翼 型
——古典與近現代流體力學的完美結晶
孟 航
University of Waterloo/Faculty of Engineering
翼型，流體力學
如果有人讓我說出一項和「車輪」同等重要的發明，我會毫不猶豫地說「翼型」（Airfoil）。狹義的翼型指的是飛機機翼的截面形狀，這種把力學與美學結合在一起的設計使現代飛行器的動力發揮到了極致。車輪讓人類可以在陸上疾馳，而翼型讓我們能夠自由地翱翔在天際。圖一展示了從萊特兄弟（Wright Brothers）開始飛機翼型的進化過程，這巨大的變化主要是由於現代飛行器的設計速度和載重量的逐漸增加，其中亞聲速（Subsonic）翼型和超聲速（Supersonic）翼型的幾何形狀就是完全不同的。如果人類發現了一個像我們一樣生活在大氣中的外星文明，僅僅是通過捕獲他們的飛行器，觀察一下其翼型，也許就能夠窺見他們工業發展的一斑。
圖一：早期飛機翼型的進化過程。
實際上，翼型不僅應用於飛機的機翼，在船舶的螺旋槳、火力及水力發電渦輪機的葉柵、直升機的旋翼、以及風力發電機組的葉片中也能發現翼型的身影。毫不誇張地說，如果沒有翼型，人類一半以上的工業活動將會減緩或停滯。在翼型的演化過程中，人們對它的認識與改進依賴於流體力學（Fluid Mechanics）知識的進步，而科學家們對翼型動力性能的理論研究就像《倚天屠龍記》裡面的倚天劍和屠龍刀，這條線索冥冥中貫穿了古典、近代和現代兩百多年流體力學的發展歷程。
伯努力（Bernoulli）與歐拉（Euler）
——古典流體力學的先聲（1738-1783）
故事要從1738年說起，伯努力（Daniel Bernoulli，1700-1782）在這一年發現了著名的伯努力原理，並將其發表在自己的新書《水動力學（Hydrodynamics）》上。伯努力原理描述了流體中的動能和壓能之間存在著的巧妙平衡關係，即動能越小，壓能越大。當我們對一枚桌上的硬幣吹氣時，硬幣有時會跳起來，這種現象的產生就是由於氣流上下流速不同產生了硬幣上下表面的壓力差，這一壓差驅動了硬幣的運動。從某種程度上說，這個原理已經可以用來解釋當時的風帆和風車的動力，甚至解析翼型動力的來源問題。
但是伯努力並沒有找到這個原理的定量表述，於是他把自己的想法寫信寄給了在柏林科學院工作的自己的好朋（基）友歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）。歐拉和伯努力是瑞士巴塞爾（Basel）大學的同學。同時伯努力的父親（Johann Bernoulli）是歐拉的大學老師，並曾經勸說歐拉從神學轉到數學研究。值得一提的是，從1726年開始，歐拉和伯努力保持著長達42年的通信，通信內容涉及了數學、力學和天文學中的各種難題。讀完伯努力的信之後，歐拉腦中想到解決這一問題的思路是將牛頓第二定律應用到流體分析當中，這在當時是很超前的想法。
終於到了1752年，歐拉推導出了伯努力原理的一般表達式，並將其命名為伯努力方程式（Bernoulli’s Equation）。伯努力方程式成功地定量地描述了伯努力原理，但是它的缺點也是顯而易見的，即這個方程式只能描述流體沿著流線的變化規律，而複雜幾何體周圍的流線也是異常複雜的，所以很難通過這一方程求解一般幾何體的受力問題。
但是歐拉很快就發現了這一問題，並於1757年獲得了伯努力方程的更廣義的形式，即歐拉方程組（Euler Equations），而這個通信中誕生的方程組，竟在無意中打開了理想流體力學（Idealfluid Mechanics）的大門。嚴格來說，歐拉方程組只包含兩個方程，一個動量守恆方程和一個質量守恆方程，寫在紙上不過是四五英寸長（張量形式）。而就是這個四五英寸長的公式，卻包含了從阿基米德（Archimedes）到當時（1757）近兩千年人類的流體力學的所有知識，充分地體現了物理學的簡潔美。而遺憾的是，歐拉方程組在提出之時是沒有辦法求解的，即使是歐拉自己也沒有獲得這個方程組的一般解。1783年，歐拉病逝在俄羅斯聖·彼得堡（Saint Petersburg）的家中，去世那一刻，他的案頭還放著關於熱氣球升空計算的手稿——也是一道流體力學問題。就像那首歌裡唱的，他不知疲倦地翻越一座座山丘，未能如願見到不朽，而自己卻先成了不朽。
茹科夫斯基 (Joukowsky)與庫塔 (Kutta)
——柳暗花明（1783-1910）
