純數學陷入危機?應該如何解決?

2020-12-05 博科園
博科園：本文為數學類

證明是數學的精髓。任何數學結果都應按照嚴格的邏輯從第一原理推導得出。證明是將數學與其他智力活動區分開來的東西，他也是數學之所以優美並純粹的原因。最近，帝國理工學院的純數學教授Kevin Buzzard在劍橋舉辦的一次研討會上表示，證明是一種很高的標準，它被兢兢業業地應用到了本科的數學課程中，卻沒有應用到更高層次的數學研究中。

有些證明是存在漏洞的，有些證明是有錯誤的，還有些證明在全世界只有一兩個人能理解。即使是發表在學術期刊上的東西，也不一定都正確。想要確切地知道哪些結果是可信賴的，你得成為一個能接近那些達成了共識的專家的圈內人。Buzzard說：「事情有些失控。」

Buzzard自己就是這樣一位專家，從1998年以來，他就是一名專業的數學研究人員。在博士期間，他研究與費馬大定理的證明有關的一些數學。不過最近幾年，對學術界中的數學證明標準的擔憂，悄然襲上了他的心頭。他說，這種擔憂或許部分源於他的數學中年危機，這讓他重新審視在自己選擇的職業生涯內，事物是如何運作的。

問題是什麼？

數學研究中的問題通常不在於有意地欺騙，而是源於一些其他的狀況。比如說，一些數學家有時會在自己的工作中引用尚未發表的論文，因為他們非常確信這些未被發表的結果是正確的，並認定它們會很快地通過同行評審然後得以發表在學術期刊上，這種情況並不少見。然而，有時這些未發表的結果確實永遠不會出現在期刊上。那麼當越來越多的工作建立在這些未經檢驗的結果之上時，未經檢驗這一事實就可能被遺忘和掩蓋。

這樣的事情就曾發生在數學家James Arthur的一篇著名的專著之上，它依賴於他的四篇還未經發表的論文。人們能意識到了這些證明中可能存在某些漏洞，卻又會一致認為它們可能大概率沒問題。最近，由於對數學作出的諸多貢獻，Authur被授予了幾個重要的獎項，雖然這些獎項實至名歸，卻也加深了人們認為Authur的結果就100%正確的印象。

另一個問題是錯誤。每個人都會犯錯，而有的時候，這些錯誤甚至會逃過決定論文是否發表的專家評審的法眼。因為評審們並不總是會逐行檢驗結果，他們的目標是說服自己，論文中使用的方法足以證明主要的結果。如果在論文發表後發現了明顯的錯誤，沒有哪個自重的數學家會拒絕承認自己的錯誤。但錯誤的更正或論文的撤回都只是作為一個「更正」或者「編輯說明」出現在下一期的期刊上。有多少人會讀到這些呢？專業領域內的同行當然會知道，但其他人並不會。

有些證明又長又複雜，只有全世界的少數人能理解，這或許是錯誤或漏洞最主要的來源。一個著名的例子是所謂的有限單群分類，也就是對無限多個數學對象中的每一個進行分類，這是二十世紀數學領域的一大成就。證明這個分類正確且完備的第一版證明發布於1983年，證明長度超過了10000頁，分布在500個期刊論文中，由100多個作者完成。結果人們發現，這個證明之中存在一個問題，修正這個問題就又花了9年的時間外加一篇超過1000頁的論文。

基於第一版證明的巨大複雜性，論文的主要作者承諾會給出一個「更簡單」的第二個版證明，他們計劃分12卷出版。然而截至2019年，只有其中7卷已問世。最終能夠完全理解整個證明的很可能只有極少數人，而那時候他們也已經不再年輕。雖然數學家一致認為，有限單群分類確實是完備的，並且認為只要有人願意在大量的文獻中搜尋線索，最終就應該能夠拼湊出完整的證明——但是多少人有這樣的時間和這樣的頭腦去這樣做呢？

