「在你們喜歡用的國際單位制裡等於6.626×10^−34焦耳*秒，在我們的自然單位制裡它就等於2π。」
——川哥，於平衡態統計物理課上
今天是2016年4月23日，德國著名物理學家、量子論的創始人之一、諾貝爾獎獲得者馬克思·普朗克（Max Planck, 1858-1947）誕辰158周年。在此藉助這篇科普向的文章，紀念這位偉大的物理學家，以及他給現代物理學、乃至所有現代科學和技術帶來的深刻變革。
本文大致分為兩個部分，第一部分按照歷史發展的順序簡單回顧普朗克常數的提出和量子力學的發現過程，第二部分按照個人理解簡單介紹普朗克常數在物理學框架中的地位或意義。希望能滿足對量子物理了解程度各不相同的讀者。
一、普朗克常數的提出
（一）電磁波的熱力學
普朗克常數最初的提出，當然是由馬克思·普朗克（Max Planck）本人。當電磁波的概念被人們接受後，人們發現一切物體均在不停地向環境發射各個頻段的電磁波，且溫度越高的物體發射的電磁波功率越大，稱之為熱輻射。在物體的表面上，除了有電磁波的輻射外還存在有電磁波的吸收與反射，二者的比率由表面的吸收率或反射率決定，總量取決於環境到達物體表面的電磁波的強度。當物體與環境達到熱平衡時，電磁波的淨吸收量與淨輻射量相等，這樣使物體的內能保持不變。假設有一種材料對電磁波完全吸收，不發生反射，那麼淨輻射量就等於熱輻射量，也就等於環境中照射到物體表面的電磁波強度。根據熱力學中的細緻平衡原理，這種熱輻射與環境電磁場的平衡在每一個波段上都成立，因此存在一個電磁波譜，它表徵了某一溫度下熱平衡體系的電磁輻射強度隨波長（頻率）的函數關係。我們把這種對電磁波完全吸收的材料叫做「黑體」，因而這種給定溫度下的環境電磁波譜叫做「黑體輻射譜」。就是在對黑體輻射譜的理論研究中，普朗克發現了電磁波的量子現象，提出了普朗克常數。順便說一下，「黑體」並不是完全不發光，只有絕對零度下的黑體是不發光的，有限溫度下的黑體發光顏色由它的溫度唯一確定。許多天體如恆星、黑洞等可以視作是比較理想的黑體，通過觀測它們的發射光譜可以推斷它們的溫度（恆星的光譜實際上要考慮其元素組成，原子的光譜是離散的）。
如圖所示[1]為黑體輻射譜及其隨溫度的變化情況：在3000K時，物體的熱輻射主要集中在紅色；4000K時，變為綠色；5000K時，變為藍色（因此通常溫度下的熱輻射不在可見光波段）。黑體輻射譜隨溫度的依賴關係可以概括為兩條經驗定律：（1）維恩位移定律：輻射強度的峰值頻率與溫度成正比，或峰值波長與溫度成反比；（2）斯特藩-玻爾茲曼定律：輻射的總強度與溫度的四次方成正比。測得了黑體輻射譜後，人們試圖從理論推導得到輻射譜的函數表達式，但是並不成功。維恩從一些熱力學假設和猜測出發，通過與實驗數據比對得出了維恩公式[2]：
這個公式在高頻區域很好地符合實驗數據，但在低頻部分有所偏離。瑞利和金斯從電磁場的經典理論出發，得到了瑞利-金斯公式[2]：
這個公式在低頻區域很好地符合實驗數據，但在高頻部分有很大的偏離（它甚至是發散的！）
那麼能不能找到一個函數在低頻和高頻各個區段都符合實驗數據呢？普朗克做了一個偉大的嘗試[2]：
這個式子在v→0的極限下變為瑞利-金斯公式，而在v→∞的極限下變為維恩公式，並且與實驗數據吻合得相當精準！由普朗克公式擬合出的普朗克常數h，與後來人們測定的數值，只相差了1%！[2] 人類就這樣窺見了量子世界的大門。
那麼，如何解釋這個普朗克公式呢？經過仔細的思索，普朗克得出了如下結論：
電磁波在發射和接收時，只能以一個最小單元的整數倍進行，這個能量的最小單元被稱為能量子：
式中v為電磁波的頻率，ε是能量子的大小，h是普朗克常數。普朗克常數非常之小，以至於我們在日常生活經驗中無法直接察覺，然而微觀機制上的量子化還是會導致顯著的最終差異，這也是為什麼普朗克的這一違反常識的結論引起了物理學界的眾多非議。
（二）光的波粒二象性
