用數學的方法算一算:你何時能遇上真愛?

2020-11-22 鳳凰網

□南風信 整理

一位藝術家問他的一位數學家朋友:「數學家每天都在忙些什麼呢?」這位數學家決定寫本書來回答。他希望給讀者提供一個嶄新的視角,重新了解和欣賞數學的美,告訴大家「麥可·喬丹的灌籃如何完美地詮釋了微積分的原理」、「怎樣翻轉床墊才能最大化地延長床墊的壽命」、「結婚之前,到底談多少次戀愛才最合理」……他說,我們的生活中充滿了數學,是否能看到它們,取決於你有沒有一雙善於發現的眼睛。

這位數學家就是美國康奈爾大學的應用數學系教授史蒂夫·斯託加茨,而這本書則是今年4月出版的《X的奇幻之旅》。以下摘自此書部分內容分享,看看數學如何無處不在。

算一算

股票是賠還是賺?老婆太小還是太老?

算術是不斷尋找更全面、更完美的數字的過程。如果我們只滿足於數數,滿足於加法和乘法運算,那麼自然數,也就是1、2、3……已足夠用了。但是,聰明的人類絕不會滿足於此。於是有了「零」,又有了「負數」、「分數」、「小數」和「百分數」……而「代數」更是一個令很多人頭痛不已的科目:複雜的符號、定義、解法,通通混在一起,令人頭暈目眩、無所適從。但是,它們的本質其實都很簡單,它們之所以會出現,就是因為我們在日常生活中常常不自覺地使用到。

就算是一種很特殊的公式——恆等式,在生活中也經常被用到。比如你可以快速地心算出48的平方數——你只要先計算50的平方數,也就是2500,然後算出50和你所要計算的數字的差,用這個差乘以100。再用2500減去這個乘積就可以了。這樣要算48的平方數,就用50減去48等於2,再用2500減去200,即得出2300。這裡就用到了恆等式:

(50+X)2=2500+100X+X2

任何投資股市的人也都可能會用到恆等式。假設某一年間股市低迷,你的投資組合慘痛地縮水50%,然後第二年股市反彈,你的投資組合又漲了50%,那麼你最終是賺了還是賠了呢?答案是,最終你的投資組合和兩年前的初始價值相比仍然賠掉了25%。原因就在於,第一年你的投資組合跌了1/2,年末價值是初始值乘以0.5。第二年股價又上升了50%,所以第二年年末的最終價值等於第一年年末價值乘以1.5。最終,你的投資組合的價值是初始值乘以0.5,再乘以1.5,也就是初始值的0.75。事實上,如果你的投資組合在兩個相鄰的年份中一賠一賺,那麼不管你是先賠再賺還是先賺再賠,只要賺和賠的比率數值一樣,最後算算淨值,你一定還是賠錢的。因為我們有如下這樣一個恆等式:

(1-X(1+X)=1-X2

不過,代數這些公式有時也是武斷和沒有道理的。比如,有種觀點認為,情侶之間的年齡差距不應該過大。到底年齡差距多大算是過大呢?有網站竟給出了這樣一個「魔法公式」:如果你的年齡是X,那麼你的戀人的年齡必須大於X/2+7。按這種算法,如果一位82歲的老先生想追求一位小於48歲的中年女士,就已經是不合適了……只是,姻緣到底合不合適,還得當事人說了算吧?

算一算

冷熱水龍頭一起灌滿浴缸需要多長時間?

宇宙萬物的內在邏輯,都可以用數字與數字之間的關係來表示。比如因與果、供與求、輸入和輸出、措施和效果。我們應該學習和訓練自己的這種能力,學會思考和分析數字與數字之間的關係。

比如我們可能都曾遇到過這樣一道很經典的應用題:如果只開冷水龍頭,灌滿浴缸需要半個小時;如果只開熱水龍頭,灌滿浴缸需要1個小時。問:如果把冷水龍頭和熱水龍頭同時打開,灌滿浴缸需要多長時間?

我們最初聽到這道題,腦袋一定像那個浴缸一樣,混亂一片,摸不著頭緒。

但數學家會輕鬆地解答:冷水龍頭30分鐘能灌滿浴缸,也就是說每分鐘可以灌滿浴缸的1/30;而熱水龍頭要60分鐘才能灌滿浴缸,也就是說,熱水龍頭每分鐘可以灌滿浴缸的1/60。那麼,如果把冷水龍頭和熱水龍頭同時打開,每分鐘可以灌滿浴缸的1/20。答案很快便浮出水面,即20分鐘可以灌滿整個浴缸。

