2020年4月14日，Stephen Wolfram發表了一篇推文：Finally We May Have a Path to the Fundamental Theory of Physics… and It’s Beautiful [1].
Wolfram是筆者很喜歡的一位物理學家，也是無數次給朋友安利的Mathematica的創始人。看看他的簡歷感受一下：
Wolfram在12歲寫了一本關於物理學的書。到了13、14歲，他寫了三本關於粒子物理學的書籍。20歲時在加州理工學院獲得了粒子物理學博士學位。Stephen Wolfram，看發量識大佬
在2002年，Wolfram出版了一本1200多頁的著作：A New Kind of Science (NKS)。這本書在Wolfram的官網上可以在線閱讀：https://www.wolframscience.com/。筆者不才，只能粗略一瞥書中前幾章的璀璨想法。
A New Kind of Science封面
Wolfram聲稱這本書是科學史上最重要的一部著作，而他所做的一切都不亞於牛頓的貢獻。這當然引來不少非議，很多學者說他是個瘋子，自大狂。也有不少人，無論從事理工科還是社會學科，都從這本書中獲得不少靈感和啟發。
進入正題
從簡單規則開始
在NKS中，作者發現，一些簡單的規則在經過多次迭代後，會產生意想不到的複雜性。比如元胞自動機中的第30號規則：
Rule30
規則很簡單，上面的三個元胞決定下面一個元胞，那麼，利用這個簡單的規則，從簡單的一個元胞開始一次次迭代，如果迭代10次的話我們會得到：
10次迭代
迭代50次的樣子：
50次迭代
這就是通過簡單規則生成的複雜結果，理論上來說，如果無限次迭代下去，這個30號規則能夠生成無數的可能性和組合。在Mathematica中，偽隨機數就是通過Rule30來生成的。Rule30也是筆者很喜歡的一個規則，連手機密碼也與此有關（好了只能透露到這裡了）。
是不是聽起來有點像《道德經》裡所說的「道生一，一生二，二生三，三生萬物」。我們給定一個道（規則），就可以通過這個規則生成萬物。
Wolfram認為，我們的物理學也是類似的，都是基於一個簡單的「道」。2010年，Wolfram在TED上介紹了他的計算萬物的理論：https://www.bilibili.com/video/BV1es411Z7pK?from=search&seid=8001470648386017939
那麼再往大了想，有沒有可能，我們的宇宙，從宇宙大爆炸開始，也是基於一個簡單的規則，經歷一百多億年的無數次迭代，生成了我們看到的這個宇宙，生成了我們。
舉個小點的例子，我們生活中看到的雪花大部分是這些樣子：
生活中雪花的不同樣子
用元胞自動機，我們制定一個很簡單的規則：「從一個六邊形的黑色元胞開始，如果一個元胞相鄰的元胞有黑色的話，這個元胞就變為黑色。」於是我們可以可到：
利用元胞自動機生成的雪花圖案
與此同樣的思路，Wolfram制定了很多關於這個宇宙的起始規則，開始了無數次的實驗，在官網上還專門設立了一個網頁來記錄不同規則下生成的宇宙：
https://www.wolframphysics.org/universes/
不同規則下的宇宙模型
所有可能的規則
當然，我們現在還沒找到宇宙的「基本規則」究竟是哪一個。有很多「可能的規則」。
先來看一個簡單的三元規則：{{1, 2, 3}，{3, 4, 5}}，用Mathematica中的hypergraph將其可視化：
一個簡單的規則
按照規則中的順序依次將其中的元素連接起來。
同樣的，如果有一個規則是：{{x, y, z}} -> {{w, w, y}, {w, x, z}}，那麼可以得到：
一個簡單的規則
利用上面這個規則，我們從{{0, 0, 0}}這個最簡單的初始狀態開始迭代，我們可以得到：
不同迭代步下得到的圖形
如果我們隨機選取一些「起始規則」，我們可以得到不同的結果：
利用不同規則得到的圖形
從上面的圖我們可以看到，有的規則下的圖形很複雜，有的看起來很簡單。那麼，如果將某個規則無限迭代下去，會生成我們的宇宙嘛？上圖中的迭代步數只有幾千步，要想利用這些規則來窺見我們真實的宇宙可能需要10500甚至更多的迭代步數。
這個迭代步數遠超計算機的極限，所以恐怕我們無法用這個方法來得到我們的宇宙了。但是Wolfram在其中發現了一些和物理學對應的現象。
空間
我們來看一個規則：{{x, y, y}, {z, x, u}} -> {{y, v, y}, {y, z, v}, {u, v, v}}
得到的圖形
如果依然從{{0, 0, 0}}開始迭代:
前20步得到的圖形
繼續這樣進行下去，第200步得到的圖形：
第200步得到的圖形
第500步得到的圖形：
第500步得到的圖形
這兩個圖形我們可以看作是「空間」的一部分了，再往後迭代只會使網格越來越密集，不會造成太大形態上的差異。
