球場上的電梯任意球，以其難以預判的急速下墜而聞名，尤其是C羅等足壇巨星的電梯球，更是讓很多門將頭疼不已。近日，在中國物理學會期刊網發表的一篇文章中，用詳細的物理學公式和函數圖像，為大家展現了任意球的行進原理。
現代足球不但在規則和比賽陣型等技戰術層面有了長足的發展，而且在技術上也有許多改進和創新。「香蕉球」和「電梯球」就是兩個極具魅力和美感的踢球方式，並經常在足球比賽的實戰中發揮威力。「香蕉球」是指足球飛行中在與地面平行的方向發生偏轉，偏轉運行的軌跡呈弧線形，可以繞進球門。其物理原因在於球的側向旋轉，從而出現馬格努斯效應，產生對足球的側向推力，其運行軌跡類似香蕉形。在2008 年第7 期《物理》發表的閻守勝論文《趣談球類運動的物理》[1]中已經做過討論，孫葆潔和葛惟昆在清華大學開設的慕課(MOOC)《足球運動與科學》中也有過詳述。這裡我們專門從物理原理上介紹在2008 年以後發展的一種新的足球任意球技術，即所謂的「電梯球」，即指大力踢出的足球，下落很快，像是從電梯上下墜。它實際上是高速飛行的足球受到重力和大雷諾數阻力下的運動軌跡。2012 年，義大利人首次把它稱為「電梯球」，用來形容他們的中場核心皮爾洛在波蘭踢出的一個任意球(圖1 中足球正在從最高點急速下落)。
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| 圖1 皮爾洛的「電梯球」[2] |
對拋射物的研究表明，可以觀察到兩種類型的運動軌跡：如果初速度小於自由落體的末速度，將看到伽利略拋物線軌跡， 即上升階段和下落階段的軌跡是對稱的；如果初速度大於末速度，那麼該拋射物將沿著一條不對稱的軌跡減速，即上升階段斜率較小，而在軌跡末端接近成為一個垂直的落體。空氣阻力如同一個牆壁(以下稱為空氣阻力壁)阻礙了拋射物向前的運動，這種軌跡經常出現在體育運動、煙花、灌溉等活動中(見圖2)，下面我們從物理上分析其主要特性。
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| 圖2 不對稱顆粒軌跡的例子(a)磨削；(b)煙花；(c)水的噴射[2] |
對於一個發射體而言， 這實際上就是一個彈道問題， 其主要課題是確定拋射物在空氣中運動時的軌跡。為了表達質量為M和速度為U的粒子拋射物在空氣中運動時的軌跡，需要解下面的運動方程：
| (1) |
式中FG是重力，FA是空氣作用力，初始條件為U(t = 0) =U0 。在(U0，g)平面，其軌跡示於圖3。除了實際的軌跡形狀y(x)之外，在應用中感興趣的還有射程x0、高度h，以及能使射程達到最大的最佳發射角度θ0。本文僅限於討論軌跡形狀。
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| 圖3 軌跡圖示[2] |
為解釋這一彈道問題的多樣性，我們簡單地討論在拋射物為球時的空氣作用力FA(U) 。首先做一個經典的分解：FA = FD + FL ，其中FD為阻力，該力是空氣作用力平行於速度方向的部分，而浮力FL則是垂直於速度方向的部分。
對於不可壓縮的牛頓流體(密度ρ，粘度η)，不旋轉球體(半徑R，速度U)在無限區域內的運動是一個早已解決的經典課題。流體運動的狀態，取決於雷諾數，即流體流動時的慣性力和粘性力( 內摩擦力) 之比，用符號Re 表示。Re 是一個無量綱的參量。在低雷諾數極限下(Re = ρU2R/η ≪ 1，U= |U|) ， 斯託克斯[3]從理論上確定了球在運動中所受到的阻力為FD= -6πηUR 。這個結論在Re≤1的範圍內已被一些學者在實驗上驗證。在高雷諾數情況下，牛頓第一個提出了阻力探索性的表達式： FD= -1/2ρCDπR2UU 。根據埃菲耳的早期實驗， CD ≈0.4—0.5 。這個值也被一些學者在103 < Re < 2 × 105 的範圍內驗證。
對於旋轉球體的研究表明， 球受到的升力FL= 1/2ρCRπR3ω0∧U ，其中ω0 是旋轉矢量， CR是依賴於雷諾數、旋轉數(Sp=Rω0 /U) 和表面粗糙度的係數。對於運動用球，CR 與Re，Sp 的依賴關係較弱。
從上述討論中可知，空氣作用力FA(U) 依賴於雷諾數和旋轉。現在首先考慮大雷諾數純阻力極限，球體的運動方程為
| (2) |
一個很重要的參數為末速度U∞，即穩態(dU/dt = 0) 下的速度。它的矢量形式為U=-U∞ey ，很容易求出
，ey 為縱向單位矢量。
下面我們對軌跡做進一步的分析：
(1)空氣阻力壁的起源
我們通過討論空氣阻力壁來對一般情況下(U0⋀g ≠0) 的(2)式進行分析：沒有阻力(CD＝0) 時，(2)式表明球體永遠不會達到穩態而是在重力作用下一直加速。存在阻力時(CD ≠ 0) ，穩態(dU/dt = 0）出現，(2)式中球體末速度為
| (3) |
式中ℒ =U∞2 /g 為特徵長度。當球體運行達到穩態，此時的速度定義為末速度，它滿足(3)式，該式表明，矢量形式的末速度U∞ 平行於重力加速度g，意味著軌跡是豎直向下的。即是說，一旦阻力出現，軌跡會出現豎直的漸近線。這個豎直的漸近線在特徵長度ℒ 範圍內達到。這一點可以通過將運動方程寫為如下形式更明確地體現出來：
