俄羅斯的的數學家最近證明了，一種與非線性隨機偏微分方程有關的泛函微分不等式沒有解，這種不等式與描述表面生長時出現的卡達爾–帕裡西–張（Kardar-Parisi-Zhang，簡稱KPZ）型方程相關。所獲得的研究成果將有助於聚合物的生長、神經網絡理論和化學反應等領域的研究。該文章發表在最近的《 復變量和橢圓方程》（Complex Variables and Elliptic Equations）國際學術刊物上 。
微分不等式這一研究成果從獨特的角度出發，研究了在反應擴散過程、神經網絡和非局部相變的描述中出現的具有擬線性KPZ型項和非局部卷積項的橢圓和拋物線二階不等式，找到了缺乏其整體解決方案的充分條件，即其整體可解性的必要條件。
聚合物的反應擴散生長在數學和物理學中，非線性偏微分方程指具有非線性項的偏微分方程，描述從重力到流體動力學的許多不同的物理系統，所以廣泛應用於各種科學領域中，如固體力學、流體力學、聲學、非線性光學、等離子物理學、量子場論等學科。
非線性偏微分方程在數學中也用於解決如龐加萊猜想和卡拉比猜想等問題。它們很難研究：幾乎沒有適用於所有此類方程式的通用解法，通常每個單獨的方程式都必須作為一個單獨的問題進行研究。
在數學中，卡達爾–帕裡西–張方程是非線性隨機偏微分方程，由卡達爾、帕裡西、張義成於1986年提出。張義成（Yi-Cheng Zhang）是瑞士弗裡堡大學（Université de Fribourg）的數學家。
卡達爾–帕裡西–張方程圖解非線性偏微分方程的主要困難是其中許多方程無法精確求解。出於實際目的，對這些方程只好進行數值求解，其解的存在性和唯一性成為科學家數十年來（有的甚至是數百年來）一直在努力解決的問題。 其中一個著名的問題是納維-斯託克斯（Navier-Stokes）的存在性和平滑性，已被包括在著名的7個千禧年大獎難題中的一個，美國克雷數學研究所提供了100萬美元的獎金來解決這類問題。
納維-斯託克斯方程任何偏微分方程都定義在某個區域內，例如，在平面上、在球體內或在空間中。通常，可以在一個點的較小鄰域中找到此類方程的解，即局部解。但是，對於整個區域是否存在全局解決方案以及如何找到它，可能尚不清楚。
非線性偏微分方程的另一個問題是它們的解可能「爆炸」，也就是說，在有限的時間間隔上突然開始趨於無窮大。如果發生這種情況，則意味著沒有一般解。反之亦然，如果不存在一般解，則意味著找到的任何局部解也會在某個地方產生「崩潰」。 因此，尋找沒有一般解的條件很重要。
數學家在嘗試解決此問題時會使用微分不等式。該方法的本質是可以從原始偏微分方程中獲得比原始方程「強」的非嚴格不等式。然後，如果函數不滿足這些不等式，則絕對不是原始方程式的一般解 。
俄羅斯的數學家使用了不等式的方法，將現有定理推廣到了研究KPZ型方程式時出現的擬線性情況。獲得的條件不僅限制了KPZ型方程的可能解集，而且對於解決實際出現的問題也是必需的。 特別地，這些結果有助於解決在對聚合物的行為進行建模時表面生長的問題，並且還可以用於神經網絡理論。
這種不等式方法從理論上預測了KPZ型方程描述的物理系統的不連續行為。這將使得可以得出關於這些系統的物理性質的結論。同樣，此方法可以解決局部解決方案的可擴展性問題。當計算方法不再充足時，這種方法就變得很有必要。類似的問題也出現在如城市交通流量理論、具有擴散的化學反應以及相變等建模中。
近年來，關於非線性問題無通用解的理論研究得到了進一步發展。 這一研究成果延續了這一趨勢。不存在通用解的條件不僅在數學理論上很有趣，而且因為它們將幫助科學家研究大量應用問題。可以相信，在不久的將來，這一數學研究結果將在應用數學物理學中找到許多應用。
參考資料：A. B. Muravnik. 「On absence of global solutions of quasilinear differential-convolutional inequalities」. Complex Variables and Elliptic Equations. 2019