數學歸納法可以倒過來用

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今天我們要證明一個非常奇特的不等式：

上式中，m和M是確定的正整數，且2≤m≤M。不等號左側一共有M－m＋1層平方根號；m，m＋1，···，M－1，M是M－m＋1個從左到右從小到大連續排列的正整數。不等號右側是第二個正整數m＋1。比如，m=2，M=5時，下式成立：

它有四層根號，根號下從左到右是四個從小到大連續排列的正整數。小於號右側則是第二個數「3」。再比如，下式也是成立的：

其中96,97,98,99,100是五個連續正整數，有五層根號，不等號右側是第二個數97。但奇怪的是（奇怪歸奇怪，但仍然正確），在上式左側最內層根號下再增加兩層，甚至任意多層，但公式的其他部分竟然可以不變化而仍然成立，尤其是不等號右側始終是第二個正整數。

就像有一個固定大小的袋子，你往裡面放多少東西都放得進去，袋子不會被撐破。我被震驚了！

下面我將以一個特例來講解證明最開始那個奇特不等式的思路。取m=20200923（因為今天是2020年9月23日），M=20200926，我們來證明下面不等式：

顯然有

我們來看從內部開始的兩層根號：

把(1)式代入上式，得

對上式右側應用著名不等式：幾何平均值小於等於算術平均值，得

據此，(2)式演變為

利用上式，可以繼續得到

最後得到

即

上式中，左側是從今天周三的日期20200923到周六的日期20200926，共四個連續的正整數，右側是第二個數即明天周四的日期20200924。

其實，上面運用的是一種逆向數學歸納法的證明過程。應用數學歸納法是因為數很多，我們不可能一個個去驗證。但數學歸納法從證明n到n+1的過程與從99到100的過程是同樣的思路。在本文中所使用的數學歸納法，則是一種倒推的歸納法，從某個任意正整數開始，比如m=M，結論是正確的；然後證明對m=M－1結論也是正確的，一直到m的下限m=2。所以，我們最終可以有下面的不等式成立：

其中的M是任意一個確定的大於等於2的正整數。上式一共有M－1層根號。M可以很大，比如可以等於12345678987654321。那麼，這時的上式將有12345678987654320層根號。這麼多層根號，結果依然小於3。數學真的是好神奇！