匪夷所思,粒子也有「自由意志」——康威嚴格的數學證明

我們必須相信自由意志，我們別無選擇。——艾薩克·辛格

2020年4月11日，約翰·康威死於由COVID-19引起的併發症。康威的死給人一種復活它的感覺。

2004年，普林斯頓大學的約翰·康威和西蒙·柯辰證明了自由意志定理。這個定理如下：

如果存在有自由意志的實驗者，那麼基本粒子也有自由意志。

換句話說，如果一些實驗者的行為不是完全預先決定的，那麼基本粒子的行為也不是它們先前歷史的函數。這是一個非常強大的「無隱變量」定理。

這個結果目前還沒有發表，但是，在2005年1月27日，康威博士在奧克蘭大學做了一個關於這個定理的公開演講。請注意我不是一個物理學家，不理解一些微妙的量子力學的細微差別。如果發現這樣的錯誤，一定要告訴我，以便我改正。

引用了康威博士對費曼語錄的複述：如果你遇到一個自稱了解量子力學的人，你唯一能確定的就是你遇到了一個騙子。

康威的演講內容豐富、有趣，而且通俗易懂。聽眾不僅包括數學家和物理學家，還有許多計算機科學家、哲學家，至少還有一位神學家。

假設

康威對自由意志定理的證明依賴於他們稱之為自旋、孿生和鰭的三個公理：

自旋：粒子有101個性質。這意味著當在三個相互垂直的方向上，測量一個自旋為1的粒子的自旋的平方時，測量結果將是兩個1和一個0。

信息傳播速度（FIN）：信息傳播的速度有一個有限的上限。

孿生：如果兩個粒子的總角動量是0，那麼如果一個粒子的角動量是s，其他粒子的角動量一定是-s。

康威在演講中詳述了這些公理。根據他的證明，如果你不同意他的結論，你一定也不同意這些公理中的一個。這些都是公理，因此它們的陳述沒有證據，然而，這兩個公理——自旋和孿生，可以通過實驗來驗證。此外，其中一些實驗實際上已經完成，它們支持自旋和孿生公理。

康威說，雖然他相信「信息傳播速度具有上限」是真實的，但他指出，在實驗中，它是三個公理中最有爭議的一個，因為這不能用實驗來證實。相對論認為光速是信息傳遞速度的上限。FIN並不要求相對論是正確的。

Kochen-Specker悖論

康威描述了Kochen-Specker悖論的一個簡化版本。這個悖論是自旋公理的結果。

當測量一個自旋為1的粒子沿一個方向的自旋時，可能的值是:、：

平行於方向(+1)

垂直於方向(0)

反平行於方向(-1)

如前所述，自旋公理討論自旋的平方，因此值被限制為1、0和1。假設一個粒子已經決定了它在各個方向上的自旋。當一個實驗者測量它在某個方向上的自旋時，粒子只是簡單地「回答」它已經預先確定的自旋值。康威證明了這是不可能的，因為沒有辦法把0和1分配給所有我們可以測量粒子的方向，同時又與自旋公理保持一致。康威表示，即使一個實驗者被限制在僅僅33個方向上，一個粒子也不可能預先確定它在所有33個方向上的自旋的平方，並且仍然與自旋一致。

想像一個立方體緊緊圍繞著一個球體。在立方體的每個面上，我們畫一個圓，在每個圓內畫一個正方形，在正方形的四個角上與圓接觸。我們把每個這樣的方塊分成四個小方塊，並在立方體上標記以下點。

我們用這種方法在立方體上得到33個點(每個面9個點，3個面+每個邊1個點，6個邊)。這些代表了測量一個粒子的33個方向。

讓我們嘗試為這33個與SPIN一致的點分配一個可能的值集0和1。首先，我們只需要33個點，而不是66個點，因為無論你從一個方向還是從相反的方向測量一個粒子，我們得到的值是一樣的。

我們選擇了一些任意的方向來分配自旋。對於其中一個維度，我們注意到，如果自旋是沿著紅色箭頭的方向測量的，那麼它一定是1，因為它與綠色的自旋0是正交的。

在不失一般性的前提下，讓我們假設從立方體的一個面中心觀察粒子時，測量值為0。然後根據101原理我們知道剩下的面方向的測量值必須是1因為這些面是正交的。

事實上，平面上穿過正方體中間的每一點都與我們的初始方向正交，因此，自旋的平方一定是1。

如果我們繼續這樣做，我們就可以推導出一個滿足自旋的粒子的自旋。然而，我們已經成功地推導出32個方向的自旋(在上面的圖中，綠色表示0，紅色表示1)，我們發現這32個測量值和自旋力的最終測量值(黃色表示)都是0和1，這是不可能的！

