二次函數是刻畫現實世界的一個有效的數學模型。
要學好掌握二次函數，圖像、開口方向、對稱軸、頂點坐標是關鍵。
1、二次函數的定義：
形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函數叫做二次函數。
二次函數在中學數學中的地位十分重要，起著承上啟下的橋梁作用。
二次三項式可以看作帶有自變量的二次函數的表達式；我們上學期學過的解一元二次方程實際上就是當二次函數的值為零時，求自變量x的值；解一元二次不等式就是研究二次函數在定義域內的正值區間和負值區間問題。
這四個"二次"互相滲透，二次函數起了主導作用。
2、二次函數的表達式：
對於一個二次函數，一般有三種表達式：
①一般式：y=ax^2+bx+c（a≠0）；
②頂點式：y=a（x-h）^2+k（a≠0），其中h=-b/2a，k=（4ac-b^2）/4a；
③交點式：y=（x-x1）（x-x2），其中x1，x2為二次函數圖像與x軸交點的橫坐標。
3、二次函數的圖像與性質：
①二次函數的圖像是拋物線，頂點坐標是[-b/2a，（4ac-b^2）/4a]，對稱軸是直線x=-b/2a，當a>0時，拋物線開口向上，當a<0時拋物線開口向下。
②當a>0且x=-b/2a時，二次函數有最小值y=（4ac-b^2）/4a；
當a<0且x=-b/2a時，二次函數有最大值y=（4ac-b^2）/4a。
③若a>0，則當x≤-b/2a時，y隨x增大而減小；當x≥-b/2a時，y隨x增大而增大。
若a<0，則當x≤-b/2a時，y隨x增大而增大；當x≥-b/2a時，y隨x增大而減小。
④拋物線與x軸的交點個數由△=b^2-4ac的符號確定。
I、△>0時，拋物線與x軸有兩個交點；
IⅠ、△=0時，拋物線與x軸有一個交點；
lll、△<0時，拋物線與x軸沒有交點。
※二次函數圖象對稱軸：a、b異號（ab<0）時，對稱軸在y軸右側；a、b同號（ab>0）時，對稱軸在y軸左側；b=0時，對稱軸為y軸。
二次函數頂點坐標：由二次函數一般式經過配方得到，坐標為[-b/2a，（4ac-b^2）/4a]，橫坐標為對稱軸，縱坐標為該函數的最大或最小值。
二次函數與y軸交點坐標由c來確定。
※△二次函數圖像象限的確定
當a>0且b>0時：
①若c>0，△>0時，二次函數圖像經過一二三象限；
②若c>0，△<0時，二次函數圖像經過一二象限；
③若c<0，△>0時，二次函數圖像經過一二三四象限；
當a>0且b<0時：
①若c>0，△>0時，二次函數圖像經過一二四象限；
②若c>0，△<0時，二次函數圖像經過一二象限；
③若c<0，△>0時，二次函數圖像經過一二三四象限；
當a<0且b<0時：
①若c>0，△>0時，二次函數圖像經過一二三四象限；
②若c<0，△>0時，二次函數圖像經過二三四象限；
③若c<0，△<0時，二次函數圖像經過三四象限；
當a<0且b>0時：
①若c>0，△>0時，二次函數圖像經過一二三四象限；
②若c<0，△>0時，二次函數圖像經過一三四象限；
③若c<0，△<0時，二次函數圖像經過三四象限。
二次函數y=a（x-h）^2+k（a≠0）的平移規律
①h>0，k>0時，函數圖像由y=ax^2向右平移h個單位，向上平移k個單位；
②h<0，k<0時，函數圖像向左平移丨h丨個單位，向下平移丨k丨個單位。