光是粒子還是波？這個問題自牛頓時代打開了光學研究的大門以來就一直為人們所爭論。牛頓堅持認為光是由粒子組成的，而楊氏雙縫實驗等一系列證據表明光是一種波，一直到麥克斯韋提出光是電磁波，光是電磁波這一觀點已經深入人心。然而，這時候又有一位科學巨匠站了出來，提出「光是粒子」的觀點——這個人就是愛因斯坦。
說來也巧，自從人們接受了「物質是由微小的粒子組成的（原子假說）」這個設定，新的物理現象就源源不斷地被人們發現，直到經典物理學的大樓轟然倒塌，量子物理的摩天大廈拔地而起。光電效應就是這些新現象中的一個：光照射到金屬表面時，有可能有電子從金屬表面脫離出來，在施加電場的情況下能夠觀測到這些逃逸電子產生的電流。為了解釋這一現象，人們假設電子從金屬中逃逸出來需要吸收一定的能量，這些能量是由入射的光提供的。然而奇怪的是，電子的出射與否對於入射光的頻率非常敏感，在高於截止頻率時，非常微弱的光照就可以使電子逸出；在低於截止頻率時，無論多麼大的光強都不能使電子逸出。
簡單的現象促使人尋求簡單的解釋，而愛因斯坦正是追求「簡單的真理」的一位先驅。他提出了一條簡單的解釋：
光是由一個一個的「光子」組成的，在光電效應中，電子吸收一個光子，使能量高過逃逸所需的能量。每個光子的能量由
給出——這正是普朗克提出的能量子！於是，電磁波不僅僅在熱輻射的發散和吸收中是一份一份的，電磁波本身就是一份一份的！這樣，如果入射光的頻率超過了截止頻率，那麼不管多微弱的入射光，只需要一個光子就可以把電子激發出來。
也許有的人會問，粒子怎麼能以光速運動呢？巧的是，狹義相對論中討論了這個問題，無靜止質量的粒子是可以以光速運動的——而狹義相對論正是在麥克斯韋的電磁理論之後發展起來的。根據狹義相對論，如果一個粒子有靜止質量，那麼它只能以小於光速的速度運動；如果一個粒子沒有靜止質量，那麼它只能以光速運動——在任何參考系中都不會靜止！並且，這個粒子具有能量E和動量p，它們的關係是E=pc（而有靜止質量的粒子能量與動量滿足
）。沒想到，沿著光的經典電磁理論，人們建立起了狹義相對論，又順著這條道路建立了光的量子概念。
光子不但有動量，還從實驗上得到了證實——這便是康普頓散射實驗。把X射線入射到物質上，使光子與物質中的電子發生相對論性彈性散射，則電子和光子的動量都要發生改變，並且滿足動量守恆。
於是，在光的經典電磁理論旁邊，硬生生發現了兩個嶄新的公式：
其中v是光的頻率，λ是光的波長。光到底是粒子還是波？從牛頓到愛因斯坦，人類終於重新認識了光的屬性。
（三）德布羅意波
光子概念的提出，可以總結為如下命題：
電磁波是由光子這種粒子組成的，或者說電磁波就是光子。
光子的能量與電磁波的頻率成正比，動量與電磁波的波長成反比，比例係數為普朗克常數。
有一個剛邁入物理學圈子的年輕人對此很感興趣，他想了想，如果波就是粒子，那麼會不會粒子就是波？
僅有這個民科般的表述當然是不行的，好在這個年輕人想把它定量化，於是他把命題推廣為：
一切粒子都有波粒二象性，粒子本身就是一種「物質波」。
物質波的波長與粒子的動量成反比，頻率與粒子的能量成正比，比例係數為普朗克常數。
這個人便是德布羅意，他在量子這個古怪的概念剛剛提出的時候大膽地作出了自己的猜測。幸運的是，愛因斯坦對他的這個猜測也很感興趣，使得這個年輕的學生提出的想法沒有被埋沒。更幸運的是，有人幫助他找到了一個描述「物質波」的方程——薛丁格方程。就這樣，物質波的概念還沒有被理解清楚，就已經在許多現象的解釋上發揮出它的威力。人們沿著這條道路，展開了對量子理論的探索。順便說一句，「物質波」後來的官方名稱叫做「波函數」，是一個復值函數，其模長的平方代表了粒子出現的概率密度，而其相位攜帶了粒子速度的信息，即「波函數包含了粒子狀態的全部信息」。
二、普朗克常數在物理學框架中的地位
（一）作用量和它的量子化
普朗克常數的量綱是什麼？其單位為「焦耳×秒」，也就是[能量]×[時間]，看起來好像有點意思~ 再回憶一下，你也許能想到這個量綱還等於[動量]×[長度]。還等於什麼呢？沒錯，這個量綱還等於傳說中的[角動量]。
其實，經典力學中的分析力學形式裡早就涉及了這樣一個重要的量綱，它有個高大上的名字叫作用量。作用量的定義為：
