物理學家揭開數學中的虛幻模式,隨機遊走?

2021-01-10 博科園

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從貝殼的斐波那契螺旋到晶體的周期性，自然界和數學中隨處可見這種呈規則的模式。但數學中的一些問題有時會「欺騙」我們，比如讓我們在求解時看到一個模式，但突然間這個模式又消失了。這種虛幻的模式出現在數學的許多領域，比如說出現在某些積分中，即便是最優秀的數學家也可能受到這些積分的「欺騙」。

在一項新的研究中，兩位物理學家利用物理學中的隨機遊動（隨機漫步）概念來研究這些積分。通常來說，解決這類積分通常需要付出大量的計算和獨創性，但物理學家證明，新的方法可以很直觀地找到解，有時甚至不需要用到顯式計算。在近一期的《物理評論快報》上，物理學家Satya N. Majumdar和Emmanuel Trizac發表了一篇描述如何利用隨機遊動來求解積分的論文。

Trizac說：「我們已經證明，物理學的洞察力能讓我們以一種無需計算的方式獲取大量有趣的積分，而且還能獲得一些之前未知的恆等式。我們的研究表明，當數學直覺受到欺騙時，物理直覺或許能挽救局面。」

Borwein積分中的模式

研究人員所討論的積分是「Borwein積分」，這是以David Borwein和Jonathan Borwein父子的名字命名的，2001年，他們二人注意到這種積分中存在不同尋常的模式。Borwein積分中涉及到在光學、信號處理等領域都有著廣泛應用的sinc函數（辛格函數）的乘積。這兩個特殊的積分可用來計算超立方體的體積。

求解Borwein積分的過程需要用數字來替換掉變量n，每個數字都會給出一個不同的解值，數學家可以觀察這些解值中的模式。例如，對於第一個積分In來說，當代入的數字 n = 1 ~ 7時，那麼每次得到的結果In都等於π；但是當代入的數字變成n = 8時，In的結果就會稍稍小於π，大約是π-10。當數學家第一次在計算機上算得這個數值時，他們以為是計算軟體中出現了bug。但隨後的解讓他們證實了這個數值的正確性，因為當n = 9,10…時，得到的解變得越來越小。

Borwein積分。圖片：Majumdar and Trizac有些積分的模式可以持續更長的時間，比如第二這樣的積分是Jn，這一序列的前56項（通過代入用數字n=1~56所得）都是π/2，但到了第57項，Jn的結果就成了約為π/2-10，隨後的項變得越來越小。還有更極端的例子，Borwein積分還有一種變體的前10項都能維持常數值模式，在這之後模式才開始崩潰。

數學家可以從數學的角度解釋為什麼模式會突然中斷。In和Jn這兩個Borwein積分都包含函數sinc(ank)，其中an= 1/(2n-1)。如果你用數字n=1,2,3, …代入式子中，就會得到序列1,1/3,1/5,1/7,1/9, …Borwein父子注意到第一項——1，不僅僅是比所有其他項都更大，它甚至大於接下來這幾項之和，確切地說，1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/13 = 0.955…小於1。但是當把加入第8項1/15時，和的答案變成了1.02，剛好大於1。事實證明，這並非巧合，第7項也是最後一項得出積分結果為π的項，而第8項是就是模式開始崩壞的點。

Borwein二人證明了一個定理（如下圖）。這個定理對第二個積分Jn同樣適用。根據性質cos(a)sinc(a) = sinc(2a)，Jn中的cos函數可以改為2/(2n-1)，所以第一項是2而不是1。由於式子中的第2項到第56項的和小於2，但是加上第57項就會大於2，因此定理成立。

Borwein二人證明的定理。圖片：Majumdar and Trizac隨機遊走

雖然這個定理有助於解釋Borwein積分中模式的暫時性中斷，但關於為什麼這個定理在根本上成立卻仍不能完全解釋清楚。在這篇新論文中，Majumdar和Trizac將這一定理與概率論和統計力學中一些的概念聯繫了起來，為該定理提供了一些物理直覺。他們注意到定理中的積分與均等概率分布有密切的關係。均等概率分布在科學中具有廣泛的應用，具體說來，均勻概率分布的傅立葉變換恰好是sinc函數，能給出n = 1時的Borwein積分。