在十八世紀末期的研究當中，人們漸漸發現歐拉方程組可以拆分成兩個更簡潔的方程式進而分別求解，即上文提到的著名的伯努力方程（Bernoulli’s Equation）和大名鼎鼎的拉普拉斯方程（Laplace’s Equation, 1799）。人們對伯努力方程的研究已經很清楚了，所以求解歐拉方程的關鍵就指向了拉普拉斯方程的求解。
幸運的是，法國數學家拉普拉斯（Pierre-Simon, marquis de Laplace，1749-1827）在提出這組方程的時候已經指出了方程的解是一種特殊的函數，即調和函數（Harmonic Function）。同時他還指出所有拉普拉斯方程的看似複雜的解空間其實是由幾種調和函數線性疊加而成的，這就像我們可以用簡單的幾個音符去構造豐富多彩的大型樂章。根據這一思想，科學家們通過複變函數理論（Complexfunction Theory）作為工具求解了拉普拉斯方程，從而順利地將關於圓柱繞流的歐拉方程解決了。這裡插一句，拉普拉斯有句名言說：「讀懂歐拉，讀懂歐拉，他是我們所有人的老師」，而歐拉方程的求解又將兩個人的名字暗暗的緊緊地聯繫到了一起。根據這一方法，人們又進一步求解了關於球體和橢球體的受力，但是此時對任意複雜的封閉幾何體的求解，依然缺乏行之有效的方法。
轉折點發生在近一個世紀後，還是在沉睡著歐拉的俄羅斯土地，數學家茹科夫斯基（Nikolay Yegorovich Zhukovsky，1847-1921）在複變函數的基礎上提出了保角變換（Conformal Mapping）的概念，這一變換可以將複雜的幾何體轉換成為另一空間裡面的圓柱體。這就像兩個平行世界，兩個世界中的所有元素是一一對應的，但是形態卻是完全不同的。而經過保角變換，物理空間內的複雜的幾何體都可以被簡化成為另一空間上的偏心圓柱，而人們對圓柱繞流的研究工作在上個世紀剛好已經完成了。依據這一方法，他進一步推導出了著名的茹科夫斯基升力定理（Joukowsky Theorem），定理描述了任意幾何體受的流體作用力和來流速度矢量與物面速度環量（速度沿著物面的線積分）之間的外積成正比，從伯努力開始，歷經兩個世紀，這一定量表達式終於被發現了。令人驚嘆的是這一公式的證明是如此優雅，而結論又是如此簡潔！接下來只要確定速度環量，人們就可以方便的計算出翼型的受力，從而設計翼型，我們缺的是一個定解條件。
到了1910年，這個定解條件被茹科夫斯基和德國數學家庫塔（Martin Kutta，1864-1944）分別獨立地發現了（總有一個人和你遙遠的心心相印）。而後第一批真正意義上的現代翼型出現了（茹科夫斯基翼型，如圖二所示）。值得一提的是，茹科夫斯基還在俄國主持建造了世界上第一座風洞，而翼型的發展也開始走上了快車道。
圖二：茹科夫斯基翼型。
普朗特(Prandtl)與邊界層理論
——向奇點進發（1910-1946）
在這一階段，人們將理論分析成果與風洞試驗成功地相結合，翼型的設計理論也逐漸完善了起來，而關於翼型的規律都凝結在了如下圖三左圖所示的升力曲線當中。曲線的橫軸代表翼型的可調範圍（攻角），縱軸代表了翼型的出力（升力）。
圖三：NACA翼型升阻力曲線。
在這期間人們也逐漸認識到：1.翼型的弧度有利於提高翼型的最大出力；2. 翼型的厚度可以增加其可調範圍（失速攻角增加，圖三中峰值對應的橫軸位置右移）。這兩個特點（弧度和厚度）都體現在了當時最有名的哥廷根翼型（Gttingen Airfoils，見圖四）當中。
圖四：哥廷根翼型。
在這期間最有趣的一個翼型是Clark Y翼型，該翼型是在美國航空工程師克拉克（Virginius Evans Clark，1886-1948）嘗試改造一個非常失敗的哥廷根翼型（Gttingen 398）時提出的。Clark Y翼型的特點是，它的下底面幾乎全部是平的，如圖五所示。有趣的是，雖然這個翼型的氣動性能完全沒有達到克拉克的期望，但是它卻大大的簡化了機翼和螺旋槳的製造和安裝，一時之間竟然成為了最流行的翼型。
圖五：Clark Y翼型。
而這些理論探索和工程實踐最終促成了應用最廣泛的NACA翼型族。在這當中貢獻最大的是兩位美國空氣動力學家，雅可比（Eastman Jacobs，1902-1987）和西奧多森（Theodore Theodorsen，1897-1978）。而這兩位空氣動力學家應用的方法正是由茹科夫斯基構建的那套複變函數分析法。
值得一提的是，西奧多森是一位非常有魅力的科學家，他不僅能夠完成最有難度的理論研究，又能夠將自己的研究成果應用於NACA的實際需求。同時西奧多森的研究也是非常有自己風格的，與當時其他的空氣動力學家（如von Karman）不同，他致力於找到翼型壓力分布的精確解而不是近似解[1]。而他的研究成果（空氣動力、翼型顫振和相對論）對現在的研究工作者依然有所啟示。
