量子力學是對物質行為包括行為細節描述的一種物理學理論，尤其是對發生在原子尺度上的事件的精確描述。微觀粒子具有波粒二象性，是不確定的，怎麼量子力學卻是精確的呢？ 要回答這個問題，我們就必須要了解物理學家們是如何對微觀粒子進行測量的實際問題。
一、測量問題的提出
20世紀初，物理學研究的範圍從宏觀進入到了微觀領域。光子、電子等微觀粒子成為了物理學家們的研究對象。當波爾提出了原子結構（軌道模型）之後，一個巨大的困難擺在所有物理學家們的面前——直接觀測電子在原子內的位置和速度是不可能的。
在經典力學中，行星圍繞太陽公轉是一種非常簡單的周期性運動。我在專欄《物理的門道》中介紹過，克卜勒計算火星軌道的時候，利用的是行星的位置和速度（角速度）數據。
按照克卜勒的思路，結合軌道模型，想弄清楚電子在核外運動的規律，同樣需要測量的物理量也應該是電子的位置和速度。很顯然這個方法用在原子內的電子身上行不通。
按照波爾的解釋，電子在原子內的軌道之間發生躍遷的話，就會釋放出電磁波（發光），而光是可以被儀器探測到的。通過檢測光的頻率和強度，物理學家們就可以間接了解到電子在原子核外的運行規律。波原子模型在解釋氫原子光譜上，理論計算與實驗檢測符合得非常好，所以根據這個模型來推測電子在核外的運動規律是有一定基礎的。
二、對可觀測的物理量建立數學模型
在經典物理中，描述質點的運動是用運動方程。同樣道理，對於電子在原子核外的運動我們也需要建立一個數學方程來描述。電子在核外軌道上做周期性運動，周期性運動可以用周期函數來描述，而周期函數可以展開為傅立葉級數，展開後得到的就是頻率和振幅。
觀察氫原子的譜線可以發現，這些譜線並不是等間距（譜線的位置代表頻率，間距就是頻率差）分布的，譜線的頻率之間呈現雜亂無章的狀態。所以描述譜線展開的傅立葉級數應該是一種變異傅立葉級數。
這就像我們的人民幣一樣，不是1元、2元、3元、4元、5元、6元……面值為等間隔，而是只有1元、2元、5元、10元……這些基本面值。通過這些基本面值可以組合成任何需要支付的錢數。
【補充閱讀】法國數學家傅立葉發現，任何周期函數都可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示，後世稱傅立葉級數為一種特殊的三角級數，根據歐拉公式，三角函數又能化成指數形式，也稱傅立葉級數為一種指數級數。
三、從數學模型回到物理測量
如果這種變異的傅立葉級數展開是可能的，那麼兩個軌道的乘積滿足一個很奇怪的求和規律。這種描述實在太數學了，咱們翻譯成物理的語言，就是說電子的周期性運動可以分解成很多子運動的疊加，這些子運動又能描述為一些更基本的運動的疊加。
把電子在核外的運動分解為傅立葉級數之後，得到的是所有可能的頻率和振幅。從這個角度回頭再看玻爾的原子模型的話，電子軌道並沒有什麼存在的意義，或者直接說，電子是沒有軌道的。進一步思考，如果電子沒有軌道，那麼電子的位置和速度這兩個物理量就沒有意義。
可能有的小夥伴們已經看出來了，只要拋棄不可觀測的電子軌道概念，通過測量可觀測的物理量——電子在原子核內躍遷所釋放的光的波長和強度，就能夠利用傅立葉變換，還原出電子在原子核外運動的數學模型，從而掌握電子在原子核外的運動規律。
寫到這裡，我們已經幹掉了波爾（的軌道模型），把電子的行為（運動規律）與宏觀可探測物理量（波長和振幅）之間建立了直接的聯繫。這就是為什麼，我在文章開篇就說到的，量子力學是一門非常講究測量、非常精確的的物理學的原因。
結束語
測量是物理和數學的本質性區別，正是因為量子力學是建立在對可觀測物理量的精確測量之上，通過測量得到的精確數據，利用數學語言，對粒子行為進行描述的一門科學，所以，量子力學可以對粒子的行為進行精確地預言。或者更直接地說，量子力學是建立在實驗基礎上的科學，是建立在與粒子行為相關的可觀測物理量之上的精密科學。
有心的小夥伴們可能發現了我有一個問題沒有進行說明——那個乘積是個什麼鬼？我們留在下一篇文章中再來做具體介紹，敬請期待。