由物理學思想解釋的數學虛幻模式

隨機步行者在第八時間步數（N = 8，未顯示）時的概率密度的&34;提供了一些物理直覺，即為什麼某些 Borwein 積分中的模式會在同一點突然斷裂。

從貝殼的斐波那契螺旋到晶體的周期性，模式在整個自然和數學中廣泛出現。但是某些數學問題有時會誘使人類解算器看到一個模式，但是，突然，這個模式突然消失了。這些虛幻的模式出現在數學的許多領域，其中一個例子來自某些微積分積分，這些積分欺騙了甚至最好的數學家的直覺。

現在，在一項新的研究中，兩位物理學家使用隨機行走的物理概念接近這些積分。雖然解決這些積分通常需要付出大量的努力和獨創性，物理學家已經表明，新方法可以直觀地找到解決方案，有時甚至不需要明確的計算。

法國巴黎蘇德大學的物理學家薩蒂亞·馬朱姆達爾和伊曼紐爾·裡薩克在最近一期的《物理評論快報》上發表了一篇關於使用隨機步行者解決積分的論文。

Trizac告訴Phys.org：&34;我們的工作表明，當數學直覺被欺騙時，物理直覺可能會拯救一天。

博爾溫積分中的模式

有關積分（見圖）是&34;，以大衛和喬納森·博溫（父親和兒子）的名字命名，他們在2001年注意到了這些積分中的異常模式。Borwein 積分涉及 sinc（卡納爾正弦）函數的的產品，該函數具有廣泛的應用，例如光學、信號處理和其他領域。這兩個特殊積分可用於計算超立方體的體積。

求解 Borwein 積分涉及在變量 n 中替換數字。每個數字都給出了不同的解值，允許數學家觀察生成的值序列中的模式。例如，對於第一個積分（In），當您替換數字n = 1-7 時，您每次都會得到答案 。但是， 當你到達n = 8 時， 答案曾經略低於 = （大致 = = 10-10).數學家第一次在計算機上計算此值時，他們認為軟體中一定存在錯誤。但答案得到了確認， 隨後的術語 （對於n = 9， 10 等） 越來越小。

某些模式的持久甚至更長。對於第二個積分，Jn，序列的前 56 個術語（通過替換數字 1 到 56 表示n獲得）都是 +/2。但57th術語約為 +/2×10-110，後續條款繼續減少。（事情可能會變得更加極端：對於 Borwein 積分的一個變體（此處未討論），一個恆定的值模式適合驚人的前 10 個176序列的術語，之後模式最終中斷。

數學家可以解釋為什麼這些模式突然斷裂，至少在數學方面是這樣。請注意，上面的兩個 Borwein 積分都包含函數 sinc（ank），其中n= 1/（2n=1）。如果你用數字1、2、3代替...對於n在此表達式中，您將獲得序列 1、1/3、1/5、1/7、1/9、 . .Borweins人注意到，第一個術語1不僅大於所有其他術語，而且甚至比接下來的幾個術語的總和還大——確切地說，第二個到第七個術語的總和，即1/3 = 1/5 = 1/7 = 1/9 = 1/11 = 1/13 = 0.955...但是，當將第八個術語1/15添加到此總和時，答案是1.02...，所以略高於1。事實證明，第七個術語是積分計算為 + 的最後一個術語，而第八個術語是模式中斷的點，這並非巧合。

Borweins證明了一個定理（見圖），用更籠統的術語來概括這一觀點。第二個積分 J 的定理n， 以及。J 中的餘弦函數的核算n將上面的表達式更改為 2/（2n=1），由於屬性 cos（a）sinc（a） = sinc（2a），因此第一個術語為 2 而不是 1。作為第二個到 56 的總和th表達式的術語小於 2，但添加 57th術語將總和推過 2，定理持有。