沒錯，動能減掉勢能（叫做體系的拉格朗日量）再對時間積分，動能與勢能相減！這個神奇的定義令人驚訝之處在於，在始末狀態給定的情況下，物體隨時間的運動總是使得作用量S取極小值！這個定律與牛頓運動定律是互相等價的，並且可以方便地加以推廣，因而作用量已經成為了物理學的核心概念之一。
一個做周期運動的力學系統，其作用量是量子化的。常見的例子如繞原子核做圓周運動的電子、在磁場中做迴旋運動的帶電粒子、在一維勢阱中做往復運動的粒子（無限深勢阱、諧振子勢阱等）、從無窮遠入射到勢壘上並被反射回無窮遠的粒子等。這樣的系統中，粒子在受束縛的範圍內運動，由量子化會導致能級等物理量成為離散的。作用量量子化的條件，又稱作玻爾-索末菲量子化條件：
式中q是周期運動軌道的廣義坐標，p是對應的廣義動量，對一個運動周期積分。一個典型的例子如氫原子的核外電子，選取繞核圓周運動的轉角φ為廣義坐標，則對應的廣義動量為角動量L，那麼由量子化條件可得
不同的角動量取值對應不同的軌道，也就有不同的能級，它們都是分立、可數的。需要注意這個量子化條件是半經典理論，與嚴格量子力學給出的結果可能有一定的偏差，比如這裡氫原子的軌道沒有給出角動量為0的情況以及簡併現象。
（二）角動量與自旋
有關角動量與自旋的理論框架，是量子力學最為精妙的部分之一，在這裡首次將群論、對稱性、代數結構等數學內容引入到物理學中來，大大拓展了物理學研究的思路和範式。
角動量是表徵旋轉程度的物理量，由空間旋轉操作本身的性質可以推出角動量的性質，即：
角動量只能取的整數倍或半整數倍。
稱作約化普朗克常數，在量子力學中用到的頻率比h本身還要高，於是我們在方便的時候經常取，稱為自然單位制。
角動量取半整數的情況是怎麼回事呢？在實驗中，人們發現粒子除了空間運動軌道具有整數大小的角動量外，自身還攜帶一個內稟的角動量，稱為自旋角動量，並且自旋角動量的取值可以是整數或半整數。自旋是半整數意味著一個難以置信的事實，那就是粒子經過360°的空間轉動後並沒有恢復初始狀態，而是波函數多出了一個負號（雖然這使得許多物理量取值是不變的，但仍可以觀測到發生變化的量），而經過720°的旋轉後才恢復初始狀態。波函數中涉及自旋的部分對應著一個與外部空間不同的內部空間，在外部空間轉動的同時內部空間也進行對應的操作。
在相對論性量子力學的研究中，人們終於找到了自旋的起源——它來源於時空的洛倫茲對稱性，因而在非相對論性的框架下顯得非常神秘。遵循這條道路，人們研究了不同自旋的粒子各自的量子理論。
自旋為半整數的粒子稱為費米子，兩個相同的費米子不能佔據同一個量子狀態（因而不會全部處於基態上），費米子是構成物質的粒子。自旋1/2的基本粒子有電子、中微子、夸克等。
自旋為整數的粒子稱為玻色子，多個相同的玻色子可以佔據同一個量子狀態，玻色子是傳遞相互作用力的粒子。自旋為1的基本粒子有光子（傳遞電磁相互作用力）、膠子（傳遞強相互作用力，即原子核內的相互作用力）、W±和Z玻色子（傳遞弱相互作用力，即使粒子衰變的相互作用）。自旋為0的基本粒子是傳說中的希格斯玻色子，它前不久剛剛在高能粒子對撞機中被發現，是賦予基本粒子質量的粒子。自旋為2的基本粒子是引力子，不要和引力波相混淆，引力子的性質尚不清楚。
在超對稱理論等理論框架中，還存在更高自旋的基本粒子，但沒有被實驗證實。
在二維空間的量子理論中，粒子的自旋可以是任意數值，即將粒子旋轉一周時波函數發生的變化可以是任意角度。
（三）經典力學與量子力學的對應關係
一個正當的量子力學框架應當與經典力學存在對應關係，使其在h→0的極限下回到經典力學情形。
從經典力學體系到量子體系的轉換，最直觀的一種框架是路徑積分量子化：
