[遇見數學翻譯小組] 作者: 劉雄威, 一個數學愛好者，希望為數學科普工作做更多貢獻，歡迎糾錯或討論.
大多數人都熟悉笛卡爾坐標系，它將平面上的每個點分配給兩個坐標。要查找p(x0,y0)需從起點(0,0)開始，沿橫軸走x0個單位距離和沿縱軸走y0個單位距離(見下左圖)。
笛卡爾坐標系 vs. 極坐標系
但還有另一種坐標系也非常好，它用於飛機的定位。對於每個點p分配一個數對(r,θ)，其中r是原點(0,0)沿直線到p的距離，θ是從 x軸的正半軸逆時針旋轉至原點與p點所連成的徑向線所夾的角度。這些新坐標稱為極坐標，之所以這麼命名，是因為我們將軸的交叉點視為所有事物從中輻射出來的極點（見上右圖）。
如何在極坐標系中表示出簡單的圖形?從上面的交互性可以看出，以(0,0)為端點的射線圖形由θ值唯一確定，例如，y軸的正半軸由以下方程表示
θ=/2=1.5707…
以及夾於x軸的正半軸和y軸的正半軸中間位置的射線由以下方程表示
θ=/4=0.7853…
一般來說，方程
描述以(0,0)為端點，與x正軸的夾角為θ0的射線。
那麼如何用極坐標系來表示圓形呢?我們知道以(0,0)為圓心、r0為半徑的圓，其所有點都落在距離(0,0)有r0個單位的位置上。因此，我們可以用以下方程來描述極坐標系中的圓
此表達式比笛卡爾坐標系中的圓的方程簡單得多，即
然而描述不穿過點(0,0)的直線和不以(0,0)為圓心的圓的極坐標方程比其笛卡爾坐標方程複雜但也有一些圖形，其表達式使用極坐標方程比使用笛卡爾坐標方程要簡單得多。以下是我們最喜歡的三個例子。
阿基米德螺旋
讓我們來畫出這個極坐標方程對應的圖像
r=θ
換句話說，我們要尋找的是滿足極坐標為(θ,θ)的所有點，以觀察它所形成的圖像是什麼樣的。
下圖表示當θ值從0變化到2時對應的圖像。在圖像上每個點的極坐標皆為(θ,θ)，可以看出隨著θ值的"增加"，點的位置也逐漸遠離(0,0)。
於是我們有了一個螺旋的雛形!
但為什麼要停在θ=2呢?我們可以繼續轉動徑向線使圖像超過一個整圈(θ>2)、轉過一圈半(θ=3)、兩圈(θ=4)，以此不斷增加一圈又一圈。然後，我們便可看到隨著圖像從θ=2轉動到θ=4，點p(θ,θ)到原點(0,0)的距離會逐漸增加，從2到4，讓θ從4增加到6，則可以看到圖像上的點距離原點越來越遠。下圖表示了θ從0到20的圖像。
使θ一直增加到無窮大，會得到一個以(0,0)為中心的無數圈的螺旋：
這個美妙的形狀被稱為以偉大的希臘數學家的名字命名，他在公元前三世紀發現了它。從圖片中可以看出，螺旋的循環間隔均勻：如果以(0,0)為端點畫一條射線（即徑向線），則可以看到螺旋上的任意兩個連續交點之間的距離始終為2。
還有其他類型的阿基米德螺旋，其特徵是螺旋與徑向線的連續交點之間的間隔始終相等。它們可以歸納為以下方程
其中a為正實數。使a值不斷變化，您便可以看出，a值決定了螺旋的緊密程度，因此，a值也決定了螺旋與徑向線的連續交點之間的間隔。下圖分別為a=2與a=0.5的對應圖像。
如果您更喜歡物理解釋，那麼當您追蹤從中心向外出發且以恆定角速度移動的點的路徑時，您也會得到阿基米德螺旋。
對數螺旋
現在，讓我們來看看下述方程的圖像
其中e是自然常數，e=2.71828…
當θ=0時，我們得到
因此，我們的形狀包含具有極坐標的點(1,0) (其笛卡爾坐標恰好也是(1,0))。下圖表示θ值從0到2對應的圖像。每個點p對應的坐標為(e^(θ/10),θ)。這裡我們再次看到了螺旋的雛形，但這次有所不同。
