有限元的內蘊超光滑性

2021-01-21 CAM傳習錄
編者按：在上一節 張量有限元（二）中，我們提到有限元的超光滑性。我們請凱博來詳細講講細節。主要參考文獻是凱博最近的文章。

Michael S. Floater, and Kaibo Hu. "A characterization of supersmoothness of multivariate splines." Advances in Computational Mathematics 46.5 (2020): 1-15.

樣條和有限元

給定一個網格 

有限元是樣條的一個例子. 經典的有限元是滿足一定連續性的分片多項式. 比如 Lagrange 線性元定義為整體連續的分片線性多項式空間:

如何系統地在三角剖分上構造 Spline，可以參考下面這本書

Lai, Ming-Jun, and Larry L. Schumaker. Spline functions on triangulations. No. 110. Cambridge University Press, 2007.

內蘊超光滑性 (intrinsic supersmoothness)

如果樣條函數在每一片上光滑, 那麼在單元彼此相交的地方可能自動地就有更高的連續性, 這稱作內蘊超光滑性.

比如在上面的三角剖分中, 如果是分片多項式, 整體 

有限元構造

內蘊超光滑性的存在會影響有限元的構造. 比如要構造 

下面是最簡單的二維 


用到二階導數可以構造 

宏單元

有一種辦法可以避免用二階導數。既然單元上使用光滑函數會導致超光滑性，那就在每個單元上避免用光滑函數.

（小編註：還有一種方法是使用Virtual Element，形函數是重調和方程的解，不是無窮光滑的。）

一個常用的辦法是使用宏單元. 在下圖中, 我們取三角形重心 (或其他內點), 把三角形剖分成三個小三角形. 大三角形上的形函數則取為 

這種對單元的進一步剖分，二維的時候叫 Clough–Tocher split，三維以上稱之為Alfeld split，也統稱為重心加密。



這時我們可以用一階導數作為自由度得到 

內蘊超光滑性的一般研究Sorokina, T.: Intrinsic supersmoothness of multivariate splines. Numer. Math. 116, 421–434 (2010) (定義超光滑性, 一些特殊情形)Shektman, B and Sorokina, T, Intrinsic supersmoothness, Journal of Concrete and Applicable Mathematics 13 (2015), 232–241.Floater, M.S. and Hu, K :A characterization of supersmoothness of multivariate splines. Advances in Computational Mathematics 46.5 (2020): 1-15. (一般結果)

Floater-Hu: 給定一個剖分, 對於

超光滑性對任意分片光滑函數成立, 不限於多項式 (只需要用到 Taylor 展開),超光滑性是一個幾何結果. 比如在二維, 如果有兩條邊共線, 則在交點沒有超光滑性 (奇異點). 如下圖.主要結果：最高超光滑性問題等價於樣條空間維數問題.證明細節

超光滑性只依賴於局部 Taylor 展開. 定義整體 

很顯然，

Theorem （Floater-Hu, 2020) For 

if: Taylor expansion up to order 

only if: since 

定義 


Corollary

所以 

樣條空間維數

關於樣條空間維數，我們有如下的 Strang 猜想。

G. Strang, Piecewise polynomials and the finite element method, Bull. Amer. Math. Soc. 79, 1128–1137. 1973.

STRANG'S CONJECTURE. For a generic embedding of a planar 2-manifold 

where 

Strang 猜想由 Billera 在1988年用同調觀點和代數幾何方法證明了。

Billera, L., Homology of smooth splines: generic triangulations and a conjecture by Strang, Trans. A.M.S. 310, 325–340，1988.

詳細情況，參見許志強老師的 樣條空間維數傳奇

在這個觀點下, 許多常用樣條空間的維數已經清楚, e.g.,

Hal Schenck, Splines on the Alfeld split of a simplex and type A root systems, Journal of Approximation Theory 182 (2014), 1–6.

計算 Bernstein-B'ezier form 和 minimal determining sets 的軟體 (Alfeld): http://www.math.utah.edu/~alfeld/MDS/

Floater-Hu 的主要結果是相應樣條空間的最高超光滑性可以由維數結果得到.

Remarks上面的討論主要針對頂點超光滑性. 邊的超光滑性通常可以類似處理. 但是還沒有一般討論.另一個角度: 考慮 Bernstein-B'ezier 基. 對於超過 

一般(特別是高維)樣條空間的維數和超光滑性 (高維 Strang conjecture),

向量和張量場, 上同調觀點:

上面的討論和結果主要針對標量函數空間 

在這個問題上有些零散的結果和觀察:

彈性復形: Arnold, Winther 2002 Num. Math. Christiansen, Hu 2019 arXiv.deRham complex: Fu, Guzm'an, Neilan 2018, Christiansen, Gopalakrishnan, Guzm'an, Hu 2020

光滑 deRham 復形: 第一個空間是高光滑性樣條, 最後兩個空間是流體有限元對 (Stokes pair). 前述奇異點分類同樣出現在 Scott-Vogelius 元的穩定性證明中. 樣條問題和向量/張量問題在上同調觀點下互相帶來啟示? 從任給一個光滑樣條出發, 能否構造序列餘下的部分?