式子表示t1時刻處於x1位置的粒子，將於t2時刻出現在x2位置的概率幅（是一個複數，其模方表示概率），它等於所有可能的運動軌跡的加權平均，權重為該軌跡對應的經典作用量的e指數冪，這種對所有路徑累加的運算稱為路徑積分（注意它不同於普通多變量微積分中的曲線積分）。在經典力學體系中，狀態的演化是唯一的，由最小作用量原理可以確定出某一時刻的粒子位置。而在量子力學體系中，狀態的演化以概率幅的方式進行，某位置的一個粒子將演化為處於各個位置的狀態的疊加，演化到任意一個狀態的概率都可以由這種路徑積分算出。當h→0時，冪指數中的作用量對路徑的微小偏離愈加敏感，只有使作用量取極值的路徑產生的冪指數在積分中不被抵消，因而只留下經典力學允許的路徑。
除此之外，另一種常用的量子化框架是正則量子化：
即：將經典體系中的正則坐標與正則動量轉換為相應的坐標算符與動量算符（算符就是可以乘在波函數前面，對波函數進行一個操作的東西），使每一組共軛的坐標與動量算符的對易子（即[x,p]=xp-px，中括號裡的兩個算符交換乘積的次序後相減）等於i。量子力學中對易子的定義實際上就是數學上的李括號，它非常像經典力學體系中的泊松括號[A,B]classical，並且有上式中的對應關係。
無論是路徑積分量子化還是正則量子化，都用到了經典力學框架中的分析力學形式，這是一套與牛頓力學形式等價的表述，看似用處不大，但卻出乎意料地在量子力學中找到了直接的對應。
動量、能量與角動量這三個力學量在經典力學和量子力學框架中都具有十分重要的地位，原因在於它們都是由時空的對稱性產生的守恆量。在經典力學中，動量是空間平移對稱性對應的守恆量，能量是時間平移對稱性對應的守恆量，角動量是空間旋轉對稱性對應的守恆量。在量子力學中，動量算符是空間平移算符的生成元，能量算符（即哈密頓算符）是時間平移算符（即時間演化算符）的生成元，角動量是空間旋轉算符的生成元，即：
式中S(x)、U(t)、D(φ)分別為空間平移算符、時間演化算符和空間轉動算符，p、H、J分別是動量算符、哈密頓算符和角動量算符。
（四）不確定性關係
不確定性關係來源於算符的非對易性。當兩個力學量不對易時，它們的取值不能同時確定。在一般情形下，一個量子態的力學量取值是以概率分布的形式給出的，因而存在不確定度（通常定義為概率分布的標準差）。根據對易子的值，可以推出兩個不對易的力學量的不確定度之乘積存在一個下限，稱為不確定性關係。最著名的不確定性關係是位置與動量的不確定性關係：
同時，一個能級的能量與壽命的不確定性關係也呈相似的形式。上式表明，當粒子的位置分布較為集中時，其動量的分布將是比較彌散的；反之，粒子的動量（即速度）分布較為集中時，其位置的分布將是比較彌散的；當粒子所處的能級展寬較小時，該能級的壽命較長，而當粒子所處的能級範圍較大時，其壽命較短。
這兩個不等式的來源並不難解釋：粒子的波函數可以視作一個波包，包含各個頻率的單色波的成分，對波包進行頻譜分析便可以得到不確定性關係的表達式。在量子力學以外的其他領域，類似的關係也是成立的。
（五）量子效應的尺度
這篇文章好像寫得有點略長。。。
由於普朗克常數給定了作用量的一個特徵取值，當體系的特徵尺度接近這個取值時，量子效應開始出現。根據體系的特徵尺度和普朗克常數，可以估算量子效應在什麼尺度下會產生影響。
舉個例子，假設一個電子在外電場U的加速下獲得動能eU，由電子的靜止質量為0.5MeV可知在小於十萬伏特的電壓下可以按非相對論情況處理，這時其動量的尺度為，而其位置不確定度的尺度為
當加速電壓為1V時，電子的速度約為600km/s，是光速的0.1%，運動軌跡的自然展寬約為1nm，因此在大於納米的尺度下完全可以將電子的運動按照經典力學處理。有的中學生在聽說了不確定性原理後就認為經典力學中計算電子運動軌跡等問題毫無意義，是完全沒有道理的。還注意到可見光的波長約為百納米，而上述電子的德布羅意波長約為納米，在更高的加速電壓下還可以進一步減小，故利用這一原理製造的電子顯微鏡解析度可以遠高於光學顯微鏡。
[1] Wikipedia 「Black-body_radiation」
[2] 《原子物理學（第四版）》楊福家 高等教育出版社
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空弦
2016年4月於燕園