| (4) |
式中s 是沿軌跡的弧長。(4)式沿x方向的投影為dUx /ds = -Uxℒ ， Ux 為速度的水平分量。在初始條件Ux0 =Ux (s = 0) = U0 cos θ0 下， 對這個方程積分，可以得到
| (5) |
如果Ux0 ≠ 0 ，這個方程表明速度的水平分量在距離ℒ 內呈指數下降。在達到這個距離之後，U和U∞ 是平行的。因此特徵長度ℒ 表徵了空氣阻力壁的位置。這一點在下面會有進一步討論。
(2)兩個不同的區間
為確定主導整個軌跡的參數，我們引入兩個約化的變量
和
。上述運動方程(4)式變為
| (6) |
(6)式可以在初始條件
下求解，其中t0是在起點處正切於軌跡的單位矢量。整個系統因此僅由兩個參數主導，分別是初始傾角θ0和初速度與末速度的比值U∞ /U0 。在(6)式中，後一項的初始值為1。由此我們可以區分以下兩個不同的區間：
(i)拋物線區間
在低速發射條件下(U0 ≪U∞) ，(6)式中的第二項在初始時遠大於第三項，運動方程簡化為經典的拋物線方程：
| (7) |
在這個拋物線區間內，速度從初始值U0 增加至末態值U∞ 。
(ii)塔爾塔利亞(Tartaglia) 曲線區間
在高速發射條件下(U0 ≫U∞) ，(6)式中的第二項在初始時遠小於第三項，運動方程可簡化為
| (8) |
積分後可得
。因此軌跡的初始部分是一直線，沿著該直線球體在特徵長度ℒ 內減速。最後的狀態也是一條直線，(6)式中的第二項和最後一項抵消： U=U∞ 。在這兩個區間之間，(6)式中的三項都必須考慮，以連接這兩條直線。軌跡的這些特徵與塔爾塔利亞描述的以及圖4(b)展示的非常接近。因此我們稱在高速度情況下得到的軌跡為塔爾塔利亞曲線。值得強調的是，在這種特殊情況下，運動方程決不可能約化為拋物線，也就是說，(6)式中的前兩項不會抵消。圖4 描繪了以下兩種情況：(a)為低速條件(U0 /U∞ = 0.31) ； (b) 為高速條件(U0 /U∞ = 100) 。
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| 圖4 在相同初始角度θ0 = 45° 時兩種不同軌跡的圖示(a) U0 /U∞ = 0.31 ； (b)U0 /U∞ = 100 (圖中縱坐標和橫坐標分別表示以特徵長度ℒ 度量的球體運行高度和距離)[2] |
綜上所述可知，簡單的物理研究可以很精確地分析受到重力影響和大雷諾數阻力下球體的運動軌跡。不同球體在阻力與重力平衡時的末速度不同。對於不同的發射速度，可以觀察到兩種不同的軌跡：當初速度小於末速度時，球體軌跡為經典的伽利略拋物線；當發射速度超過末速度時，軌跡不再是拋物線，而是稱為塔爾塔利亞的非對稱曲線。在兩種極限下，軌跡展現出豎直的漸近軌跡(空氣阻力壁)，可以有解析表達式，給出空氣阻力壁的位置和射程。這兩個量在高速度情況下都表現出對數飽和。這種飽和在一些領域內有意義，例如旋轉如何改變球的飛行。這些分析提供了對電梯球這樣饒有興味的足球現象的深入理解。
球的運動有物理規律可循，物理學家可以從這個角度對體育運動提供科學的幫助。對於足球運動員來說，當然不需要去探究電梯球的物理細節，只要知道，它需要極高的初速度，不用旋轉，就能踢出像葡萄牙運動員C羅那樣漂亮的任意球，急落於對方球門之內！速度是關鍵。目前所知球速最快的任意球是德國運動員馬特烏斯踢出的，時速大約為210 公裡/小時；C 羅踢出的球速可達100 公裡/小時以上， 這就是致力於踢好任意球的運動員努力的目標。「電梯球」也可以加旋轉，例如最近廣州恆大足球隊巴西球員保利尼奧(暱稱暴力鳥)一記用外腳背踢出，直接旋進網窩的「電梯球」。
最後要指出，阻力壁這種空氣動力學效應與球體本身的形貌有很大關係。就足球而言，從中國古代的蹴鞠到現代足球，形貌發生了重大變化。現代足球最初由32 塊皮子組成，12 塊正五邊形，20 塊正六邊形，與著名的碳60 分子表面一樣，是一種非常堅固的結構。後來經歷歷屆世界盃的沿革， 足球由32 塊皮子發展為14 塊、8 塊，直到2014年巴西世界盃採用的由6 塊皮子組成的所謂「桑巴榮耀」足球。這種球不但減少了皮子之間的縫隙數量，表面還布滿小突起，因此對空氣阻力壁的形成有削弱的作用。有物理學家專門研究了這個現象[4]。事實也證明，在巴西世界盃和此後的國際比賽中，「 電梯球」大大減少。C 羅本人現在的任意球成功率大大降低，應該也與此有關。
致謝 感謝法國國家科學院(CNRS)C. Clanet教授的支持。
參考文獻
[1] 閻守勝. 物理，2008，37(7)：482
[2] Cohen C，Darbois-Texier，Dupeux G et al. Proc. R. Soc. A，2013，470：0497
[3] Stokes G G. Trans. Camb. Philos. Soc.，1851，9：8
[4] Hong Sung-chan，Asai Take-shi. Scientific Report，2014，4：2154
來源：中國物理學會期刊網