數學家解決了一個數學中著名的長期未解決的隨機遊走問題

2021-01-10 量子認知

我們有些人喜歡在樹林中隨意漫步，而另一些人則可能任意漫步在自己附近的小區周圍。在數學世界中，隨機遊走實際上比這還要更隨機與任意，這就如通過擲硬幣來決定每一漫步的方向。

隨機遊走（英語：Random Walk，縮寫為 RW），是一種數學統計模型，它是一連串的軌跡所組成，其中每一次都是隨機的。它能用來表示不規則的變動形式，如同一個人酒後亂步所形成的隨機過程記錄。1905年，由卡爾·皮爾遜首次提出。

隨機遊走理論的思想和原理已在許多學科領域中運用。生物學家可以使用隨機行走來模擬動物的活動和行為方式。物理學家使用它來描述和模擬粒子的行為。機器學習使用它來模擬人的智能。在金融經濟學家 通過「隨機遊走假說」用於建模股價和其他經濟因素。心理學家通過隨機遊走可以準確解釋做出決定所需的時間與做出某決定的可能性之間的關係。在線社交網絡利用隨機遊走來採樣大量的數據在線圖，等等。

某些隨機遊走的行為可能會根據其走過的地方而定，這稱為與路徑相關。其他人似乎無視他們的「過去」，最終與歷史不同的其他道路融合。

加州理工學院的數學家們最近解決了一個多年來未解決的隨機遊走問題。該研究團隊確定了一個關鍵的幾何構想，該構想將一些隨機遊走結合在一起，並將其它行走分開。他們的研究成果發表在最近的《數學年刊》上。《數學年刊》（Annals of Mathematics）是由普林斯頓大學和普林斯頓高等研究院所辦的著名數學刊物。

研究人員以概率論和遍歷論為紐帶研究經濟學和數學，這是一種漸進和融合的方法，今年的著名的數學獎——阿貝爾獎頒發給了在這一領域取得開拓型成果的數學家。遍歷理論（英語：Ergodic theory）是研究具有不變測度的動力系統及其相關問題的一個數學分支，研究遍歷變換，由試圖證明統計物理中的遍歷假設而來。

研究人員說，「對於一個隨機的過程，從長遠來看，是否真的會洗掉一切，不管發生了什麼事，無論發生什麼，都會發生什麼？或者是對過去發生的事情有記憶嗎？」「假設有兩個社會，其中一個社會取得了一些技術進步，而另一個社會遭受了自然災害。這些差異會永遠持續下去，還是會最終消失？或一旦有了優勢我們會忘記會忘記嗎？在隨機遊走中，早已知道有些組具有某些記憶，而其它組的記憶會被擦除，但是目前尚不清楚哪些組具有記憶，哪些組不具有記憶，也就是說，什麼使一個組具有內存記憶，這就是我們想要解決的問題。」

換句話說，為什麼有些隨機遊走恢復為均值，而另一些則沒有？當使用隨機遊走的想法進行編程時，可以簡單地在限制或參數中編碼以確保路徑收斂或不收斂。從純理論上講，這個問題很難解釋。

該研究團隊探索並找到了這一長期難題的解決方案的秘密是在於描述隨機遊走時將代數思想和幾何思想結合在一起，並通過使用這種聯繫進行研究。研究人員發現，基於矢量幾何的滿足特定條件的隨機遊走可以與其它相融合。

研究人員想像在具有不同尺寸和幾何形狀的空間中隨機行走。在這項新研究中，該研究團隊設想在「組」上隨機行走，「組」是具有不同幾何形狀的物體。對於某些群體，隨機遊走最終將在經過許多時間後收斂到特定方向。在這種情況下，步行被認為是依賴於路徑的，這意味著一開始發生的事情會影響結果。或者，換句話說，在步行的早期發生的事情會影響其結束的位置。但是對於其他群體來說，步行的方向並沒有收斂，他們的歷史也不會影響他們的未來。

研究人員說，解決方案與尋找「描述各組代數性質的幾何方法」有關。重要的是，可以用幾何方式描述圓，作為到一個點的給定距離處的所有點的集合，也可以用代數方程式描述。在隨機遊走問題的情況下，找到了一種新的方式來思考所研究的群體的幾何和代數性質之間的聯繫。

研究人員指出：「一旦弄清了這種聯繫，解決問題的容易程度實際上使我們感到震驚。」 「最後，我們很高興解決了一個長期存在的數學難題。」研究人員解釋說，他們對這個數學問題的總體認識實際上是從以前的難題中獲得的，而這個難題要難得多。「我們已經為此花了幾個月的力氣，無法取得任何進展，但是後來，突然有了這個如夢初醒的想法，不僅適用於當時的工作，還適用於其它的工作。當意識到「哦，我的天哪，原來如此」時，感覺真的挺好。

參考：Frisch et al. Choquet-Deny groups and the infinite conjugacy class property, Annals of Mathematics. DOI: 10.4007/annals.2019.190.1.5

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