同樣地，我們使θ從2增加至4、6等不斷遞增。然而，這一次螺旋的循環沒有均勻地間隔。
這是的一個例子。它之所以稱為對數螺旋，是因為其表達式
也可以表示為
其中ln是以自然常數e為底數的自然對數。
(還有一種更一般的對數螺旋形式，其表達式為r=ae^(bθ)其中a和b都是正實數。)
但這裡還有另一種玩法：我們可以令角度值θ變成負數！要查找第二極坐標（即θ坐標）為負值的點，您需要從x正軸開始朝另一個方向度量角度：即順時針方向。例如，具有極坐標(r,- /2)的點位於y軸的負半軸。
這對於對數螺旋意味著什麼?當θ值從0到-∞變化時，圖像上的螺旋線將以順時針旋轉一、二、三乃至無數圈。作螺旋線，其點p對應的坐標為
但現在隨著θ不斷減小趨向-∞，螺旋線也不斷向內部移動，趨近於(0,0)，這是因為
所以如果隨著x減小且趨於-∞，那麼e-x會不斷增大且趨於+∞，所以1/e-x是正值，且趨近於0。
下圖顯示了當θ不斷減小至-10時，點 p 的分布情況。
讓θ值從-∞變化+∞，就會產生一個雙向無限的螺旋，它既沒有起點，也沒有終點。
完全對數螺旋
但請注意。正如您從圖像中所見，這張圖片看起來和上面的圖片的差不多，即使這裡的 x 軸和 y 軸覆蓋的範圍要小得多。這表明了對數螺旋的一個非常有意思的特點。如果使對數螺旋的圖片放大或縮小，那麼你看到的圖片將會看起來與放縮前完全一樣，該特性稱為自相似性。這可能是對數螺旋在自然界中如此普遍的原因。你可以在蝸牛殼的漩渦和許多植物，甚至在螺旋星系的螺旋臂中看到它們。
17世紀的數學家被這個美麗的形狀迷住了，他稱之為"spiral mirabilis"(奇蹟般的螺旋)，並要求把它刻在他的墓碑上，並附以頌詞"縱然變化，依然故我"。不幸的是，雕刻師弄錯了，他最終在他的墳墓上雕刻的是阿基米德螺旋而不是對數螺旋。
極地玫瑰
我們要介紹的最後一個圖形，或者更確切地說，最後一組圖形，讓我們先從這個方程開始r=|sinθ|, ( || 符號代表絕對值，因此r恆為正值)
要了解這個方程，讓我們先複習一下正弦函數的圖像，下圖是橫軸對應θ值而縱軸對應sinθ值時的圖像變化情況：
加上絕對值意味著，圖像中橫軸以下的部分（該部分sinθ為負值）應該翻折到橫軸以上的位置：
您可以看到，當θ從0升到時，|sinθ|從0上升到最大值1(在θ=/2處)，然後下降到0(在θ=處)。
現在，讓我們回到極坐標。當θ從0變化到時，原點(0,0)到點p
p=(|sinθ|,θ)
的距離從0(在θ=0處)變化到 1 (在θ=/2處)，然後回到0(在θ=處)，這將在極坐標系的上半平面畫出一個小圓圈。然後，當θ從變化到2時，|sinθ|值也跟上述變化相同，這將在極坐標系的下半平面畫出一個小圓圈。
現在，讓遊戲變得複雜些，並觀察這個方程
r=|sin2θ|
新的因數2意味著上述圖中的出現的兩個圓圈的範圍從θ=0到θ=2變成現在只出現在θ=0到θ=。即兩個圓圈都出現在上半平面上，因此變得有點擁擠。當θ從移動到2時，2θ的值也從2變到4，函數的值是周期性的(θ+2具有與θ相同的函數值)，現在我們一對圓圈的鏡像也出現在下半平面中：
我們有一朵有四瓣的花!
那麼這個方程會發生什麼 r=|sinkθ|, k是任意正整數?你猜對了！獎勵一朵2k瓣的花，下面我們向您展示k=3和k=10的情形。極坐標所能做的事真是令人驚奇！