戴森和量子電動力學

戴森是全能型的科學家，他最具代表性的成就是他在量子電動力學方面所做出的奠基性的工作，此外，他在核工程學、固體物理、天體物理、生物學、以及數學等領域都做出過重要的貢獻。本文將主要介紹戴森在1947-1948年間，用短短一年左右時間完成量子電動力學方面工作的傳奇經歷。

撰文 | 楊剛

來源：中國科學院理論物理研究所

普林斯頓高等研究院教授弗裡曼·戴森（Freeman Dyson）於今年（2020年）2月28日去世，享年96歲。戴森是全能型的科學家，他最具代表性的成就是他在量子電動力學方面所做出的奠基性的工作，此外，他在核工程學、固體物理、天體物理、生物學、以及數學等領域都做出過重要的貢獻。本文將主要介紹戴森在1947-1948年間，用短短一年左右時間完成量子電動力學方面工作的傳奇經歷。（關於戴森的完整生平，林開亮的《戴森傳奇》[1]一文做了精彩的介紹。）戴森的這項工作奠定了量子場論的現代重整化綱領，讓量子電動力學從原先混沌難懂的狀態，變為一門容易被大家所理解的語言。如今，量子場論已經成為理論物理學的重要理論框架，特別是基於這一框架的標準模型統一了電磁力、強相互作用和弱相互作用這三種基本力。

在了解戴森的具體成就之前，讓我們先來回顧一下1947年物理學所面臨的問題。

一、量子場的無窮大危機

20世紀初籠罩於經典物理學的兩朵烏雲，因為量子力學和相對論的建立而逐漸消散。如何將這兩個基本理論統一起來，就成為物理學家接下來自然要考慮的問題。這方面最具開創性的兩個成果都是由狄拉克（Paul Dirac）在20世紀20年代末期完成的。1927年，狄拉克發表了關於電磁場理論的量子化工作，（在無需任何統計假設的情況下）首次從第一性原理計算出了愛因斯坦輻射理論的係數，這個工作也被認為是量子場論的開篇之作。緊接著1928年，狄拉克考慮了薛丁格方程的相對論性推廣，提出了著名的狄拉克方程。基於這一方程，狄拉克解釋了電子自旋的起源，計算了氫原子能譜的高階修正，並藉助電子負能海和空穴的圖像預言了正電子（即反物質）的存在。（狄拉克方程無疑是代表人類洞察力和想像力巔峰的劃時代之作。溫伯格的場論書[2]第一章對這些發展有極好的介紹，並且也討論了狄拉克方程的歷史局限性。）在狄拉克等人工作的基礎上，20世紀30年代，量子場論的正則量子化框架被建立起來。不僅電磁場，人們意識到一般的物質粒子也可以作為場的激發，用量子場論的框架描述。這方面最具代表性的成就，是湯川秀樹（Hideki Yukawa）在1935年提出了描述核子力的介子場，他也因為這個工作在1949年獲得諾貝爾獎，是日本首位諾獎得主。但統一量子力學和相對論的徵程還遠未結束。人們發現，量子場論的領頭階計算結果和實驗往往就符合得很好，但一旦嘗試進一步改進這些計算，考慮基於耦合常數展開的高階修正時，幾乎所有過程都會得到無窮大的結果。這主要來自於對於中間態的動量做積分，而這些積分往往會導致無窮大。最早發現這類無窮大的工作之一，是奧本海默關於電子自能的計算，見圖1的說明。（史瓦茲的場論書[3]第4.2節對於奧本海默的計算有具體的介紹。）

圖1：在量子世界中，一個電子在傳播過程中可能短暫地轉化為一個電子加上一個光子，然後這個光子和電子很快再變回一個電子。其中短暫出現的光子稱為虛光子。計算這個過程需要對虛光子的所有可能動量做積分，這會導致無窮大。