隨機步行者

雖然定理有助於解釋 Borwein 積分的臨時模式何時斷裂，但還不完全清楚為什麼定理首先成立。

在這份新論文中，Majumdar和Trizac通過將定理與概率理論和統計力學中一些廣為人知的概念連接，為定理提供了一些物理直覺。他們注意到，定理中的積分與統一概率分布有著密切的聯繫，這種分布在整個科學中被廣泛使用。具體來說，統一概率分布的 Fourier 變換恰好只是 sinc 函數，它產生 n = 1 的Borwein積分。此連接將 Borwein 積分與物理世界連接，因此通過使用相關參數，可以使用遵循均勻分布的事件來建模 Borwein 積分的解決方案序列。

為了在更物理的語境中描述這種聯繫，研究人員觀察了隨機步行者。隨機步行者是一個抽象對象，它可以在任何方向上移動一定距離，其中精確距離是從連續的值間隔中隨機選擇的，並且每個值都同樣可能被選中（即，它遵循一個均勻的分布）。隨機步行者可以準確地模擬各種隨機現象，如股票市場價格、覓食動物路徑和氣體中分子的路徑，這些現象分別發生在一維、二、三維中。

在這份新論文中，物理學家們表明，無限多隨機步行者的運動可以用來模擬博維恩積分中模式的出現和消失。首先，隨機步行者都從一維數字線上的點零開始。對於第一步，允許每個步行者移動最多 1 個單位的隨機距離，無論是左或右。對於第二步，每個步行者可以移動高達 1/3 的隨機距離，然後隨機距離高達 1/5，然後 1/7，1/9 等。也就是說，每個連續允許的步進距離對應於表達式 1/（2n=1）的下一個值。

主要問題是，每次時間步數後，起點（原點）的隨機步行者的分數是多少？事實證明，步行者在每個時間步長 n 的原點的分數（更確切地是概率密度）對應於使用相同 n 值的 Borwein 積分的解。

正如物理學家所解釋的，在前七個步驟中，步行者最終在原點的概率密度始終為1/2，通過上面的定理，概率密度對應於 +的積分值。關鍵的想法是，到現在，步行者在原點密度是相同的，如果整個數字線是統一填充步行者。實際上，由於每個步驟的最大距離受到限制，因此只有部分數字線是可訪問的，即步行者的世界是有限的。

然而，在頭七個步驟中，起源處的步行者認為他們的世界是無限的，因為他們不掌握任何關於邊界存在的信息，這將表明世界是有限的。這是因為，到達其世界外部邊界的步行者（第一步後+1 或 -1）都無法在不到七個步驟內返回起點，即使採取允許的最大尺寸步驟，並且全部朝著起點的方向前進。由於這些步行者在第八步前的起點出現的概率為零，因此它們不會影響起點上隨機步行者的分數。因此，在頭七個步驟中，在原點步行者的密度固定在 1/2（它是&34;）。

但是，一旦那些已經達到+1或-1的步行者回到原點，情況就改變了。第八步之後，這些步行者中有些人有可能回到起點。現在，這些步行者充當&34;，因為他們回到起點揭示了邊界的存在，告訴起源處的其他步行者，他們的世界是有限的，因此影響步行者在起源的密度。

由於這些信使步行者回到了起點，很明顯，其他一些邊界接觸的步行者沒有回來，而是可能繼續繼續往更遠的地方移動。因此，概率分布變得更加分散，導致原點步行者的分數逐漸從 1/2（或 α 表示積分）侵蝕。正是這種侵蝕解釋了為什麼第一個 Borwein 積分的值在 n = 8 中會如此輕微地下降。對於第二個 Borwein 積分，也有類似的論據（參見視頻）。

通過將 Borwein 積分與隨機步行者的概率連接，新結果提供了一種與直接計算完全不同的方法來求解這些積分。物理學家們表明，除了此處描述的兩個積分外，同樣的方法也適用於許多其他積分，包括向更高維度的擴展。研究人員預計，這種方法有可能為許多其他難以解決的積分提供無計算的解決方案。

Trizac 說：&34;由於我們對有趣積分的推導涉及隨機走走理論的基本概念，我們預計在不久的將來，使用我們的關鍵理念，可能會使用我們的關鍵思想來推導出新的標識和積分，以及具有實際應用的應用。