在上篇文章中，我們說到由柯西與康託爾為代表的數學家們，通過建立起了嚴謹的極限理論，和實數理論成功解決第二次數學危機。（傳送門：互掐了半輩子的兩個數學巨頭，到最後連單身問題都沒解決）
就當大家覺得總算可以消停會時，第三次危機又來了！
又是一個找茬的
然而這次危機的引發者，恰恰也是解決了第二次危機的數學家——康託爾。
格奧爾格·康託爾Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp1845.3.3-1918.1.6）
格奧爾格·康託爾，德國數學家，出生於俄國聖彼得堡，1856年全家遷居德國的法蘭克福，先在一所中學，後在威斯巴登的一所大學預科學校學習。
1873年11月29日，康託爾給戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind ）寄了一封信，信中提到：正整數的集合（n）與實數的集合（x）之間能否把它們一一對應起來。
同年12月7日，康託爾又寫信給戴德金，說他已能成功地證明實數的「集體」是不可數的，也就是不能同正整數的「集體」一一對應起來。這標誌著集合論的誕生。
十九世紀下半葉，他創立了著名的集合論。但在集合論剛產生時，遭到了許多人的猛烈攻擊。
尤其有一個叫克羅耐克的數學家，處處與康託爾作對，跟針對牛頓的貝克萊 一樣，克羅耐克也有一句名言：「上帝創造了正整數，其餘的是人的工作」。
克羅內克認為，數學的對象必須是可構造出來的，不可用有限步驟構造出來的都是可疑的，不應作為數學的對象。他反對無理數和連續函數的理論，並且說康託爾的集合論空空洞洞毫無內容。
由於連續統假設長期得不到證明，以及克羅耐克在當時的數學界權勢很大，康託爾不斷的受到各方面打壓，甚至由於過度緊張得了精神病，最後死在了精神病院裡。
後來有越來越多的數學家，接受了康託爾這一開創性成果，認為從自然數與康託爾集合論出發，可建立起整個數學大廈—「一切數學成果可建立在集合論基礎上」。
一波未平一波又起
但好景不長，又有一個震驚數學界的消息傳出來了：集合論是有漏洞的！
1903年，數學家羅素（Bertrand Russell，1872—1970）提出的一個悖論：若S由一切不是自身元素的集合所組成，那S包含S嗎？
通俗的描述就是：有一位理髮師，他只給所有不給自己理髮的人理髮，不給那些給自己理髮的人理髮。問：他要不要給自己理髮呢？
如果他給自己理髮，他就屬於那些給自己理髮的人，因此他不能給自己理髮。如果他不給自己理髮，他就屬於那些不給自己理髮的人，因此他就應該給自己理髮。
說到這個羅素，也是大有來頭，不僅是哲學家、數學家、邏輯學家、歷史學家、文學家，也是分析哲學的主要創始人，世界和平運動的倡導者和組織者。
羅素出生在英國的一個貴族家庭，祖父曾擔任英國首相。雖然家裡很有錢，但不幸的是，在羅素年幼的時候，父母和祖父相繼離世，他從小由祖母照顧。
祖母出身於一個貴族的虔誠教徒的家庭，特別講究規矩和清教徒的美德，而且不允許懷疑。但數學是可以懷疑的，因為數學沒有倫理內容，於是羅素喜歡上了數學。
同樣的，羅素也有一句名言：在數學中最令我欣喜的，是那些能夠被證明的東西。
羅素的這個悖論看似簡單明了，卻輕輕鬆鬆的摧毀了集合理論！許多把數學作為信仰的數學家，心態爆炸。
他還把自己的發現告訴了德國著名邏輯學家弗雷格（Friedrich Ludwig Gottlob Frege）。
弗雷格（Friedrich Ludwig Gottlob Frege，1848.11.8-1925.7.26)
然而，看完信後的費雷格差點吐血。因為這時候，弗雷格的關於集合的基礎理論正好完稿付印。
因為這個悖論的誕生，導致了他的著作《算術原理》中的第五公理是錯的。
最後他在自己著作的末尾寫道：
「一個科學家所碰到的最倒黴的事，莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所幹的工作的基礎崩潰了。」
第三次數學危機的解決方案
為了解決這次數學危機，數學家們紛紛提出自己的解決方案。
首先進行這個工作的是德國數學家策梅羅（ Zermelo），他提出七條公理，建立了一種不會產生悖論的集合論。
又經過德國的另一位數學家弗芝克爾（Fraenkel-Conrat,Heinz）的改進，形成了一個無矛盾的集合論公理系統。即所謂ZF公理系統。
(1)外延公理（容積公理）：一個集合完全由它的元素所決定。如果兩個集合含有的元素相同，則它們是相等 [1] 的。
(2)分離公理模式：「對任意集合X和任意對X的元素有定義的邏輯謂詞P(z)，存在集合Y，使z∈Y 若且唯若z∈X而且P(z)為真」
也就是說：若A是一個集合，那麼可以斷定，B={x∈A|P（x）}也是一個集合。
(3)配對公理：對任意a和b是對象，則存在一個集合{a，b}，其僅有的元素是a和b。
也就是說：我們可以用一個集合Z={X,Y}來表示任給的兩個集合X,Y，稱之為X與Y的無序對。
(4)併集公理：任給一族M，存在UM（稱為M的並）它的元素恰好為M中所含元素的元素。
也就是說：我們可以把族M的元素的元素匯集到一起，組成一個新集合。
註：為了方便描述，定義族表示其元素全為集合的集合。
(5)冪集公理(子集之集公理)：對任意集合X，存在集合P（X），它的元素恰好就是X的一切子集。
也就是說：存在以已知集合的一切子集為元素的集合。
(6)無窮公理：存在歸納集。（存在一個集合，空集是其元素，且對其任意元素x，x+=x∪{x}也是其元素）
也就是說，存在一集合x，它有無窮多元素。
(7)替換公理模式（置換公理）：也就是說，對於任意的函數F（x），對於任意的集合T，當x屬於T時，F（x）都有定義（ZF中唯一的對象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合S，使得對於所有的x屬於T，在集合S中都有一元素y，使y=F（x）。也就是說，由F（x）所定義的函數的定義域在T中的時候，那麼它的值域可限定在S中。
(8)正則公理：也叫基礎公理。所有集都是良基集。說明一個集合的元素都具有最小性質，例如，不允許出現x屬於x的情況。
準確的定義：「對任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y為空集。」
以上8條公理組成了ZF公理系統，再加上選擇公理，則組成了ZFC公理系統
即使歷史上的三次數學危機,給人們帶來了極大的麻煩，但危機的產生也使人們認識到了現有理論的缺陷，科學中悖論的產生常常預示著人類的認識將進入一個新階段。
所以悖論是科學發展的產物,又是科學發展源泉之一。