能否由其他方法得到超光滑性. 反過來作為考慮樣條空間維數的工具。

相關焦點

  • 數學科學學院胡俊課題組在有限元方面取得突破性進展
    北京大學數學科學學院副教授、北京國際數學中心研究員胡俊及其課題組提出了一個理論上最直接、內蘊的設計彈性力學問題混合有限元方法的全新框架，取得突破性進展，解決了長達五十餘年的公開問題即彈性力學問題混合有限元方法。有限元方法是在求解彈性力學問題中發明的，主要用於工程中彈性結構的應力分析。
  • 有限元學習總結
    有限單元法在應用中，根據（          ）來推導單元特性和有限元方程。最常用的變分原理是：（       ）（            ）（         ）5.如果坐標變換是m，，位移插值函數是n，則等參元是（   ）（m,n關係），超參元：（   ）（m,n關係）通常（     ）（滿足/不滿足）完備性要求，次參元：（        ）（m,n關係）（     ）（滿足/不滿足）完備性要求23.
  • 淺說非線性及其有限元分析
    來源：有限元科技世界是非線性的。但是，人類對它的認識卻是從簡單的線性開始的。早在公元前500年左右，古希臘的畢達哥拉斯學派就發現了自然數是按照均勻的線性關係增加的。材料非線性的簡單分類：非線性彈性超彈性
  • 非線性及其有限元分析
    材料非線性的簡單分類：1、非線性彈性2、超彈性在實際工程中，產品結構設計常常會被優化，讓荷載接近材料強度，以充分利用材料性能，在這種情況下，為了準確地預測結構強度，有必要進行非線性有限元分析。下表簡要列出了線性和非線性有限元分析之間的主要不同。
  • 有限元分析的發展趨勢
    摘要：1965年「有限元」這個名詞第一次出現，到今天有限元在工程上得到廣泛應用，經歷了三十多年的發展歷史，理論和算法都已經日趨完善。　　關鍵詞：有限元分析結構計算結構設計　　近年來隨著計算機技術的普及和計算速度的不斷提高，有限元分析在工程設計和分析中得到了越來越廣泛的重視，已經成為解決複雜的工程分析計算問題的有效途徑，現在從汽車到太空梭幾乎所有的設計製造都已離不開有限元分析計算，其在機械製造、材料加工、航空航天、汽車、土木建築、電子電器，國防軍工，船舶，鐵道，石化，
  • 您知道有限元之父嗎？
    馮康的有限元思想集中體現在他的專著《彈性結構的數學理論》中。國際學術界也承認馮康對有限元法的重要貢獻，是有限元法的先輩之一。Zienkiewicz是提出有限元法的數位先驅之一，但是他更重要的貢獻是對有限元法的推廣和普及。
  • 有限元方法入門編程
    ，有限元，有限體積，邊界元等，它們本質上是用不同的方式取離散化微分方程。今天說一下有限元方法入門編程。  問題描述  我們有如下問題，要求解u(x)。理論部分如下，選定基函數，基函數屬于勒貝格空間(見附錄)，我們對目標微分方程兩邊乘以測試函數後分部積分，得到弱格式，最終得到一個線性系統，求解線性方程即可得到微分方程的近似解。
  • 軟體天地丨厲害了,三大有限元分析軟體集體亮相
    按照「立足深圳、面向全國，服務華南、港、澳、臺及東南亞地區」的服務目標，超算中心建成了強大的基礎設施，並部署了國內最多最全的高性能計算軟體，廣泛覆蓋了化學、生物、材料、工業仿真、流體計算、動漫渲染、氣象預報等多個學科，為穩定高性能計算生態鏈不斷完善設施。
  • 簡說：非線性及其有限元分析
    材料非線性的簡單分類：1、非線性彈性2、超彈性在實際工程中，產品結構設計常常會被優化，讓荷載接近材料強度，以充分利用材料性能，在這種情況下，為了準確地預測結構強度，有必要進行非線性有限元分析。下表簡要列出了線性和非線性有限元分析之間的主要不同。
  • 生態環境曲面建模需要外蘊量和內蘊量信息的有機結合
    外蘊量和內蘊量信息對於地球表層系統建模必不可少，與此同時，地球表層系統建模需要整合這兩種信息的適當方法。基於這一思路，嶽天祥團隊(2016)提出了地球表層系統建模基本定理及其關於空間插值、空間升尺度、空間降尺度、數據融合和模型-數據同化的推論。
