北京大學數學科學學院副教授、北京國際數學中心研究員胡俊及其課題組提出了一個理論上最直接、內蘊的設計彈性力學問題混合有限元方法的全新框架，取得突破性進展，解決了長達五十餘年的公開問題即彈性力學問題混合有限元方法。
有限元方法是在求解彈性力學問題中發明的，主要用於工程中彈性結構的應力分析。基於位移法的有限元應力分析是間接方法；基於Hellinger-Reissner變分原理的應力分析將應力和位移都作為獨立變量直接離散，可以更好得滿足平衡方程和應力邊界條件，避免閉鎖現象，而且可以得到更加精確的近似應力，是直接方法。從20世紀60年代開始，包括D.N.Arnold、Jim Douglas、Jr和混合有限元方法理論的奠基者F.Brezzi在內的很多國際著名數學家，一直在從事基於Hellinger-Reissner變分原理的彈性力學問題混合有限元的研究，做過很多嘗試，並提出了應力弱對稱的混合有限元方法；D.N.Arnold課題組基於數學上的彈性復形，首次得到應力嚴格對稱的穩定混合有限元。這些進展的部分結果分別是F.Brezzi在1986年世界數學家大會的四十五分鐘邀請報告和D.N.Arnold在2002年世界數學家大會的一小時邀請報告的主要內容之一。但其中的核心問題，即尋找應力嚴格（強）對稱、有最優收斂性的穩定混合元，一直未得到有效解決。
胡俊及其課題組基於他們自己獲得的分片多項式H（div）空間一個內蘊的結構和兩個基本代數結果，提出了一個設計彈性力學問題混合有限元的框架。這一框架與文獻中已有框架完全不同，其最突出的一點在於，基於它設計的混合元應力嚴格（強）對稱，應力與位移多項式次數匹配自然合理，有最優收斂性。其次，他們的算法和理論從二維、三維到任意維度都是統一的。此外，新的單元基函數極為簡單，對很多實用情形，在相同收斂階的前提下，單元應力自由度是文獻中已有單元應力自由度的二分之一甚至更少，因而非常容易實現。針對胡俊的研究成果，有限元方面的專家許進超教授評價其「解決了用於求解彈性力學方程組有限元方法的一個多年來懸而未決的基本問題，有很重要的理論價值與實際意義。許多世界一流的計算數學專家都為解決此問題做過努力，但胡俊最終得到了最優的算法及其完美的理論分析。」
背景資料：
胡俊一直致力於有限元方法的研究，經過十幾年堅持不懈的努力，取得了突破性進展。由於他的傑出工作，北京國際數學研究中心2014年特邀胡俊為訪問教授。他近日還被中國計算數學學會授予首屆「青年創新獎」，以表彰他對彈性力學方程組混合有限元方法所作出的奠基性貢獻。
胡俊曾於2004年獲得德國洪堡基金會的洪堡研究獎學金，於2006年獲得教育部全國百篇優秀博士學位論文。胡俊的研究得到了國家自然科學基金委重大研究計劃重點項目、創新群體、重點項目與面上項目以及教育部全國優秀博士論文專項項目的經費資助。
胡俊研究成果主要文獻：
1.Jun Hu, A new family of efficient conforming mixed finite elements on both rectangular and cuboid meshes for linear elasticity in the symmetric formulation, arXiv:1311.4718 v3[math.NA] (2013), to appear in SIAM J. Numer. Anal., 2015.
2.Jun Hu, Finite element approximations of symmetric tensors on simplicial grids in Rn: the higher order case, arXiv:1409.7744v2 [math.NA](2014), to appear in J. Comput. Math., 2015.
3.Jun Hu and Shangyou Zhang, A family of conforming mixed finite elements for linear elasticity on tetrahedral grids, Sci. China Math.,58(2015), pp. 297--307.
4.Jun Hu and Shangyou Zhang, Finite element approximations of symmetric tensors on simplicial grids in Rn: the lower order case, arXiv: 1412.0216v2 [math.NA], 2014.
編輯：江南