解決方案是什麼？

Buzzard認為，這類問題已經嚴重破壞了純數學，甚至讓純數學陷入危機。但要如何才能化解這場危機？數學是一門創造性的學科，而不是程序性的；而且數學家是人，他們喜歡分組工作，而不希望深陷在細節的泥潭裡。因此，要求他們始終堅持預設的程序就是要求他們像機器一樣工作。但是Buzzard認為，這正是問題的癥結所在：我們不需要數學家像機器一樣工作，而是可以要他們去使用機器。計算機科學家和數學家是兩個相關聯的群體，但他們有著本質的區別：計算機科學家修復錯誤，而數學家則忽略錯誤。

一些計算機科學家經常遊走於數學家之間，他們開發出了一些定理證明軟體，例如LEAN和Isabelle。這些軟體並不能神奇般地為那些困擾了人們數個世紀的難題找到一個證明，這類問題仍需要人類數學家來解決題，但它們可以幫助我們檢驗數學家的證明是否正確。如果給出一個用代碼表達的證明，軟體會根據之前的結果和數學公理檢驗所有的邏輯步驟是否正確。如果出現錯誤，機器就會發出信號告訴我們；如果之前在證明中留有漏洞，機器也不會放任我們忘記。

Buzzard說，計算機科學家可能因此會認為，一個結果只有經過了定理證明軟體的正式檢驗之後，才能算是被證明了。這就意味著，對計算機科學家來說，數學領域的許多重大成果，包括費馬大定理或有限單群分類，仍然可以被檢驗得更加仔細。Buzzard深知，要把數學證明轉化成軟體可以理解的代碼需要付出巨大的努力，以費馬大定理為例，它的花費估計需要1億英鎊。儘管如此，但Buzzard認為，我們至少可以培養初露頭角的數學家去接受這種方式。他在帝國理工學院的本科生們就在學習如何使用定理證明軟體，他還會鼓勵學生將機器證明應用到結果當中。

如果數學家養成了這樣做的習慣，同時還有其他人開始正式檢驗那些已有的證明結果，那麼數學就可以被帶回到正確的軌道上。不過有些人擔憂，在數學證明中使用計算機會導致人們喪失對證明的真正理解：如果計算機做了我們的工作，如果它們以一種我們人類較低級的數據處理能力無法跟進的方式來證明，那麼我們就不能聲稱自己理解最終的結果了。

但Buzzard並不是在提倡使用機器學習中的那種黑箱算法。他是想將證明轉換成電腦程式可理解的代碼，以便證明過程可以得到非常可靠的檢驗，而不是要讓證明變得無法理解。我們當然無法保證這些程序絕不會出錯，但它們的錯誤比人類少多了。在Buzzard看來，這麼做不會讓數學失去任何東西，只會獲得。