這種解法不僅涉及分數,還用到了最小公倍數的知識。但這道題還有別的更有意思的解法。比如,假設現在不只是有一個浴缸和兩個水龍頭,我們用一冷一熱兩個水龍頭分別給幾個浴缸灌水,60分鐘以後,熱水龍頭正好灌滿了1個浴缸,而冷水龍頭顯然已經灌滿了2個浴缸。也就是說,兩個水龍頭同時打開,60分鐘共計灌滿了3個浴缸。那麼灌滿一個浴缸需要多長時間呢?當然是60分鐘的1/3,也就是20分鐘。

這道題再延展開去,可能又出現這樣一道題:一位老奶奶要過馬路,如果無人幫助,她需要耗時60秒鐘;而你單獨過馬路只要30秒鐘,如果要你去攙扶老奶奶一起過馬路,需要多長時間呢?這個題目的答案是45秒鐘。

這個問題與浴缸的問題看上去很相似,但它們又有本質的區別:在浴缸問題中,兩個水龍頭雖然同時在放水,但灌水速度完全不受對方影響;而你和老奶奶卻是互相影響著對方的。

我們通常會因為直覺自動開啟了「模式識別」的功能,對這兩道題給出同樣的答案,但顯然這個「模式」是靠不住的,因為我們的潛意識通常沒有那麼敏銳,無法第一時間發現其中那個重要區別。

很多應用題的問法中都故意埋藏了一些文字陷阱,如果你憑直覺回答,就會掉入這些陷阱。比如這樣一道題目:3個人可以在3小時內漆完3段籬笆,那麼1個人漆完1段籬笆需要幾個小時呢?很多人可能會脫口而出:「1個小時。」而正確答案是「3個小時」。

這道題因為讀起來跟順口溜似的,很容易地在你的腦海中建立起了一個鼓點般的韻律,這種條件和問題的「平行」結構使得人們很容易給出一個在語言音律學上感覺正確、但是數學計算上卻完全錯誤的結論。

能不被表象所迷惑,冷靜客觀地審題,才是答對本題的關鍵。這種能力其實就可以通過數學課反覆訓練而來。

算一算

如何翻轉才能使床墊磨損率最小?

著名物理學家理察·費曼有一則逸事:他在入伍體檢時,需要通過精神科醫生的檢查。當醫生讓費曼把手伸出來給他看,費曼立刻伸出的雙手,是一隻手手掌朝上,另一隻手手背朝上。醫生說:「不是這樣,把手翻過來。」費曼聞聲又把雙手都翻了過來,還是一隻手手掌朝上,另一隻手手背朝上。這顯然是個惡作劇。但只有懂得「群論」的理科生才能體會其中的幽默。

「群論」是指針對一些數學行為的集合展開的討論。其實你可能經常這麼做——因為它討論的是科學和藝術的一個共同的主題:對於「對稱」的永恆追求與熱愛。更準確地說,「群論」討論的是這樣一個問題:在一定限制條件下,有多少種方式可以轉化一個形狀,但這個形狀的本質卻保持不變?這些轉化的方式,就叫做這個形狀的「對稱性」。這些轉化方式的集合形成一個「群」後,「群」的性質便定義了這個形狀的最本質特徵。

美國的一位科普作家布萊恩·海斯在《臥室中的群論》一書中就是利用群論的方法,討論關於如何定期翻轉床墊才是最佳的?怎麼翻轉才能讓床墊的磨損最均勻呢?

床墊製造商會建議顧客定期翻轉床墊,以使床墊的磨損更加均勻,這能延長床墊使用壽命。但對於一個床墊來說,我們只可以通過一些轉化方式,改變床墊在空間中的方向,最終這些轉化仍然必須保持床墊的形狀不變。有了這些條件,便形成了一個有規則和規律的「群」。

事實上,只有4種方式是符合上述條件的:第一種方式是什麼也不做。雖然它對延長床墊的壽命毫無幫助,但我們仍然必須把它視作這個「群」的一個元素。這種什麼都不做的轉化方式就像「加法中的0」或「乘法中的1」一樣重要,數學家們稱它為「單位元素」,符號為I。另外3種翻轉床墊的方式還包括:「水平翻轉」、「豎直翻轉」以及保持床墊正面朝上,把它旋轉半圈,讓床頭變成床尾、床尾變成床頭的「旋轉翻轉」。

這4種轉化方式之間的關係,反映出床墊這個物體的對稱性質。注意,在這個「群」中,任何兩種轉化方式的先後順序都可以互相交換,轉化的結果卻保持不變,這其實也是「加法交換率」的一種更廣義的形式。

