為什麼要發明和使用微積分？大學不知道多少人因為它掛科！如果不發明和使用微積分，現實生活中我們碰到的許多不規則形狀的面積和體積是求不出來的，或者至少是很難求的。
舉個簡單的例子。比如下圖陰影部分的面積怎麼求？如果不使用微積分的話，這是不是相當麻煩？這還是算是相當簡單的了。若碰上圖形更不規則的，用初等數學的辦法肯定是要束手無策了。要是這樣的話，數學也就只能湊巧解決一些問題。跟沒那麼規則的現實世界還是聯繫不夠緊密的。
而用微積分的辦法，這類問題簡直就像是一些算術題了，因為只要按照規則去計算定積分就可以了。上圖陰影部分的面積相當於是由函數f(x)=3-x與函數g(x)＝2x所圍成的。
於是我們就可構造出函數h(x)＝f(x)－g(x)＝3－x－2x。再根據積分規則，求出函數h(x)的不定積分或原函數族是：
H(x)＝∫ h(x)dx＝3x－x/3－x＋C。我們的思路是：從函數f(x)和g(x)，先找到函數h(x)，再繼續找到它的不定積分H(x)，然後就可以計算相關的定積分了，也即陰影部分的面積了。
陰影部分的面積是函數H(x)從－3到1的定積分，也即：H(1)－H(－3)＝(3－3－1＋C)－(－9＋9－9＋C)＝8。竟然可以這麼代入一下，然後減一下就求出面積了！我們根據的原理是「微積分基本定理」，也即「牛頓-萊布尼茲公式」：