一個無窮大的結果看起來是毫無意義的。當時大家的普遍想法是已有的理論應該還不完備，會有一個全新的革命性理論來替代現有的框架。對於這個無窮大，一種流行的態度是「鴕鳥政策」，領頭階的結果符合得很好，高階的無窮大可能沒有實際意義，naive地取為零就可以了。然而，這個局面因為物理實驗上的進展而徹底打破。

二、蘭姆位移和反常磁矩

如果要列舉物理學史上最重要的會議，1947年6月在紐約附近的謝爾特島（Shelter Island）舉辦的會議，以及1948年3月底4月初在賓州的波科諾（Pocono）舉辦的會議，可能可以排進前三名。這是兩次人數均只有二十多人的小型會議，上文提到的奧本海默是主要組織者之一，參會者不乏玻爾、狄拉克、泡利等大牛。會議的主要議題就是討論量子電動力學相關的新實驗進展以及理論解釋。可以說，正是這兩次會議直接導致了量子電動力學的建立。（親身經歷了會議的亞伯拉罕·派斯在他的物理學史名著《Inward bound》[4]中對於這段歷史做了生動的介紹。）

圖2：蘭姆在黑板前描述氫原子能級差，他也因為蘭姆位移的發現於1955年獲得諾貝爾獎。

對這些問題首先從理論上給出合理解釋的是漢斯·貝特（Hans Bethe）。貝特的一個重要簡化是考慮非相對論近似，因為氫原子中電子的速度遠小於光速，這樣的近似也是合理的。他的計算也同樣遇到無窮大，對此他選取了電子質量作為高能截斷，得到了1040兆赫茲的有限值，這樣近似的結果竟然和蘭姆位移的實驗值（1060兆赫茲）符合得意外的好。這一計算大大增強了人們對於已有理論的信心。值得一提的是，這個計算是貝特在謝爾特島會議結束後的回程火車上完成的。（據說在另一次火車旅途上，貝特完成了他獲得諾貝爾獎的工作，也就是解釋恆星發光的機制。貝特是戴森在美國的導師，他善於用簡單的圖像直指問題的核心，物理學中以他名字命名的有場論中的Bethe-Salpeter方程，求解自旋鏈模型的Bethe Ansatz等，都是名垂青史的工作。）幾個月之後，施溫格（Julian Schwinger）基於量子場論完成了電子反常磁矩的計算，結果和實驗值在誤差內完全符合。之後他也進一步計算了蘭姆位移（這一計算比反常磁矩要複雜得多）。這些結果引起了轟動，在1948年春季的波科諾會議上，施溫格做了馬拉松式的報告，詳細講解他的工作。值得強調的事，日本的朝永振一郎（Sin-Itiro Tomonaga）也發展了類似的方法，並且他是先於施溫格和費曼，最早完成了蘭姆位移的完整計算[4]。我們上面提到，量子場論的主要問題是存在無窮大。無窮大本身可能並不可怕，在場論的正則量子化中其實就出現過無窮大的真空能，但人們所需要關心的不是真空能本身，而是相對於真空的激發，只要相對能量是有限的就可以了。類似地，處理場論無窮大的一個思路是取截斷，或者將無窮大通過某種方式抵消掉，只要保證「可觀測」的物理量是有限的就可以了，這就是「重整化」的基本思想。這一思想其實遠在施溫格之前就被一些人所意識到。但通常的截斷會破壞理論的對稱性（比如洛倫茲或者規範對稱性），這就存在任意性，從而給出不確定的結果。施溫格和朝永振一郎的工作就是發展了協變性的理論，使得發散的減除能夠自洽而唯一的給出來。儘管如此，施溫格的計算非常複雜，這也使得相關的計算除了施溫格這樣計算功底超強的人其他人幾乎無法完成。在波科諾會議上，費曼也做了一個報告。他用看起來完全不同、並且簡單得多的方法，得到了和施溫格計算相同的結果。費曼的計算顯示出他超人的直覺。他在博士期間就發展了量子力學的路徑積分方法，基於這些圖像，他引入了費曼傳播子，和傳統方法相比，可以大大簡化計算的過程。遺憾的是，費曼當時並不知道具體的計算規則，他的結果基本上是湊出來的，他的報告的效果也因此遠遜色於施溫格。

