【知識庫】關於應力不變量與主應力分量之間的數學關係

2021-02-23 築信達

——源自築信達知識庫，Plaxis常見問題

問題描述：

如下所示，在 PLAXIS 3D Output 輸出的有效主應力和總主應力列表中，黃色高亮的應力不變量 p，q 以及 τ 與三個主應力分量之間存在怎樣的數學關係呢？

解答：

以上表中所示的有效主應力的分量和不變量為例，依次介紹各個不變量的含義及計算公式。

第一，p 或 p『 稱為平均總應力或平均有效應力，其數值為三個主應力分量的算術平均值。以表中數據為例，p『=(σ『_1+σ『_2+σ『_3)/3=-(229.043+99.260+68.819)/3=-132.374。

第二，q 稱為偏應力（PLAXIS）或廣義剪應力/等效剪應力，其計算公式即材料力學中第四強度理論（形狀改變能密度理論）的等效應力，如下所示。以表中數據為例， q=(((229.043-99.260)^2+(99.260-68.819)^2+(68.819-229.043)^2)/2)^0.5=147.381。

      第三，τ_mob 為當前應力狀態下的最大剪應力，也就是莫爾應力圓的半徑，其數值為最大主應力與最小主應力的差值的一半。以表中數據為例，τ_mob=(229.043-68.819)/2=80.112。

      第四，τ_max 為在圓心保持不變且半徑逐漸增大的條件下，與庫倫破壞包線相切的莫爾應力圓的半徑，也就是土體破壞的臨界剪應力。該臨界剪應力的計算公式和示意圖如下所示，以表中數據（c =5，φ=31）為例，τ_max=(229.043+68.819)/2*sin(31)+5*cos(31)=80.991。

      第五，τ_rel 稱為相對剪應力，其數值為當前最大剪應力與臨界破壞剪應力的比值。以表中數據為例，τ_rel=τ_mob/τ_max=80.112/80.991=0.989。

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