那麼,到底怎樣翻轉床墊才能使磨損最為均勻?答案是,只要周期性地調整床墊的狀態,讓床墊處於這4種狀態的時間相等就可以了。

但這裡用到的「群論」的魅力在於,它把很多外表看來毫無聯繫的事物的本質挖掘出來,讓我們知道這些風馬牛不相及的事情其實具有相同的抽象本質。比如,床墊的翻轉、一組電器開關狀態的變化邏輯,以及水分子的對稱性,其實都可以用上面的這個「群」來表示。

當然,我如此舉例說明,只是想說數學在我們的生活中無處不在,但如果你覺得用「群論」的方法來解決床墊問題,未免太令人頭暈了,也可以回歸一個簡單的真理:如果有什麼數學問題或者事情讓你感到煩惱,最好的解決方法就是先放下它,倒頭大睡一場再說。

算一算

結婚前,你談幾場戀愛才合適?

在數學中,有些數字特別有名,它們有自己專屬的符號。比如圓周率π,π這個數字寫成小數的話就是3.14159……此外,還有比較知名的就是虛數i、代表指數增長的e,等等。

以e為例。這個世界上,幾乎你能想到的地方以及你想不到的地方,全都有e的身影。e不僅可以用來描述核能源的鏈式反應和人口爆炸,還能告訴你結婚之前交往多少個女友(男友)最合適。

e的數值是2.71828……它是一個無限數列的和。為了給大家一個直觀印象,我們先來看看e的應用。假設你把1000美元的本金存入銀行,銀行慷慨地承諾給你100%的年利息,每年複利一次。一年以後,你的帳戶裡已經有2000美元的資金了。如果利率保持不變的話,你要求改為每半年複利一次——6個月之後,銀行便付給你50%的利息——那麼一年後,你的1000美元的本金就能變成2250美元。與每年複利一次的情況相比,每半年複利一次可以讓你一年多賺250美元。如果你繼續要求更改複利頻率,比如每天複利一次、每秒複利一次……你是不是就發財了呢?結果是你也許會多了一些收益,但其實也多不了太多,在連續複利的情況下,你的收益數字正好等於1000美元乘以e——這就是一個典型的微積分方程式。

當我們計算很多微小事件帶來的總體變化的時候,e的身影往往就會出現。比如在考慮世界人口的增長問題時。比如我們想針對時間上或者空間上的位置來計算我們的婚姻——結婚之前,談幾場戀愛最合適的時候。

從時間上來計算「你何時能遇到真愛」的方法是這樣的:首先,我們假設你知道你的一生中一共可以遇見多少位潛在的人生伴侶。這個數字具體是多少並不重要,重要的是,第一,你事先知道這個數字;第二,這個數字不會太小。此外,我們還要假設,如果你能同時遇見你所有的潛在人生伴侶,那麼你可以立刻明確地將這些人進行排序——但人生的悲劇就在於,沒有人可以同時遇見自己所有的潛在人生伴侶,我們總是以一種完全隨機的順序,一個一個地遇到他們(她們)。所以,我們永遠不知道,最合適的那個人是否即將出現在下一個街角,還是我們早已經遇到過他(她),卻又永遠地錯過了。

最後,我們假設你是一個完美主義者:你的目標是和你最滿意的那個人,即你的列表上排名第一的那個人結婚。如果做不到這一點,我們就判定你的婚姻失敗了。哪怕你是和列表上排名第二的那個人結婚了,你還是一個失敗者。

試問:在這樣的假設條件下,你有可能找到那個你最滿意的人嗎?如果有可能,怎麼做才能讓你成功的機會最大化呢?

一種比較好的策略是:把你的愛情和生活劃分成上下兩個半場。上半場完全用來積累經驗;在下半場中,你才開始認真地尋找伴侶。這個策略讓你至少有1/4的概率遇到最合適的那個人。為什麼呢?首先,最合適的那個人可能在上半場出現,也可能在下半場出現,概率各為50%。同樣,第二合適的那個人出現在上下半場的可能性也各佔50%。這種情況下,只要你嚴格執行上述策略,你就一定會和最合適的那個人結婚。第二合適的人出現在你人生的上半場,而你的人生中只有一個人比他(她)更適合你,這個人就是最適合你的人,只有這個人在下半場出現的時候,你才會決定結婚,所以在這種情況下,你是一定會成功的——在遊戲人生的青春歲月裡,遇見一個高質量的另一半真是何其幸運!

但這並不是最優策略。最優策略是上半場的用時比下半場稍微短一些,讓上半場佔你整個戀愛時間的1/e,也就是大約37%的時間。根據我們的模型,這個策略是最優的婚戀策略。如果你嚴格採用這個策略,你和最佳伴侶結婚的概率是1/e。

當然,如果你的最佳伴侶也在玩這種跟e有關的遊戲,那一切可就說不準了。

(中信出版社 授權)

南風信

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