圖3：1947年謝爾特島會議的討論。從左到右，站著的兩人是蘭姆和惠勒（John Wheeler），坐著的四人是派斯、費曼、費許巴赫（Hermann Feshbach）和施溫格。派斯這樣回憶當時的場景[4]：「費曼試圖給我們解釋一種全新的場論計算方法。他上來就畫一些圖，而通常的產生和湮滅算符不見了。我讓費曼用他的方法計算一些我所知道的結果。他這樣做了，而且用飛快的速度就做到了 。不管費曼用的方法是什麼，肯定重要的——但是我不能理解它。」

所以在波科諾會議之後，就存在著施溫格和費曼的兩種方法，它們看起來迥然不同，人們因此戲稱為兩套互為競爭對手的理論。一方面，施溫格的計算看起來自洽嚴謹，但計算的複雜性使得其他人難以重複；另一方面，費曼的計算看起來非常有效，但連費曼本人也解釋不清他為什麼要這樣做，其他人就更難使用了。

了解了當時的現狀之後，就可以請我們的主角戴森出場了。

三、從劍橋到康奈爾

戴森在劍橋本科學習時的主要研究興趣是數學，但期間他也閱讀了海特勒的《輻射的量子理論》[5]，這本書使得他了解到當時物理學的現狀以及未解決的難題，從而對物理也深感著迷。他給自己做了一個約定，如果能證明數論中的一個猜想（西格爾猜想，Siegel's Conjecture），就將從事數學研究，如果不能就做物理。不確定這是數學的不幸還是物理學的幸運，戴森證明西格爾猜想的進展不盡如意，從此投身於物理事業。（關於這段歷史[1]中有詳細的生動介紹。）戰後戴森拿到三一學院的獎學金回到劍橋，幫助他完成從數學到物理學過渡的是克默爾（Nicholas Kemmer）。在克默爾的指導下，戴森仔細研讀了當時唯一的一本場論書，溫策爾的《波場的量子理論》[6]。克默爾曾是溫策爾的學生，而這本書就是克默爾的私藏，據說當時在整個英國不超過兩本。但克默爾無法給出戴森更多的指導。一次偶然機會戴森遇見了流體力學家泰勒（Sir Geoffrey Taylor），後者建議戴森應該去美國的康奈爾大學和貝特學習。戴森接受了這一建議，並順利獲得了聯邦獎學金，在1947年秋第一次來到了美國。

圖4：年輕時候的戴森

「昨天我乘火車到了這邊。旅途有山巒和峽谷相伴，非常愜意。這邊的天氣有些灰濛濛的，溼潤而涼爽，但也足以讓人看清四周山湖環繞的美麗全景。」

這是1947年9月戴森在給他父母的信中，描述他初到康奈爾的印象。戴森在美國期間保持著和父母的通信，詳細描述了他在這邊的生活、師友，乃至工作上的進展，從而為這段歷史保持了難得的第一手資料。（本文所引用的戴森家信都源自Kaiser的《Drawing Theories Apart》[7]一書，由筆者翻譯，下文不再重複引用。）

在10月29日給母親的信中，戴森寫道：

「您問到關於我生活作息的更多信息。抱歉之前沒有提及，部分原因是我沒有花時間去寫，但另一方面也確實沒太多好說的。我現在過的是一種高度職業化的生活，沒有任何私生活可言。我從一大早起來就一直思考著介子和光子，這些都沒什麼可以細說的。我每天的作息，大致說來，是全部時間都待在物理系，做研究和讀文章。為了調節一下，我也去聽兩門課，每周也有兩個下午要參加實驗室工作。其他時間也會去聽聽報告，並有大量的討論。如果沒有別的事，晚上我也待在系裡，雖然一般每隔一兩晚就會有聚會或演出，有時我也去散散步或者去閱覽室看書。從這些您可以了解到我的生活是極有規律的。目前我並不想有任何改變，問題是我究竟能保持多久。…和劍橋相比，這邊的氣氛有顯著的不同，在這兒，一個人刻苦工作是天經地義的。而這也更加強了我樂於埋頭工作的天性，有生以來我第一次可以不受打擾的順利思考物理。」

