轉載｜物理和數學雜談

作者：科普君Xue Shu雪樹

日期：2020-08-05

量子力學聽起來是不是很酷炫？各種科普滿天飛。相比起來，牛頓力學就遜色不少，散發著幾百年前的古舊氣息。
這其中有不少錯覺。
一個在平面上滾動的球，屬於牛頓力學範疇；而一個在磁場中自旋起舞的電子，是典型的量子問題。即使是搞物理的同學或者物理學家，也往往認為後者更高級，它是物理學革命的產物。這其中有不少錯覺。
實際上經典的牛頓力學和量子力學之間的相似性和傳承性，遠比你能想像到的要大得多。
按照馬赫的說法，物理學中並沒有革命。
兩者不只是一脈相承，有時甚至是無縫對接。
理論框架層面的無縫滑動和類比，這裡就不贅述了。
這裡只提一個具體例子層面的對應。
我最近看到的一篇文章（圖1圖2），竟然把前面提到的磁場中電子的動力學問題，和剛體球(就是說這個球很剛硬，不會變形)在平面或曲面上的運動學問題，一一對應起來了。

就是說，通過一個數學變換，可以把前者的牛頓力學運動學範疇的方程，變成量子力學動力學範疇的薛丁格方程。
這樣，兩個不同的領域，至少在這一大類問題上，就可以互相借鑑，互通有無了。
一百二十年前，物理學家索末菲和數學家克萊因，曾經合著過一本剛體力學的大部頭著作《陀螺理論》（德文版），十年前，這本書被翻譯成英文版了。之所以過了這麼久才翻譯，某種程度上可能就是因為大家意識到，原來這麼古老的學科也如此富有生機。
最有趣的是，藉助這兩個方程的對應，物理學家Kholodenko（圖3）順手巧妙地解決了一個非常變態的多重積分（圖2）。解決這個問題的要點在於，他不是單純從數學角度看待這個積分，而是把它嵌入一個更大的框架內：把這個積分看作方程的一個解。而這個方程本身又可以嵌入到物理學中：數學家是很難想到這個方程的，但從物理學角度來看，它是非常自然的。然後把剛體力學的方程變換成薛丁格方程。薛丁格的方程的解也可以看成一個積分。這個積分跟前面那個積分之間有一個簡單的關係，可是它比前面那個積分簡單多了。解決了這個積分，前面那個積分也就迎刃而解了。
真是妙極。
用個初等的例子來打比方的話，這種感覺有點像，你如果在直角坐標系中求圓的面積，那是需要一點點技巧有一點點難度的，但是如果你把坐標系從直角坐標系變成極坐標，然後在這個框架下，求圓的面積，簡直是小菜一碟了。因為極坐標就是看待圓形的最佳視角。
當然，這個比方不太恰當，因為它沒有涉及到物理。
這兩篇文章對我最大的啟發是，它部分解決了我長久以來的一個困惑。大家要知道，物理學的所有定律，本質上都有統計的特性或層展（emergent）的特性，都是近似的，它最多只是近似的正確。在物理學中並沒有絕對正確。所有理論都是錯的，只是其中有一些更好用。這跟數學完全不一樣。數學中，一個定理一旦證明了，一萬年後再看，它還是對的。歷史和現實告訴我們，物理學和數學往往攜手並進。矛盾在於，物理學這樣一個相對正確的科學，為什麼能給數學帶來絕對正確的進展？譬如，最近半個世紀，弦理論堪稱耀眼奪目，連數學家們也歡喜得不得了。因為在弦理論的框架下，一大堆數學難題得到了解決。它簡直就是個下金蛋的母雞。可是，弦理論這樣一個在物理上都沒站穩腳跟的近似的物理學框架，為什麼竟然能帶來絕對正確的數學進展？
我們還是以上面的積分和剛體力學為例，來給出一個片面的回答。
我們把這個複雜的多重積分看作一個未知的數學難題，來看一下它是怎樣得到解決的。
前面提到，這個複雜的積分，可以看作一個方程的特殊解。你如果把這個方程告訴數學家，告訴他這個方程的一個特殊解是這個積分。然後你告訴他，做一個變換，去解另一個方程的積分，因為它更簡單。他去驗證，果然如此。他其實能跟得上物理學家的節奏，因為這些步驟和方程都是絕對精確的。剛體方程描述了剛體的運動，從物理學角度而言，我們說它近似，是指這個方程跟現實世界做對比的時候，不能完全匹配。但是你如果不管這一點，只從數學本身看，它作為一個方程而言，則是絕對正確的。數學家也完全能看懂這個方程，問題在於，他極難想到這個方程。且不說，他根本想不到去把積分嵌入一個方程，即使想到了，從積分逆推方程，是逆流而上，也極難。數學家隨手就可以寫出成千上萬個方程，但從概率的角度講，它們幾乎都是變態的沒用的。數學家幾乎不可能想到眼前這一個最適合這個難題的方程。這就是為什麼數學家看到它時能看懂，卻會感到不可思議。但從物理學家的角度看，這一切都很自然。物理學的方程跟現實世界相比，雖然肯定是近似的，但它畢竟有很大的合理性。物理學家藉由近似的物理理論和物理直覺的指引，列出了一個方程，這個方程本身是絕對精確的。然後自然而然求解方程得到了一個積分。這個過程是順流而下。一個球在平面上滾動，這不是很自然的事嗎？數學方程有千千萬萬，而物理學家有著看待這個世界的最自然的視角，他們能找出那些最自然的方程。而這些自然而然的東西必然蘊含著豐富重要的結構——數學結構。是的，物理理論確實是近似的。但是只要它的框架是合理的，它的視角是自然的，它的方程就是重要的。反過來說也往往是對的，一個物理理論越是合理，合乎自然之理，它的數學結構就越是重要。正是從這個意義上講，為什麼如此多的物理學家對弦理論著迷，認為它一定在正確的路上（on the right track）。上帝賦予它如此有趣的數學結構，它一定有著不同尋常的合理之處。
逆流而上和順流而下，是兩種不同的境界。這就是為什麼物理學不斷給數學帶來奇蹟。
【我是雪樹，讓我們一起撩撥宇宙的琴弦】
注釋：
1、詳細的物理對應和解釋，請看這篇文章：
KINEMATICS OF THE ROLLING SPHERE AND QUANTUM SPIN. ANTHONY M. BLOCH† AND ALBERTO G. ROJO
這個對應最早是由費曼發現的。
2、用這種對應來解決一個極難的數學上的多重積分，請看這篇文章：
When physics helps mathematics: calculation of the sophisticated
multiple integral. A. L. Kholodenko
3、這個具體的數學變換叫霍普夫映射。