任意整數a、b，sqp(abc)2/c總是大於1的，當然也大於0。
深層次的關聯
abc猜想將許多丟番圖問題都包含在其中，比如費馬大定理。（費馬大定理說的是：當整數n > 2時，關於x, y, z的不定方程，無正整數解）。同許多丟番圖問題一樣，abc猜想完全是一個素數之間關係的問題。史丹福大學布拉恩·康拉德（Brian Conrad）曾說，「在a、b和a+b的素數因子之間存在著更深層的關聯」。許多數學家都花費了大量的精力試圖證明這一猜想。在2007年，在法國數學家呂西安·施皮羅（Lucien Szpiro）在1978年的研究工作的基礎之上，首次宣布對abc猜想的證明，但很快就發現證明中存在著缺陷。
和施皮羅情況相似，英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）曾在1994年對費馬大定理做出了證明，但是望月新一曾運用橢圓曲線理論對這一問題提出過反駁——這一平滑曲線的代數表達式為y2=x3+ax+b 。
然而，望月新一的研究工作與前人的努力並沒有太多關聯。他建立了一套全新的數學方法，使用了一些全新的數學「對象」——這些抽象實體可類比為我們比較熟悉的幾何對象、集合、排列、拓撲和矩陣，目前只有極少的數學家能夠完全理解。就如同戈德費爾德所說：「在當今，他或許是唯一一個完全掌握這套方法的人。」
康拉德認為，這項研究工作「包含著大量的深刻思想，數學界要想完全理解消化需要花很長的時間」。整個證明包含四個長篇論文，每一篇都是建立在之前論文的基礎上。「需要花費大量的時間來研讀並理解這些深奧的長篇證明，所以我們不能僅僅關注此證明的重要性，更重要的是沿著作者的證明思路進行研究。」
望月新一取得的研究成果使得這一切努力都是值得的。康拉德說：「望月新一曾經成功證明過極為艱深的定理，並且他的論文表達嚴謹，論述周密。這些都使我們對於成功證明abc猜想充滿了信心。」另外，他還補充道，所取得的成績並不僅限於對此證明的確認。「令人感到興奮的原因不僅僅在於abc猜想或許已被解決，更在於他所使用的方法和思想將會成為以後解決數論問題的有力工具。」
本文來源：《科學美國人》中文版《環球科學》 責任編輯： 冷娜_NN5073