  • 人體膝關節有限元模型建立及其有效性驗證
    由於傳統的運動生物力學測試方法，比如三維攝影、測力臺、肌電等無法探究關節內部的力學變化，近年來，越來越多的研究者選用有限元法來研究膝關節損傷的生物力學機制，尤其是在臨床骨科領域。目前報導的能夠重建出包括半月板、關節軟骨及所有韌帶在內的膝關節三維有限元模型的文獻還比較少。本文嘗試建立完整的膝關節三維有限元模型，並對其有效性加以驗證。
  • 11組有限元分析動態圖
    從20世紀60年代初克拉夫（Clough）教授首次提出結構力學計算有限元概念，有限元分析已經經過了五十多年的發展隨著計算機技術和計算方法的發展。有限元法在工程設計和科研領域得到了越來越廣泛的重視和應用，已經成為解決複雜工程分析計算問題的有效途徑，從汽車到太空梭幾乎所有的設計製造都已離不開有限元分析計算，其在醫學、機械製造、材料加工、航空航天、汽車、土木建築、電子電器、國防軍工、船舶、鐵道、石化、能源和科學研究等各個領域的廣泛使用已使設計水平發生了質的飛躍。
  • 玄冰科技有限元FEA諮詢
    FEA（有限元）分析是廣泛應用於產品的強度分析、結構優化、振動分析、衝擊分析、變形分析等方面，為產品的一次成功率和降成本提供了可靠的技術支撐。
  • 深圳Solidworks有限元分析培訓
    深圳Solidworks有限元分析培訓
  • 疲勞強度有限元分析
    先以理論知識進行計算、分析，然後在分析過程中藉助於ANSYS有限元分析軟體對此螺栓連接進行受力分析，以此驗證設計的合理性、可靠性。經過近幾十年的發展，有限元方法的理論更加完善，應用也更廣泛，已經成為設計，分析必不可少的有力工具。然後在其分析計算基礎上，對於螺栓連接這一類型的連接的疲勞強度設計所採取的一般公式進行分類，進一步在此之上總結。
  • 車架剛度及強度的有限元分析
    無法用傳統的計算方法實現對車架的精確計算，而隨著計算機技術發展所逐漸興起的有限元方法可有效地計算車架在各種工況下的響應。進而為後續設計提供有力的理論依據。有限元法的基本思想是將一個複雜的結構拆分成有限個單元，對這些單元分別進行分析。建立位移與內力之間的關係，以變分原理為工具，將微分方程化為代數方程，再將單元組裝成結構。形成整體結構的剛度方程後再進行計算。
  • 肱骨有限元模型建立及生物力學分析
    ，建立正常肱骨有限元模型，驗證模型的有效性並進行生物力學分析。近年來，隨著數字醫學發展，有限元方法在骨科研究中開始發揮重要作用。將計算機處理圖像三維重建與有限元方法相結合用於中醫正骨手法研究，可以將手法操作過程中的力學特徵進行數值化提取和分析，不但可能精確量化手法的作機制，也能作為一種客觀評價初學者是否完全掌握手法操作特徵的方式。
  • 4D列印纖維增強熱塑性複合材料的性能表徵和有限元分析
    為了解決以上問題，美國卡內基梅隆大學的研究者設計了一種由聚乳酸(PLA)和碳纖維增強聚乳酸(CFPLA)材料構成的複合結構，以提高4D列印產品的結構強度，並通過材料性能表徵，採用有限元分析方法實現了產品設計的精確模擬。
  • 沒玩過「有限元分析」,還敢說會3D設計?
    有限元分析作為一種數位化模擬技術，能夠有效解決複雜工程的分析計算問題，在機械製造、材料加工、航空航天、土木建築等領域得到廣泛應用。浩辰3D軟體也特別設置了有限元分析 (FEA) 工具，幫助企業在創新研發方面實現質的飛躍。
  • 生物醫療行業的有限元應用解決方案
    脊柱有限元分析關節有限元分析足部有限元分析脊柱生物力學仿真是有限元法在生物力學中研究的較早、分析得較多、也是臨床上應用較廣泛的領域。有限元在頸椎生物力學中的研究對象又可以細分為椎體、椎間盤、後部結構以及肌肉韌帶等軟組織。此外，內固定器械的生物力學研究，也有助於選擇正確手術方法，以取得極佳矯形和固定效果。