機械能守恆定律動量守恆定律綜合題牛刀小試

2020-12-04 工禾文

機械能守恆定律動量守恆定律綜合題牛刀小試，我們來看這樣一題

光滑圓弧面固定在水平面上，其左端所在半徑(R=0.5m)沿水平方向，右端與水平面間距為h1=0.1m，如圖所示。小球M=0.4kg靜止在圓弧面最低點。另一小球m=0.1kg自水平面上方高為h處自由落下，小球m恰好沿圓弧面左端進入圓弧面，並在圓弧面最低點與靜止的小球M發生彈性正碰，碰後小球M運動中的最高點距水平面高度為H=0.136m，將兩小球看作質點，取g=10m/s^2。求：(1)小球m下落時的高度h，(2)碰後小球M獲得的速度V，(3)小球m從圓弧面右端離開後運動中的最高點距水平面的高度h2。

分析：小球m碰撞前先做自由落體運動，進入圓弧面後受到重力和彈力的作用，彈力不做功。設小球m碰撞前的速度為v，小球m下落至碰撞前機械能守恆，有mgh=mv^2/2(1)

兩球碰撞中動量守恆，設小球m碰撞後速度為v1，小球M碰撞後速度為V，取水平向右為正方向，有mv=mv1+MV(2)

碰撞為彈性正碰，故碰撞前後機械能守恆，有mv^2/2= mv1^2/2+MV^2/2(3)

因M>m，故碰後M速度水平向右，M碰後至飛出圓弧面前機械能守恆，設M飛離圓弧面前速度為V1，有Mgh1= MV^2/2- MV1^2/2(4)；碰後m速度水平向左，當m運動至速度為零時，下落返回至最低點，速度方向水平向右，大小為v1的絕對值，設m飛離圓弧面時的速度為v2，m碰後至飛離圓弧面過程中機械能守恆，mgh1= mv1^2/2- mv2^2/2(5)

設圓弧面右端所在半徑與豎直方向所成的角為w，由幾何關係，cosw=(R-h1)/R(6)

小球飛離圓弧面至運動到最高點的過程中，豎直方向做加速度大小為g的勻減速直線運動，對M有H=h1+(V1sinw)^2/(2g)(7)，對m有h2=h1+(v2sinw)^2/(2g)(8)

聯立(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)並代入數值得h=1.25m，V=2m/s，h2=0.226m

結論: (1)小球m下落時的高度h=1.25m，(2)碰後小球M獲得的速度V=2m/s，(3)小球m從圓弧面右端離開後運動中的最高點距水平面的高度h2=0.226m

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