一文讀懂材料力學的核心內容——應力應變

《材料力學》這門課程是從理論力學到固體力學之間的一門過渡性學科，起到了承前啟後的作用。固體力學又有很多分支，其中的彈性力學比材料力學研究更加深入，材料力學只是彈性力學在工程中的一階近似理論。

由於材料力學是一階近似理論。所以可以認為，任何研究的物體都可以是連續均勻的彈性體，每個彈性體可以分割成若干無窮小的單元，我們稱之為單元體，單元體的每個面都作用著正應力和切應力。尋找單元體的最大應力值，對於工程實際具有十分重要的意義。

根據圖片我們能夠看到，每個面上都存在一個垂直於面的正應力，以及兩個相互垂直且平行於面的切應力。我們都知道，任何單元體都是處於靜力平衡狀態，所以根據對稱性，我們只需要研究三個面，9個力的分量就可以了。而根據切應力互等定理，相鄰平面的切應力相等，所以最終變成6個獨立分量。

我們在課堂上或者課本上學應力應變的時候，都會學到平面應力狀態或者三向應力狀態，會學到求解最大主應力的解析法以及圖解法。會背大量的公式，甚至經常是背了後面的忘了前面的。但在背公式的過程中，我們是不是經常會感覺到，這些公式中依稀有著某種特定的聯繫，只是我們很難把握到罷了。但當我們學的越多，比如學到主慣性矩，學到轉軸公式的時候，看著和應力應變這裡簡直一個模子刻出來的公式，更堅定了他們之間存在某種聯繫的想法。但究竟存在什麼聯繫呢？可以看下面這張圖。

這張圖大致能解決大家在學應力應變時存在的一些困擾。一般情況下，我們遇到的單元體是一個普通意義上的單元體，存在我們說的正應力和切應力。但當我們把坐標系有規律的轉動幾下，我們竟然神奇地發現，單元體的切應力消失了，只留下相互垂直的三個方向的正應力。而這種切應力為零的狀態，我們稱之為主應力狀態，三個正應力稱為主應力。我們工程中要尋找的可能破壞結構的最大應力值也就存在其中。

那麼三個主應力就一定相互垂直嗎？就一定存在一個切應力為零的狀態嗎？答案是肯定的，因為已經有論文證明了主單元體的這一特點，我在這裡就不贅述了，大家有興趣可以去搜索相關的論文。而且還可以說明的是，對於每一個單元體而言，主應力狀態是唯一確定的，不會隨著坐標系的改變而改變。主應力之間也存在某些必然的聯繫。這一點可以參看後面的延伸資料部分。

那大家有沒有覺得這種從一般狀態到某一特殊狀態的過程很像我們數學裡學過的某一解題過程啊？對了，就是矩陣的對角化。所以，這裡我們引入應力矩陣，簡單來說，就是把9個應力分量放進矩陣裡，構成一般形式的應力矩陣，如圖所示。

經過對角化變換，

可以最終獲得一個對角矩陣。

而這個對角矩陣對角線上的值，就是我們需要求的三個主應力。而開始時候的矩陣，可以看成是主應力矩陣的相似矩陣。在正常情況下，我們只會看到一個個相似矩陣，只有經過相似對角化，才能求得最終的主應力矩陣。在宏觀上的表現就是通過變換坐標系，求得某一特殊坐標系下的特殊應力狀態。那麼看到這裡，大家是不是又多了一種求解主應力的方法呢，是不是打開了一扇新世界的大門呢？

通過舉一反三，大家應該能想到。除了應力矩陣，肯定還會有應變矩陣，廣義胡克定律矩陣等等，由於內容較多，我這裡就不一一介紹了，總之，矩陣的應用，為應力應變的分析提供了新的方法，也為工程中有限元分析，奠定了基礎。（有限元法最初也被稱為矩陣近似方法）

對於轉軸公式，主慣性距部分，可以和應力應變對比來看，慣性積類比為切應力，慣性矩類比為正應力，所以慣性積為零的一對坐標軸就是主慣性軸，這時的慣性矩就是主慣性距。而截面的幾何性質更像是應力應變的宏觀表現。同樣能夠用到解析法，圖解法，同樣，也能用到本文介紹的矩陣法，他們的每一個慣性主軸都是唯一存在的，只是因為坐標系不同，而表現不同罷了。

我們都吃過楊國福或者張亮麻辣燙是吧，這裡呢，給大家延伸一個概念，就是張量，很容易記是吧（開個玩笑）。它是力學裡邊一個有力的數學工具，簡單來講，剛剛我們用到的應力矩陣就是張量的一種形式，我們可以稱之為應力張量，用矩陣的形式來表示一個點的應力狀態。零階張量是直觀的數值，我們稱之為標量，當標量有了方向就變成了矢量，可以用一維數組表示，我們稱之為一階張量，當不同的矢量聚集在一起，用矢量這個詞不足以表示的時候，我們就只能用這個「張開的量」（矢量朝著不同的方向，像張開的花瓣一樣）來表示，而應力應變組成的矩陣就是二階張量。

在應力張量中，存在三個不變量。這三個係數由三個主應力值唯一確定，不隨坐標系的變化而變化，叫做應力張量不變量，第一個為應力張量第一不變量，以此類推，表示了三個主應力之間暗藏的關係。

用一般應力表示為

那麼這三個不變量到底有什麼用呢？我舉個例子

這個式子可以總結為，單元體的任意三個垂直方向上的應力之和為一個常數，接下來應該不用我說怎麼用了吧。

同理，應變張量不變量可以表示為

用法和應力張量不變量一樣，這裡就不再贅述了。