【泡泡圖靈智庫】手眼標定問題的最優最小二乘解

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標題：Optimal least-squares solution to the hand-eye calibration problem

作者：Amit Dekel,Linus H renstam-Nielsen,Sergio Caccamo Univrses

來源：CVPR 2020

播音員：

編譯：尹雙雙

審核：李永飛

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摘要

大家好，今天為大家帶來的文章是——Optimal least-squares solution to the hand-eye calibration problem.

本文針對使用對偶四元數求解噪聲下手眼校準問題提出了最小二乘公式，並基於問題的解析性質，引入了高效的算法來找到精確的最佳解，從而避免了非線性優化。我們還提出了簡單的解析近似解，與精確解相比，該解提供了非常好的估計。此外，我們展示了針對代價函數中的給定先驗知識如何使用我們的解決方案。據我們所知，我們的算法是解決手眼校準問題的最有效方法。

主要貢獻

（1）本文利用對偶四元數表述最小化問題，其代價函數是二次函數，受非線性約束影響。我們的方法是將約束添加為兩個拉格朗日乘數項，並研究它們的解析性質。我們提出了幾種非等效的方法來找到最佳解以及表現出色的解析近似解。

（2）明確給出當添加先驗信息到問題時，如何擴展本文算法進行最大後驗估計或退化情況下正則化。

（3）在仿真和真實數據集上對比其他算法，表明本文算法尋找最優解的正確性。

算法流程

首先建立SE(3)與DQ( dual-quaternion)單元之間的連接，然後使用DQ表述手眼標定，並介紹最小化問題。然後討論代價函數的性質並提出解決問題的算法。接下來，我們將公式擴展為包括一個先驗項。

1. SE(3)的對偶四元數表示

常見的變換矩陣[R|T]可以表示如下式：

關於DQ的方程式總是可以分為兩個方程式，一個方程式是用於表示純四元數的「原始」部分，另一個方程式是用於四元數的「對偶」部分。

2.對偶四元數表述手眼標定問題

一般手眼標定問題可以列出一系列AX=XB的方程式：

式中C和H都是相對位姿變換矩陣，對偶四元數表示：

然後把四元數乘法表述成矩陣形式：

用A，B舉證簡化上式：

2.1 最小化問題

我們將最小化問題定義為（7）中兩個方程的殘差的平方L2範數的同時最小化，即：

然後通過（10）得到q'代入前一個公式，有：

由於第一個約束|q|^2=1能通過正則化解滿足，然後第二個約束q.q『=0意味著：

雖然我們可以輕鬆地將（12）作為給定 的特徵值問題解，但通常無法滿足（14）。另外把（14）代入（12）中會導致高度非線性的問題。

矩陣Z（ ）是實數，並且對於任何實數 是對稱的，因此其特徵值是實數。我們進一步注意到Z2是正半定的（因為它是A T A的倒數），所以Z0也是。考慮到這些性質，由於馮·諾伊曼-維格納定理的結果，在我們改變μ時，（12）中的特徵值曲線λi（μ）（按其值排序的四個根中的每個根）通常不應相交。求解的一種方法是利用（12）定義的實數代數曲線給出的拉格朗日乘數參數空間：

圖2，拉格朗日乘數空間。

約束q( )·q'( )= 0決定了曲線λi( )上的哪些點與解相對應。我們得出結論，最小特徵值極值必須對應於λ0( )的唯一最大值。還要注意，λ0(μ)可以寫為一組凹函數的最小值，因此它本身就是凹的(或等效地，-λ0(μ)是凸的)。這意味著我們可以通過找到此函數的最大值並提取相應的q，q』來有效解決手眼校準問題。

2.2 最小化問題求解

Optimal 1D line search（DQOpt）

Two steps (DQ2steps)

Convex relaxation (DQCovRlx)

Second order approximation (DQ2ndOrd)

Iterative solution (DQItr)

2.3 添加先驗

手眼標定問題並不總是很好解決，例如在平面運動情況下，自由度不是固定的，可能需要一個正則化得到唯一解。此外MAP概率估計需要先驗。

主要結果

表1：上表：DQOpt和我們其他算法之間（有符號的）相對差異（在2450個實際數據運行中平均）的結果。正值表示對比算法具有較高的代價函數。下表：算法在24500個實際數據運行的平均時耗。

圖3，仿真實驗。通過顯示當相對姿勢受旋轉和平移噪聲增加時求解的誤差響應，我們比較了Dan和DQOpt在三個不同運動上的誤差。

表2，真實和仿真數據實驗。

Abstract

We propose a least-squares formulation to the noisy hand-eye calibration problem using dual-quaternions, and introduce efficient algorithms to find the exact optimal solution,based on analytic properties of the problem, avoiding non-linear optimization. We further present simple analytic approximate solutions which provide remarkably good estimations compared to the exact solution. In addition, we show how to generalize our solution to account for a given extrinsic prior in the cost function. To the best of our knowledge our algorithm is the most efficient approach to optimally solve the hand-eye calibration problem.

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