在前面的文章已講過用累加法求解a(n+1)=an+f(n)型和用累乘法求解a(n+1)=g(n)·an型數列的通項公式的方法，這兩種求解都可以看成a(n+1)=p·an+f(n)型數列的特殊情況，本文分享另外一種特殊形式a(n+1)=p·an+c(p、c均為常數)通項公式的求解。
註：本文中a(n+1)和an中的(n+1)和n均為腳標。
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一、基本方法
a(n+1)=p·an+c型數列通項公式的基本方法是待定係數法，具體方法如下：(p≠1，c為常數)
方法一：待定係數法：
設：a(n+1)+λ=p(an+λ)，--①
展開得：
a(n+1)=p·an+(p-1)λ，
則(p-1)λ=c，
解得：λ=c/(p-1)，
然後將λ代入①中，得：
a(n+1)＋c/(p-1)=p[an+c/(p-1)]，
再令：bn=an+c/(p-1)，
則b(n+1)=p·bn
即{bn}是以b1=a1+c/(p-1)為首項，以p為公比的等比數列，
根據等比數列的通項公式求出bn的通項公式，再根據an=c/(p-1)-bn求出{an}的通項公式即可。
方法二：逐項相減法（階差法）：
因為a(n+1)=p·an+c，--②
所以an=p·a(n-1)+c,--③
②-③,得：a(n+1)-an=p[an-a(n-1)]，
我們再設bn=an-a(n-1)，即可得到b(n+1)=p·bn，
即{bn}是以p為公比的等比數列，先根據等比數列的通項公式求出bn的通項公式，再用累加法即可求出an的通項公式。
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二、典型例題
上面講了求解的兩種基本方法，下面通過例題來加強理解。
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大家可以仔細比較一下兩種方法，第一種方法即是待定係數法，第二種方法為逐項相減法，都是通過構造一個新的等比數列想求出新的等比數列，再用新數列作為橋梁求解出原數列的通項公式。
從實際教學中學生的掌握情況看，我更推薦使用待定係數法。用待定係數法過程更簡單，更明了，不會像逐項相減法出現更複雜的計算。
三、變式訓練
經過上面這個例題，相信大家對a(n+1)=p·an+c型遞推關係已經比較熟練了，下面再通過兩道練習題進行一個鞏固。
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四、總結
這類型的數列通項公式的求解，難度不大，但是卻是各種考試中經常考到的類型，因此我們必須熟練掌握，這個方法掌握後再學習其他方法也會更簡單，因為思路都是一致的。
本文相信講解了a(n+1)=p·an+c型遞推求通項公式的方法，下期講解a(n+1)=p·an+q^n型遞推法求通項公式。敬請期待！