有趣的是，戴森對自己的描述似乎和別人對他的印象有不小的出入。他的同學Baranger這樣回憶當時大家的印象[7]：「戴森早上來到研究生辦公室後，往往讀一會《紐約時報》，把腳翹在桌子上，然後打個小盹。下午他會去找貝特討論，但別的學生認為他只是做做樣子。」看來給大家的感覺，戴森純屬一位來自英國的公子哥。很快這些人就因為戴森的文章發表而被打臉了。

四、初試身手

戴森在9月25日的家信中提到了他的導師貝特，他描述貝特是他所見過的「最不劍橋的人」：

「貝特是個古怪的人，他高大而顯得有點笨拙，經常穿著一雙沾滿泥巴的舊皮鞋。他給人的印象是非常聰明而且和藹，但同時又是一個滑稽的教授。儘管如此，他曾經是洛斯阿拉莫斯的二把手，所以他肯定是一個一流的管理者。」

初看起來頗有些搞笑的貝特很快就贏得了戴森的尊敬，他在三個星期後的信中寫道：「我在貝特身上看到了很多，遠遠超出我之前的期待。我越來越驚異於他的才智，他的思考和論證總是採用一種最有力的方式，而且從不犯錯。」我們前文提過貝特最先給出了蘭姆位移的估算，他寫成了兩頁的短文，在戴森來康奈爾之前的一個月剛在《物理學評論》上發表。因為貝特只是處理了非相對論情形，他建議戴森考慮相對論性的推廣，並且為了簡化，假設電子沒有自旋。得益於之前在劍橋研讀溫策爾所受的訓練，戴森在這一課題上進展飛速。經過兩周的緊張工作，伴隨著幾百頁的草稿紙，他完成了貝特交給他的計算。他的計算結果和貝特之前的計算以及實驗符合的很好。在貝特的建議下，戴森花了幾周時間把這些結果整理成文，當年12月投稿到了《物理學評論》。戴森的能力無疑給貝特留下了深刻的印象。戴森的獎學金原本是在美國待一年，貝特建議他在美國再多待一年，並且要他去和奧本海默一起工作，後者不久前剛搬到普林斯頓高研院。為此貝特專門給聯邦基金寫信[7]：

「戴森比我們康奈爾最好的美國研究生還要強很多，讓他延續在這個國家的學習有一個非常充分的理由。戴森對於量子電動力學的新發展很感興趣，這些發展讓這個停滯了幾乎20年的課題重新煥發生機。現階段這方面的工作都是在美國開展的，主要的研究中心包括奧本海默教授的高等研究院，哈佛和麻省理工，以及我們系。戴森已經在這個領域做出了很大貢獻，如果他能夠和奧本海默工作一年，他將進一步拓展知識面，這也能使他在回到英國之後繼續傳播這些知識。」

對於這一建議，戴森也毫不掩飾他的期待，他在12月的家信中說道：「和普通追星族一樣，我也不能免俗，我很希望能在回家前和愛因斯坦，外爾，馮諾依曼相識，而這也只有在普林斯頓才能辦到。」信中戴森也提到了上面工作上的順利進展，並感慨道：

「所有這些表明我從數學轉到物理是一個多么正確的決定。儘管遇到些挫折，在過去兩個月中我並沒有做出什麼稱得上很聰明或者很難的東西，沒有任何趕得上我在三一學院課題的十分之一困難。但因為這是一個人人皆知的問題，理論物理學家已經為此絞盡腦汁十多年也進展甚微，所以即使是最微小的貢獻也可以立刻發表並獲得讚譽。」