這種關係將Borwein積分與物理世界連接了起來，因此通過使用相關的參數，遵循均等分布的事件可以用以模擬Borwein積分的解的序列。為了在更物理的背景中描述這種聯繫，研究人員觀察了隨機漫步者。隨機漫步者是一種抽象的物體，它可以向任何方向移動一定的距離，確切的距離是從一個連續取值區間中隨機選取的，並且每一個值被選取的概率都是相等的（即服從均等分布）。

隨機漫步者可以精確地模擬各種隨機現象，比如股市價格、動物覓食時候的路徑，以及氣體中的分子路徑，這三個例子分別出現在一維、二維或三維空間中。在這篇新的論文中，物理學家展示了用無窮多個隨機漫步者的運動可以模擬Borwein積分中模式的出現和消失。首先，在一個一維的數軸上，隨機漫步者在都從0點開始，每個漫步者的第一步可以向左或向右隨機移動最多不超過一個單位的距離。

第二步，每個漫步者可以隨機移動不超過1/3個單位的距離，然後第三步、第四步、第五步分別以不超過1/5、1/7、1/9個單位的距離隨機移動，以此類推。也就是說，每個可以行走的連續步長對應於表達式1/(2n-1)的值。那麼關鍵的問題是，在每一步之後，還在起點（原點）的隨機漫步者的比例是多少？結果表明，漫步者在第n步時在原點的比例（更準確地說是概率密度）對應於使用相同n值得到的Borwein積分的解。

按照物理學家的解釋，對於最先的7步來說，漫步者最終留在原點的概率密度總是1/2，它對應於上述定理中等於π的積分值。其中的關鍵概念是，到目前為止，在0點的漫步者的密度與整個數軸上均勻地分布著漫步者是一樣的。在現實中，由於每一步的最大距離是受限的，因此只有部分數軸是可訪問的，也就是說漫步者的世界是有限的。

隨機遊走xn經過n=1，n=2，n=3步後的概率密度函數，這裡步長分別為為a=1, a=1/3，a=1/5，原點出的密度是不變的，等於1/2，這意味著積分I=l=I=π。然而，對於最初的7步來說，在原點的漫步者會感知的是他們的世界是無限的，因為他們沒有任何關於邊界存在的信息告訴它們世界是有限的。這是因為抵達了邊界外（即在第一步之後為+1或-1）的漫步者是無法在7步之內返回到起點的，即使它們每一步走的都是所允許範圍內的最大距離，並且都是朝著起點方向行走。也就是說，這些漫步者在第8步之前出現在起點的概率為0，所以它們不會影響隨機漫步者在起始點的比例。

因此對於最初的7步來說，漫步者在原點的密度被固定在1/2,，就像是受到了「保護」一樣。但是一旦那些抵達過+1或-1的漫步者回到原點，情況就會發生改變。在第8步之後，漫步者中的其中一些是有可能會回到起點的。現在，這些漫步者將扮演著「信使」的角色，它們回到起點，揭示了邊界的存在，告訴了原點上的其他漫步者它們的世界是有限的，因此影響了原點上漫步者的密度。

由於一些信使漫步者回到了起點，很明顯那麼還有其他一些抵達了邊界的漫步者沒有回到起點，而是朝更遠的地方繼續移動了。因此，概率分布變得更加分散，導致一部分在原點的漫步者逐漸侵蝕1/2（或者說π的積分）。正是這種侵蝕作用解釋了為什麼當n≥8時，第一個Borwein積分的值會略有下降。這一結論也適用於第二個Borwein積分。通過將Borwein積分與隨機漫步者的概率聯繫起來，新的結果提供了一種完全不同於直接計算的方法來求解這些積分。

除了在這裡描述的兩個積分外，這種方法還可以應用於許多其他積分，甚至能擴展到更高的維度上。研究人員認為，這種方法有潛力為許多難以計算的積分提供無需計算的解決方案。Trizac說：「隨機遊走問題及其無限分支構成了現代物理學的基石之一，它在物理、化學、生物、工程等領域都有著廣泛的應用。由於我們對積分的推導涉及到隨機遊走理論中的基本概念，我們期望在不久的將來，這種思想也可以推導出新的恆等式和積分，並應用於現實世界。」

博科園｜文：Lisa Zyga轉自：原理/principia1687博科園｜科學、科技、科研、科普

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