我們選擇了33個方向來測量這個粒子，但沒有辦法給每個方向都賦予一個自旋值。有一個很好的Python腳本，它允許在這裡交互式地嘗試這個實驗。這個腳本用於生成上面的圖片。

這是什麼意思？它的意思有兩個：

每個粒子的測量不是獨立的，而是依賴於環境。換句話說，進行測量的順序很重要，一個粒子在給定方向上的自旋值取決於該粒子在其他方向上的測量歷史。這些度量是不可交換的。

另一種情況是，在實驗人員實際測量之前，粒子不會決定它在任何方向上的自旋值。

這個結果被稱為Kochen-Specker悖論，1967年由Simon Kochen和Ernst Specker發現。康威說，雖然這是一個有趣的結果，但測量是可交換的假設是不可檢驗的。

一旦你踏入一條河，你就不可能第二次踏入那條河，因為從某種意義上說，它現在已經是另一條河了。

愛波羅悖論

阿爾伯特·愛因斯坦，鮑裡斯·波多爾斯基和內森·羅森

康威談到了愛波羅悖論和孿生公理。1935年，阿爾伯特·愛因斯坦、鮑裡斯·波多爾斯基和內森·羅森提出了一項思想實驗，希望證明他們所認為的量子力學的缺陷。這個思維實驗被稱為愛波羅悖論。

想像兩個粒子開始相互作用。我們測量它們的總角動量或者自旋，會得到-2到2之間的值。幸運的話，總角動量是0。這意味著有一對自旋之和為零的粒子，可能有一個自旋為1的粒子，另一個自旋為-1，或者有兩個自旋為0的粒子。注意，如果平方粒子的自旋，會得到每一對相同的值。這就是說，如果兩個粒子的總角動量為零，那麼從某個方向測量的一個粒子的自旋的平方與另一個粒子的自旋的平方是相同的，不管這些粒子在被測量之前會相距多遠。

愛因斯坦和他的同事想要證明的悖論是，在量子系統的一個部分進行測量，可能會對系統其他部分的測量產生瞬時影響。

康威的證明

假設有兩個粒子P 和P 。進一步假設這些粒子在一起的角動量為零。我們允許P 和P 相距很遠。現在我們從三個正交方向（即x, y和z）測量P 。我們從方向ω測量P ，其中ω與x，y或z之一相同。

讓測量粒子的P 和P 被表示成兩個函數f 和f 。該函數的輸出取決於：

我們測量的特定方向

我們測量的順序

僅適用於P 的其他信息

僅適用於P 的其他信息

可用於P 和P 的其他信息。

請注意，這個證明的新穎之處在於，我們允許粒子獲得任何數量的額外信息(在我們三個初始假設的約束下)，包括它們過去的歷史和交互能力。康威說:「我們甚至可以想像，當我們決定實驗的順序時，這些粒子可能在『聽』我們，它們可能在以某種方式交流。我們將表明，這些信息不能幫助粒子提前「決定」返回什麼值。相反，粒子的自旋值在實驗人員決定測量粒子的方向之前是無法確定的。

考慮這兩個函數：

f （y，（z，x，y）， I ， I ， I ）

f （ω，（ω）， I ， I ， I ）

這裡：

第一個參數是被測量的方向

第二個參數是測量方向的順序

第三個參數是僅P 可用的信息

第四個參數是僅P 可用的信息

最後一個是P 和P 都可用的信息

根據FIN的原理，兩個粒子之間的信息傳遞是以有限的速度進行的。

展示了這兩個粒子以及它們各自可以及時獲得的信息

……

最後康威證明，一個粒子的自旋僅僅取決於它被測量的方向，而與它的歷史無關。但是我們已經從Kochen-Specker悖論中看到，一個粒子不可能以一種與自旋一致的方式預先確定它在每個方向上的自旋。

康威由此得出結論，如果實驗者有足夠的自由意志來決定他將測量粒子的方向，那麼粒子也必須有自由意志來決定其在這些方向上的自旋值，這樣它才能符合第101條性質。康威博士說他相信自己有自由意志。他舉起一支粉筆，說他覺得他可以選擇是放棄還是繼續拿著它。他說他的定理使他接受宇宙充滿了自由意志。他還說，雖然他沒有任何證據，但他相信粒子的自由意志是他作為一個人的自由意志的來源。

康威博士是否「混淆了隨機性和自由意志」？

康威說他已經精確地用數學方法證明了，如果一個特定的特性被實驗員證明了，那麼同樣的特性也會被粒子證明。他在構造他的定理時，在他的定理的前提和結論中使用了相同的術語「自由意志」。他說他並不在乎人們怎麼稱呼它。有些人選擇稱它為「自由意志」，只有在涉及到一些判斷的時候。他說，他覺得「自由意志」如果不受判斷的束縛，就會更自由——這幾乎是一種奇想。

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