完成了第一個課題後，戴森繼續思考相關的問題。在1948年秋天去普林斯頓之前，他還有大半年的時間，在這段時間裡，戴森抓住了和費曼以及施溫格親密接觸的機會，從而為他最終統一二者的理論奠定了基礎。

五、統一費曼和施溫格理論

在康奈爾，戴森可以和費曼充分交流。費曼在參與了洛斯阿拉莫斯的原子彈研究之後，追隨貝特來到康奈爾任教，是康奈爾另一位個性十足的物理學家。戴森在1947年11月的家信中描述了他對費曼的印象：

「費曼是另一位讓我越發仰慕的人。他是這邊最耀眼的年輕物理學家，也是我見到的第一個那種罕見類型的例子，本國美國物理學家。…他已經發展了自己版本的量子理論，那被普遍認為是一個優秀的工作，對處理某些問題可以比傳統方法更有效。他腦袋裡總是充滿了創意，儘管大多不如看起來那麼有用，而且在沒有發展多遠就被新的靈感所代替了。他對於物理學最有價值的貢獻是作為精神士氣的維護者，當他帶著最新的創意衝進屋裡，並用誇張的語調和手勢來展示的時候，生活絕不會枯燥。」

和其他人的經歷類似，戴森一開始也覺得費曼的圖形技術「完全難以理解」。他在1948年3月的家信中這樣寫到：「費曼是這樣一個人，如果貝特的想法有多容易理解，他就有多難以把握。」但無論如何，戴森有整個學期的時間去消化費曼的想法，這段經歷無疑對他後面的突破做了重要的準備。

接下來另一個重要經歷，是在1948年的7-8月份，戴森參加了在密西根的安阿伯舉辦的暑期講習班。在這裡他見到了施溫格。在家信中，他這樣描述到：「昨天偉大的施溫格到了，我也是第一次和他交談。他的報告從第一分鐘起就極好，顯然為了這次會議，他是花了大力氣來精雕細琢他的理論的。我想幾個月後我們就會忘記前施溫格時代的物理是什麼了。」暑期學校給了戴森六周的時間和施溫格當面交流，通過這些學習，戴森也掌握了施溫格的方法。

暑期講習班結束後，戴森先去伯克利度了幾周假，然後坐公交車穿越大陸回到東岸。就是在這個回程的旅途中，糾纏在一起的各種想法在戴森的腦海中完成一次傳奇般的結晶。戴森在9月的家信中生動地描述這個神奇的經歷：

「在旅途的第三天，不可思議的事情發生了。當一個人經過48小時的公交車顛簸，難免會進入一種半恍惚的狀態。我開始艱難地思考物理問題，特別是施溫格和費曼他們兩個彼此對立的輻射理論。

漸漸地，我的想法變得融洽起來，甚至我還沒有意識到自己到哪了，就已經解決了這個已經縈繞在我心頭一整年的問題，也就是證明這兩個理論的等價性。不僅如此，因為這兩個理論各有各自的優點，這個證明就同時給出了施溫格理論的一種新形式，使得它可以兼具二者的優點。

這個工作既不算很困難也不是特別聰明，但它無疑是重要的，特別是現在還沒有其他人能做到這一步。所以你們可以想像我的興奮勁兒，一到芝加哥，我就給貝特發信通知了我的勝利。我還沒有時間將它認真寫下來，但我已經計劃儘快寫成一篇正式論文並發表。」

六、兩篇經典論文

戴森很快寫出了兩篇論文，分別在1948年10月和1949年2月投稿到《物理學評論》。戴森的第一篇論文題為《朝永振一郎、施溫格和費曼的輻射理論》。在這篇文章裡，戴森給出了量子電動力學的新表述，並在這一框架下統一了費曼和施溫格的理論。戴森的第二篇論文題為《量子電動力學的S矩陣》。這篇文章的主要篇幅是用來發展費曼的計算方法，特別是戴森系統地給出了高階計算的重整化框架；而施溫格和費曼當時也只是做了低階的計算。

