摘要：通信原理是一門具有很強物理意義的專業理論課，因其內容抽象而繁雜，給教學帶來了一定的困難。基於整合教學內容的目的，本文探討了將眾多調製方式(包括模擬調製和數字調製)統一為正交調製模型的教學方案。為了在滿足教學要求的前提下降低教學難度，提出了用MATLAB進行仿真演示的教學方法。教學實踐證明，該教改方案不僅達到了有效整合課程內容的目的，而且通過使用信息工具將抽象知識具體化、直觀化的這一途徑使得教學質量得到了提高。
關鍵詞：向量空間；標準正交基；信號空間；調製解調；MATLAB
2009年1月，教育部高教司設立了「利用信息技術工具改造課程」項目，「用MATLAB和建模實踐改造工科線性代數課程」是其中一個子項目。而「需求牽引」和「技術推動」正是此項目改革的動力。是的，後續課程的需求是什麼?採用MATLAB軟體如何增強教學?這是當前線性代數課程教育者必須思考的。
我校作為參與此項目院校之一，教改也取得了顯著成果，得到了專家、教師和學生的支持，給予很高的評價，但是如何將線性代數在工科教育中的重要作用進一步發揮出來呢?工科線性代數改革的主要目的不是在於課程自身，而是對後續課程產生輻射，推動各種有關的後續課乃至整個教學計劃的改革和現代化。
基於此，本文針對通信原理課程內容雜而多，難教難學的特點，以此課程中調製內容為例，探討了現有教學中存在的問題，提出了將線性代數中向量空間及標準正交基的知識與調製內容進行深度結合，並將MATLAB運用於教學的解決方案。
1 通信原理課程教學現狀
通信原理課程是通信工程、電子信息工程等本科專業的專業基礎課。在實際教學中，本科院校一般都是選用國內一些優秀教材，這些教材內容選取大同小異。一般由隨機過程、信道與噪聲、模擬調製系統、數字基帶傳輸系統、數字頻帶傳輸系統、模擬信號的數字傳輸系統、數位訊號的最佳接收、同步原理、差錯控制編碼這些內容組成。由於其具有很強的理論性、系統性和物理性，內容雜而多，很多學生反映「亂」，而就每一章來說，能聽懂，會做題，但沒有課程的整體思路。現以調製部分的教學為例，討論難教難學的原因。原因一，調製方式多、數學表達式多。在大多數通信原理教材中將調製分為兩部分，一部分是模擬調製，包括有AM、DSB、SSB、VSB等；另一部分是數字調製，包括有二進位或多進位的ASK、FSK、PSK以及QAM、MSK、GMSK等。不同的調製方式有著不同的數學表達式。儘管在教學中不斷強調，不論是模擬調製還是數字調製都是圍繞幅度調製、頻率調製、相位調製3類基本調製展開的，本質是一樣的。但是在理論學習過程中，眾多的調製方式、數學表達式仍然讓學生感到混亂、難理解。原因二，知識抽象，有很強的物理性。調製在實際中有廣泛的應用，但是學生學習這部分常常會感到，即使能將每個調製方式的表達式記住，卻不知如何用；題目中已知條件給了不少，卻弄不清楚是什麼意思；面對實際問題，不知如何分析，如何實現。這些都是南於知識抽象，不理解公式和物理量的物理意義所造成的。如何解決或改善上述兩個問題呢?首先，如果能將紛雜的調製方式統一為一個數學模型，換句話說，就是可以用一個通用的數學模型分析所有模擬和數字調製方式，那麼可以改善甚至解決第一個問題。其次，如果能將MATLAB用於教學，通過仿真將抽象知識直觀化、具體化，那麼可以解決上述第二個問題。以下討論具體解決問題的方案。首先介紹調製方式的數學模型如何統一。
2 調製數學模型的統一
為解決調製方式多，數學表達式繁雜給教學帶來的困難，現將線性代數中向量空間和標準正交基概念引入，通過闡述向量空間和信號空間的關係，將標準正交基和通信原理課程中的調製內容結合起來，實現調製方式數學模型的統一。
2．1 向量空間與信號空間的聯繫
向量空間就是線性代數中一個核心概念。掌握有限維向量空間，將其擴展到信號空間，這一點對於應用數學研究者是非常重要的。
2．1．1 向量空間
根據向量空間定義，可以獲知以下信息：1)向量空間是滿足某種運算關係的向量的集合：2)在n維向量空間中線性無關的n個向量構成的向量集合就是向量空間的一個基；3)基是生成向量空間的最基本的向量集合，空間中的任意一個向量都可以由基線性組合得到；4)在Euclid空間引入標準正交基對於揭示空間結構、簡化表述非常有利。
此概念具有非常直觀的幾何意義。例如在二維向量空間中的體現如圖1所示。其中向量e1=[1，0]T，e2=[0，1]T。根據標準正交基的定義可知，e1、e2是二維向量空間的一個標準正交基。那麼，二維向量空間中的任意一個向量都可以由e1、e2線性組合得到。如x=k1e1+k2e2，其中是實常數。
2．1．2 信號空間
根據信號空間定義可知，信號空間是由信號構成的Hilbert空間或線性空間。也就是說，信號空間也是滿足一定條件的集合，其元素是信號。如前所述，向量空間是由向量構成的線性空間。由此可以看出：信號空間與向量空間本質相同，均是滿足一定條件的集合，只是集合中的元素不同。若將向量空間中的元素向量換成信號，便是信號空間。那麼，向量空間中基的概念可以推廣到信號空間：1)兩兩正交且能量均為1的信號集合是信號空間的標準正交基或歸一化正交基。2)由基組合而成的信號組成的集合便是信號空間。換言之，信號空間中的任意一個信號都可以由基組合得到。當信號空間中的基給定時，空間中信號的位置完全由組合係數構成的向量決定。
根據函數正交和正交函數集定義可知，sin(ωct)和cos(ωct)互為正交函數，由上述討論顯然可以看出，sin(ωct)和cos(ωct)可以看作二維信號空間的一組標準正交基，那麼二維信號空間中的任意一個信號s(t)均可以由基線性組合得到。
2．2 正交調製原理
在通信中，基帶信號不能直接送入實際信道進行傳輸，為了更好地適應信號傳輸通道的頻率特性，必須用基帶信號對載波進行調製來完成信號傳輸。在通信發展的過程中，隨著技術的不斷進步，衍生出很多種調製解調方式，它們之間的不同之處在於用待傳輸信號去控制載波的不同參數，例如載波的幅度、頻率、相位或者它們的組合。已知已調信號的一般數學表達式為：
根據上面討論可知，sin(ωct)和cos(ωct)是二維信號空間的一組標準正交基，那麼(2)式顯然可以理解為：已調信號s(t)是sin(ωct)和cos(ωct)線性組合。另外在(3)式中可以看到，I(t)、Q(t)包含了調製信號的幅度信息和相位信息。這就意味著，只要確定了I(t)、Q(t)，便可以實現各種調製方式。因此，調製過程，等價於根據待傳輸的基帶信號獲得同相分量I(t)和正交分量Q(t)後，對基函數cos(ωct)、sin(ωct)進行線性組合的過程。進一步，解調的過程即為從已調信號中提取I(t)、Q(t)並由其生成基帶信號的過程。
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