1864年儒勒·凡爾納的經典科幻小說《地心遊記》吸引了幾代人。探索地球內部秘密的渴望也許和探索恆星一樣。事實上，地球的奧秘並不像儒勒·凡爾納小說中所想像的那樣不可思議，在這篇文章中，我們將進行一次非常簡單的數學之旅，深入地球內部，遵循一套基本的規則。
讓我們想像一下，我們掉進了一條穿越地心的隧道，從地球表面的另一端出來。我們使用牛頓經典力學加一點數學來思考這樣的問題。
一個物體自由地朝中心墜向地球顯然，這在技術上是不可能的，而且是完全愚蠢的事情，但它呈現了一幅美好的畫面。我們問一個問題，我們需要多長時間才能從另一端出來？為此，我們必須學習物理學中兩個非常重要的概念，以及它們之間的聯繫，從而得到所需的答案。
彈簧物理學
我們需要的第一個重要的概念是，用數學描述彈簧上的力與其拉伸的關係。根據經驗判斷，把彈簧拉得越長，所需的力就越大。
球在彈簧上的運動羅伯特·胡克在1676年對該法的正式提出：
將彈簧拉伸或壓縮一定距離所需的力與該距離成線性比例
在數學術語中，它的意思是
數學形式的胡克定律其中F是施加的力，x是彈簧的拉伸量或壓縮量。比例通過選擇一個常數k來確定，這個常數k只取決於彈簧的材料特性。因此，這個常數被稱為彈簧常數。胡克定律的最終形式是：
帶彈簧常數的胡克定律讓我們先來了解一下彈簧是如何工作的——如果我們拉伸它並釋放它，我們會觀察到以下現象——
球開始向裝彈簧的牆移動。它從靜止開始，然後逐漸加快速度。球的速度將持續增加，直到彈簧開始壓縮。當彈簧被完全壓縮時，球就會停止。壓縮的彈簧推動球，並且沿相反的方向運動。球回到起始點，停止。在上述情況下，我們假設了理想的條件，沒有能量損失。這意味著球將永遠振蕩下去。
胡克定律給出了一個簡單的方程，這個方程可以用數學方法來解釋附在彈簧上的球的整個運動。我們可以獲得許多與球相關的物理參數，比如它的位置和速度，但這裡我們只對其中一個屬性感興趣——球從釋放開始到第一次回到起點所需要的時間。這個時間間隔的公式如下所示
從最初的釋放點到球第一次回到釋放點所需時間的公式獲得這個看起來很可怕的公式的步驟涉及一些計算，並且超出了本文的範圍。
引力物理學
我們需要的第二個重要觀點，是對重力如何運作的描述。牛頓1687年發表的《萬有引力定律》被認為是有史以來最偉大的成就之一。儘管它已經被起因斯坦的相對論所取代，但牛頓方法的簡單性和實用價值是不容忽視的。
萬有引力可以表述為
每一個粒子都以一種力吸引著宇宙中的每一個粒子，這種力與它們的質量的乘積成正比，與它們中心之間距離的平方成反比。
這可以用數學形式表示
數學形式的牛頓定律其中F是重力，m 1和m 2是兩個物體的質量，r是它們的中心之間的距離。
比例係數可以通過選擇一個常數來確定，這個常數獨立於任何與物體或環境有關的東西。這個常數用G表示，叫做牛頓引力常數。這樣，萬有引力的最終形式就形成了
這個公式能夠解開所有物體在重力作用下運動規律，從一塊小石頭到巨型恆星、行星和其他天體的運動。
讓我們看看如何在我們的案例中使用此公式。下面有一張圖，描述了由於重力作用，物體墜落到地球中心的情況。
一個物體落入地球的示意圖墜落物體的質量為m地球的半徑是r。落體與地球中心的距離為x。我們假定地球是一個完美的球體，其物質密度是均勻的。為了運用牛頓公式，我們需要求出地球的質量和兩個物體之間的距離。第一個物體當然是落入地心的物體，第二個物體是地球本身。
由於地球不是一個點，因此應該從地球上的哪個位置測量距離？有一個很酷的數學思想，它告訴我們，我們可以假設整個地球的質量都集中在了地球中心。這樣，O點的「地球」與P點的落體之間的距離可以取為x。接下來，我們計算地球的質量。如果我們用d來表示地球的密度，那麼施加力的地球區域的質量就變成了
V是陰影區域的體積。它的值可由球的體積公式計算
球的體積公式因此，我們可以把陰影區域的質量寫成
地球陰影部分的質量就是這樣。我們已經收求出了牛頓公式所需要的所有數據，現在我們可以得到，當落體與中心的距離為x時，地球對它施加的力
作用在下落物體上的重力這是一個非常特殊的公式。可以看出下面的這個因素
是一個常數。它只取決於地球的密度，落體的質量，牛頓常數和一些純數。對於給定的情況，所有這些量都是固定的，我們可以把它們合併成另一個常數k，因此，我們可以把這個公式寫成簡單的形式
作用在下落物體上的有效重力但是，這正是我們上面提到的彈簧彈力的表達式形式。所以，我們發現了一種奇怪的聯繫：
一個物體自由地落向地球中心的運動就像一個附在彈簧上的物體的運動
因此，我們實際上可以計算出物體從地球上的起始點，經過隧道，到地球另一邊所花費的時間。我們使用前面討論的時間持續公式，得到
下落物體從地球另一端出來所花的時間下面量的值是由實驗得出的
最後，我們可以把這些值代入公式，得到大約「42分鐘」的時間，即物體落入隧道的物體，從另一端出來需要42分鐘。這是一個非常短的時間，因為我們知道地球直徑是12,800公裡，平均速度達到了18000 km / h！