再來看看其他的規則，{{x, x, y}, {z, u, x}} -> {{u, u, z}, {v, u, v}, {v, y, x}}，第2000步得到的圖形：
第2000步的圖形
和之前那個圖看起來不同，這張是不是有點3D的感覺了？
再來一個規則，{{x, y, z}, {u, y, v}} -> {{w, z, x}, {z, w, u}, {x, y, w}}，第1000步：
第1000步得到的圖形
這張就看起來完全是個3D的模型了。如果我們給這個圖形的網格中加上面的話，就會得到：
加上面後，第2000步
Wolfram認為，這就是宇宙中「空間」的樣子，空間是一群抽象的、離散的點的集合，從更大的尺度上看，這群點就成了連續的「空間」。
就像水一樣，我們看它是連續的流體，事實上水再空間中也是很多水分子抱在一起組成的。
水分子模型
Wolfram認為，離散空間的概念對「萬物理論」至關重要。
空間的維度
前面幾張圖都看起來很有規律，所以我們直觀上可以很容易地判別圖形的維度。但是如果形狀複雜、無序的話，改如何定義它的維度呢？比如：
一個規則下第22步的形狀
我們該用何種方式來定義它的維度呢？哦對別忘了，我們前面的三維圖中，給圖形加上面只是為了可視化，讓我們更直觀地感受三維。但是事實上，這些由規則生成的圖形是沒有坐標、沒有幾何形狀的。
我們來看一個10*10的網格結構，它們點的數量、連接方式都相同，但是在不同渲染方式下看起來也完全不同：
四種不同渲染方式下的結構
我們假設一個2D空間中的一個點，這個點朝各個方向延伸距離r：
2D空間中的延伸
在3D空間中就看起來像這樣：
3D空間中的延申
數數圖中紅色點的個數，它們的增長速度分別是r2和r3.
所以利用這個方法，在一個複雜結構中，我們通過計算結構中一個點延伸r步能夠涵蓋的點的數量，從而得出這個結構的維度。
來看這個複雜點的例子：
稍複雜的模型
當然，想要得到準確的維度，r不能隨意取值，如果r太小，得到的緯度值會偏大。R取太大的話，會觸及到模型的邊緣，從而得到偏小的維度值。在上面這個例子中，我們在不同的起始點計算不同r步時的緯度值：
不同r值下的維度值
從圖中可以看出，此模型的有效維度為2.7.
關於這種非整數的維度，如果讀者不太理解的話，可以看看這個視頻：
https://www.bilibili.com/video/BV1wx411C7WT
視頻截圖
（順便安利一下3Blue1Brown這個頻道，b站上有官方帳號，做了很多數學的可視化，有微積分、線性代數等，非常棒！）
寫到這裡想起了劉慈欣的《鏡子》中描繪的2.5維宇宙：
第四個宇宙出現時，所有的人都很迷惑：宇宙呈現一個無際的黑色平面，有無數銀光閃閃的直線與黑的平面垂直相交。看過分析數據後，白冰說：「這個宇宙與上面的相反，維數比我們的低，是個二點五維的宇宙。」 「二點五維？」首長很吃驚。「您看這個黑色沒有厚度的二維平面就是這個宇宙的太空，直徑約500億光年；那些與平面垂直的亮線就是太空中的恆星，她們都有幾億光年長，但無限細，只有一維。分數維的宇宙很少見，我要把這組創世參數記下來。」不得不說，Wolfram就像小說中的白冰一樣，一遍又一遍地玩著創世遊戲，一次次啟動著「宇宙大爆炸」，生成一個個神奇壯觀的宇宙。也許有一天……Wolfram啟動了一組創世參數，在計算機中得到了一個宇宙，就是我們的這一個宇宙。那時會發生什麼呢？我們也會像小說中那樣，是某個規則下的複雜產物？我們也能看到我們的未來嗎？
回到正題。
前面一個圖形：
前面一個圖形
它的維度是：
不同r值下的維度
即維度為2
再看一個很像分形結構的圖形：
一個規則下的圖形
它的維度是：
不同r值下的緯度值
即此圖形的維度為1.58
在某種意義上講，我們上面得到的各種模型都只有「空間」（點和線、面都是抽象的，就像水分子模型中的點和線一樣），而我們的宇宙中所有事物都一定「由空間構成」。換句話說，這些圖形構成了「空間」結構，而萬物都在這個「空間」中。
因此，著意味著例如電子或光子之類的粒子一定與某個圖形的特徵相對應。比如這個例子:
類粒子的圖形
Wolfram估計，能夠代表我們真實宇宙的圖形的「元素」，要比涵蓋了我們宇宙中的一切的「空間結構」還要高出10200倍。
未完待續。。。
參考資料
[1] https://writings.stephenwolfram.com/2020/04/finally-we-may-have-a-path-to-the-fundamental-theory-of-physics-and-its-beautiful/
[2] https://www.wolframscience.com/
[3] https://www.bilibili.com/video/BV1es411Z7pK?from=search&seid=8001470648386017939
[4]https://www.wolframphysics.org/universes/
[5]https://www.bilibili.com/video/BV1wx411C7WT