博科園-科學科普｜文: M. Freiberger轉自: 原理/principia1687博科園-傳遞宇宙科學之美

博科園-請看更多精彩內容：

見過指南針，但你見過「指西針」嗎？指西羅盤誕生啦

奇異粒子再次出現！向麥克老人五呼夸克

6600萬年前的隕石撞擊，為恐龍的滅絕奠定了基礎！

相關焦點

  • 「第一次數學危機」是如何引發的
    這個不可通約量的發現和芝諾悖論一起引發了「第一次數學危機」。　 希帕索斯正是因為這一數學發現，而被畢達哥拉斯學派的人投進了大海，處以「淹死」的懲罰。因為他竟然在宇宙間搞出了這樣一個東西來否定畢達哥拉斯學派的信條：宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比。　 畢達哥拉斯學派是古希臘最古老的哲學學派之一。據說這個學派有兩條最能概括他們思想特色的格言：「什麼最智慧？
  • 人類歷史上三次數學危機是如何破解的?第三次危機直到今天仍沒解決!
    在90後的小學印象中，語文和數學是並重的學科。前者是生活必備的語言，後者是邏輯基礎的工具。我們或許並不知道數的概念從什麼時候開始的。我們甚至不知道數學起源於文明的崛起還是人類意識中感性經驗自帶的邏輯基礎。結繩計數是考證最早人類有關數學工具的應用。這是一種多麼簡潔明了的數學表達形式。人類從一開始總是對自然世界抱有古樸的觀念。
  • 解決了數學危機,卻被逼瘋死在精神病院
    在上篇文章中，我們說到由柯西與康託爾為代表的數學家們，通過建立起了嚴謹的極限理論，和實數理論成功解決第二次數學危機。（傳送門：互掐了半輩子的兩個數學巨頭，到最後連單身問題都沒解決）就當大家覺得總算可以消停會時，第三次危機又來了！
  • 「數學危機」和「音樂」有聯繫?
    讀研究生時有門課程叫《高等工程數學》，老師的姓名至今我還記得，他上課特別有意思，枯燥的數學課總能逗得大家哈哈大笑，第一節課老師講了三次數學危機、得了諾貝爾獎的數學家。讓我這個總逃課的人深深地記住了他。 數學危機什麼是數學危機，就是數學發展中出現了現有的基礎理論無法解決甚至推翻了現有基礎理論的現象。
  • 第三次數學危機
    康託爾曾經證明過不存在最大的基數，羅素對此有些疑惑，認為以世界上所有的集合為元素構成的集合應該是最大的（因而具有最大基數），這樣他就發覺其中有些矛盾，開始的時候他也覺得這件事也許沒什麼大不了的，也許是在什麼地方繞住了，但是他左思右想仍無法繞過來，結果產生了著名的羅素悖論，引起了關於數學基礎的新的爭論，從而造成了數學史上更為嚴重的關於數學基礎的第三次危機。
  • 無理數與數學危機
    正以「純手工」方式撰寫一篇有關無理數的哲學分析文章。對主體性效應和伴隨性效應的對應性等效關係或等效性對應關係的思索還意猶未盡，有話要說。任何一個事件的發生既對事件的主體產生了作用，這是事件的主體效應，也對事件的「次體」產生了作用，這是事件的伴隨效應。
  • 第三次數學危機是什麼
    第三次數學危機，首先要從一個數學加羅素開始
  • 三次數學危機如何破解?第三次危機遺留至今,暫無完美方案
    因為你在追烏龜的時候總是要先追上烏龜行進路程的一半，當你追上這一半時，烏龜又前進了一部分，你又得追上新路程的一半，至此你將陷入到烏龜路程一半的漩渦中無法逃脫。可是這樣的結果卻與事實大相逕庭。對線段的無窮二分勢必需要無窮的時間，而運動員的時間是有限的，我們不能在有限的時間內做出無限多的事情，那麼在追擊烏龜時，就不會陷入到烏龜路程的一半的邏輯漏洞中。對無理數和無窮概念的研究和拓展成功的化解了第一次數學危機，人類開始探究新的數學領域。就這樣整個數學基廈安穩的度過了2000餘年，直到牛頓。
  • 集合論的漏洞:所有自然數和羅素悖論,第三次數學危機持續至今
    與初中數學相比，高中數學有一個巨大的斷裂層，學生會感到難以接觸剛開始。第一次接觸是設定的，這是學生開始看數學奧秘。集合的概念並不難，他是把一堆元素放在一起形成一個整體。高中教授的設置相對簡單，事實上集合已經滲透到了數學的大部分分支。
  • √2與第一次數學危機
    √２與第一次數學危機每一次危機都是進步，數學如此，人類如此！第一個無理數啥，數學發展史上還有危機？什麼危機，難道是沒有人學數學了？當然不是，而是數學發展在當時遇到了挑戰，當時人們的認知水平沒有達到而引起的衝擊。
  • 集合論的漏洞:全體自然數和羅素悖論,第三次數學危機延續至今
    高中數學比起初中數學來，中間有一個巨大的斷裂層，學生剛開始接觸便會感到吃力。首先接觸的是集合，這是學生們見識數學奧秘的開始。集合的概念並不難，就是把一堆元素放在一起，變成一個整體。高中階段教授的集合還比較簡單，其實集合已經滲透到了大多數數學分支中。