有趣的是在NACA的會議室裡，兩位科學家（Jacobs和Theodorsen）經常發生爭論，大多數情況下，西奧多森會用自己高超的數學功底碾壓雅可比。但是在爭論中，雅可比漸漸發現了茹科夫斯基方法中最致命的問題——奇點。所有的分析都是在奇點（Singularity）之外進行的，沒有人知道奇點內部是什麼。而當時實驗中人們又發現，茹科夫斯基的方法對翼型阻力和失速（升力曲線的下降段）分析是無能為力的。
回答這些問題的是德國科學家普朗特（Ludwig Prandtl，1875-1953），在他新近提出的邊界層理論當中指出在「奇點」內部，物面邊界之外存在著一個粘性很強的「薄層」。同時普朗特提出了這一「薄層」的控制方程——邊界層方程。邊界層理論不僅在理論界回答了奇點內部的問題，同時在工程界解釋了翼型阻力和失速的原因，它是近代流體力學的開端。雅可比了解了邊界層理論後，將其成功地應用在翼型的設計當中，這項技術催生了低阻力的NACA層流翼型（Low-draglaminar Flow Airfoil）和當時美國空軍最先進的野馬戰鬥機（P-51 Mustang），從而影響了二次世界大戰的進程。
1928年，英國空氣動力學家格勞特（Hermann Glauert，1892-1934）提出了可壓縮空氣動力學理論，這標誌著人類可以設計更高速的飛行器。在當時軍事工業的推動下，人類的運動速度比上世紀快了整整一個數量級，從而人類社會的信息、交通和戰爭等等都發生了巨變。
湍流（Turbulence）
——謎題與遐思（1946-現今）
普朗特在他的邊界層理論中提出了一個近似模型（混合長度模型）用以考慮湍流邊界層的效應（湍流邊界層阻力較層流邊界層要高）。他的許多學生都嘗試拋棄這個近似模型，去獲取一個描述湍流的精確模型以封閉邊界層方程，但是無一例外都失敗了。
其實「湍流」這個問題起源於英國科學家雷諾（Osborne Reynolds，1842-1912）關於管道流動的研究（1883），在「一定條件」，管道入口的微小擾動可以導致整個管道內的流體變得湍動起來（蝴蝶效應）。有趣的是，粘性流體方程組（Navier-Stokes Equations）的解也會在「一定條件」下存在著不確定的解，也就是說它的解是混沌的。所以在湍流誕生之初，就帶著謎一樣的特性。據說，德國物理學家海森堡（Werner Heisenberg，1901-1976）逝世前就曾經說過：「如果我見到上帝一定要問他兩個問題，什麼是相對論，什麼是湍流，但是我只相信他對第一個問題有答案」。不幸的是，在大多數翼型上面，都能看到湍流的影子。
1945年我國物理學家周培源在日軍炮火下的昆明完成了關於湍流的一篇論文——《on velocity correlations and the solutions of the equations of turbulent equation》,1946年世界上第一臺計算機（ENIAC）誕生了，這兩項成果直接地催生了現代應用最廣泛的工程湍流模型[2]，這使得人們可以用計算機求解湍流問題。但是人類對於湍流問題探索的腳步才只是剛剛開始。而回首過去，從伯努力到歐拉，再從拉普拉斯到茹科夫斯基，再從西奧多森到普朗特，總感覺有什麼冥冥中把這延續兩百多年的科學研究聯繫在了一起，也許是「翼型」，也許是人類對於未知的好奇和對真理的不懈追求吧。
作者簡介
孟 航
Hello，大家好！我是博科團隊的孟航：
工作院校：滑鐵盧大學可再生能源研究中心（Waterloo Institute for Sustainable Energy, WISE）；
研究領域：風力發電機組尾流導致的疲勞與風力機的氣動彈性建模；
對科普的想法：希望能讓更多有興趣的同學進入再生能源領域，同時促進學科間的交叉與思想碰撞。
參
考
文
獻
：
[1] R. T. Jones. Classical Aerodynamic Theory, NASA report (1050),P257-291, 1979.
[2] B. E. Launder, D. B. Spalding. The Numerical Computationof Turbulent Flows, Numerical Prediction of Flow, Heat Transfer, Turbulence andCombustion, P96-116, 1983.
來源：博士科普
編輯：Major Tom