對於戴森的貢獻，我們可以引用溫伯格的評價[2]：

「在1949年的兩篇文章中，戴森證明了從施溫格和朝永振一郎的算符形式出發，可以導出費曼所發現的圖形規則。而且戴森分析了一般費曼圖中的發散，並框架性地證明了這些發散總是可以被重整化消除。戴森的論證所帶來的最顯著的結果之一是給出了量子場論『可重整化』的標準，這個標準就是，所有的發散都可以通過重新定義有限個耦合常數和質量參數而抵消掉。」

值得一提的是，戴森對於消除一般高階發散的論證上還存在漏洞，這涉及到所謂的重疊發散（overlapping divergence）問題。這個問題很快於1950年被薩拉姆（Abdlus Salam）解決，他當時還在劍橋做研究生，在研究過程中受到了戴森的很多指導。（感興趣重疊發散的讀者，可以參看溫伯格的場論書[2]第12.2節中的介紹。）

七、展望

戴森的工作推動了量子場論被大家所接受，後來朝永振一郎、施溫格和費曼費因為在量子電動力學的原創性工作分享了1964年的諾貝爾獎。回顧量子電動力學的建立過程，可以看到1947年實驗上的進展是有決定性作用的。這也印證了物理學是一門實驗科學，實驗和理論的衝突是推動物理學進步的主要動力。今天，量子場論和實驗是否還有類似的衝突呢？一個值得關注的是關於μ子反常磁矩的研究。前文我們提到了電子反常磁矩，施溫格當時只做了單圈的計算，如今人們可以計算到四圈，理論計算和實驗測量值在小數點後11位依然符合得很好，可以說是理論和實驗符合得最精確的一個例子。然而，作為電子好夥伴的另一個輕子——μ子——也存在反常磁矩，對於它的理論計算和實驗測量也都做到了很高的精度，但已有的實驗值和基於標準模型的理論值看起來存在著不可忽略的衝突（儘管這個差別在小數點後第8位才出現）。目前美國的費米實驗室正在試圖給出更高精度的實驗結果。如果這個偏差最終被證實確實存在，那將很有可能說明現在的標準模型理論是不完整的，有新的物理現象存在。（關於μ子反常磁矩的歷史發展，盧昌海的系列文章《μ 子反常磁矩之謎》[8]有詳細而精彩的介紹。）

另一個重要的問題是，雖然基於量子場論的標準模型統一了強、弱、電磁三種力，但愛因斯坦廣義相對論所描述的引力卻一直沒法納入這一框架，也就是通常所說的引力量子化疑難。用場論的語言來說，這是因為引力不可重整，量子場論框架下的引力會有「無窮多的無窮大」。這個問題從某種程度上類似於戴森他們當年所面臨的問題，當時因為有無窮大的存在，人們起初也認為量子力學和狹義相對論難以兼容，並期待全新的理論；最終是蘭姆位移等實驗結果起到了決定性的作用。今天，類似的無窮大問題對於引力依舊沒有解決，或許我們現在所缺乏的，就是一個可以一錘定音的引力「蘭姆位移」實驗吧。

參考文獻

[1] 林開亮，《戴森傳奇》.

[2] Steven Weinberg, 《The Quantum Theory of Fields》, Volume I.

[3] Matthew D. Schwartz,《Quantum Field Theory and the Standard Model》.

[4] Abraham Pais, 《Inward bound》.

[5] Walter Heitler,《The Quantum Theory of Radiation》(1936).

[6] Gregor Wentzel,《Quantentheorie der Wellenfelder》(1943).

[7] David Kaiser,《Drawing Theories Apart》.

[8] 盧昌海,《μ 子反常磁矩之謎》.

作者簡介

楊剛，中國科學院理論物理研究所研究員。研究方向：量子場論和超弦理論。

本文經授權轉載自微信公眾號「中國科學院理論物理研究所」。