  • 數學史上的3次數學危機
    在數學的發展史上，大大小小的矛盾出現過很多，但很少能威脅到整個數學基礎理論，甚至引起危機。即便是千百年來人們對歐幾裡得幾何公理第五公設的疑惑，也不曾造成數學上的危機，且最終成就了羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何。數學史上共出現三次數學危機，每次都是由於悖論的發現而深刻和廣泛的影響了數學基礎。
  • 歷史上有意思的三次數學危機
    在數學的歷史上，有過三次比較重大的危機，第一次是關於無理數的，這次危機把畢達哥拉斯的數學王朝推翻，第二次數學危機是關於微積分的，是常識跟數學之間的契合的問題；第三次數學危機發生在二十世紀初，這次危機涉及到了數學中最基礎的大廈，差點把整個數學理論推翻重來。下面我來跟大夥聊聊這三次有意思的事件。
  • 數學的三次危機——第一次數學危機
    無理數的發現，引起了第一次數學危機。首先，對於全部依靠整數的畢氏哲學，這是一次致命的打擊。其次，無理數看來與常識似乎相矛盾。在幾何上的對應情況同樣也是令人驚訝的。因為與直觀相反，存在不可通約的線段，即沒有公共的量度單位的線段。
  • 第三次數學危機及其意義
    ）第一次數學危機及其意義（人物、危機產生、危機終結及意義）儘管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的確定性卻在一步一步地喪失。註記3： 第三次危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續著三、數學危機及終結的意義第一次數學危機使人們發現無理數,建立了完整的實數理論,歐氏幾何也應運而生並建立了幾何公理體系第二次數學危機的出現,直接導致了極限理論、實數理論和集合論三大理論的產生和完善,使微積分建立在穩固且完美的基礎之上第三次數學危機
  • 數學史上的三次數學危機
    在整個數學發展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續與離散、存在與構造、邏輯與直觀、具體對象與抽象對象、概念與計算等等。 在數學史上，貫穿著矛盾的鬥爭與解決。當矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就會產生數學危機。而危機的解決，往往能給數學帶來新的內容、新的發展，甚至引起革命性的變革。
  • 第三次數學危機是什麼?這次數學家都弄瘋了!——理髮師悖論
    我們之前講過第一次和第二次數學危機，今天我們來講第三次數學危機。第三次數學危機，首先要從一個數學加羅素開始伯特蘭·羅素用集合去解釋現代數學中的一些問題。這個理論後來被人們稱為——人類純智力活動的最高成就。這麼偉大的一個人，他也其實早就發現了一個問題，就是它這個集合裡面有點瑕疵。但是別人說的這麼厲害，他就沒說，但是他不說，人家羅素說啊，總去問他。3、這個集合理論有什麼問題呢？咱們首先說一下集合。
  • 他提出的這個悖論引發了第三次數學危機,來看看到底是怎麼回事
    第二次數學危機徹底解決之後，再經過近200年的發展，科學家們普遍認為系統而嚴密的「科學大廈」已經基本建立。然而，人們沒有注意到的是，作為「現代數學」基礎的「集合論」還隱藏著很多的問題沒有解決。集合論是「現代數學」的基礎，幾乎每一個分支都是建立在「集合論」的基礎之上的。「集合論」的誕生之初，在「分析的嚴格化」思想的指導下，徹底地解決了由「微積分」引發的第二次數學危機。在那一次危機中，「集合論」成為了「近代數學大廈」的基礎。
  • 大危機大發展大邏輯,鳳凰涅槃般的數學發展的三次危機
    從公元前6世紀到20世紀初2600年間發生過三次數學危機，前兩次危機的解決都極大地推動了社會的變革和發展。第一次是無理數的發現，在此之前的人們只是很簡單的把數字分成了整數和分數，但是這個時候有人發現了一個問題。那就是一個直角邊都是1的斜邊無法用一個具體的數字來表示。也就是我們最早知道的幾個無理數之一的根號2。
  • 數學上的三次危機
    在數學發展史中，始終貫穿著這些矛盾的鬥爭與解決，而在矛盾激化到涉及整個數學的根本基礎時，就會產生數學危機。所謂的數學危機，指的就是數學公理在定義上的不完全或者是不夠嚴謹，導致了在理性的推論下，得到錯誤結論的情況，不過所謂機遇與挑戰並存，數學家喜歡機遇，但也同時不畏挑戰，要想解決這些危機，就要對數學基礎理論進行修正和補充，而這樣的努力，也往往給數學帶來新內容。